概念 · 来源与作者路径

概念身份沿用书库 UUID。作者陈述、来源和依赖分别保存；以下路径经 Codex 来源审阅，仍待独立人工核对。

完整身份目录 · 结构化来源与路径

阿贝尔群

Nakahara 的本章约定与 Szekeres 的阿贝尔群阅读入口对应；不是在这里重新定义全部群。

永久身份

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各书最早收录

• szekeres：zh-CN §2.1

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · §3.1 阿贝尔群约定：本章所有群采用阿贝尔群的加法记号。
• Szekeres §2.1 · 阿贝尔群定义与加法记号：交换的群称为阿贝尔群；采用加法记号时默认交换。

条件、符号与约定

• Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• Szekeres 的群论从一般群开始。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

子群

两处均明确继承母群运算，Nakahara 的母群限于阿贝尔群。

永久身份

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各书最早收录

• szekeres：zh-CN §2.1

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · §3.1.1 子群：子集在母群原运算下构成群时称为子群。
• Szekeres §2.1 · 子群条件：子群含母群单位元，对乘积及取逆封闭。

条件、符号与约定

• Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• Szekeres 用乘法记号并列出封闭性、单位元和逆元条件。

相关作者论证与其他回指

• 定理3.1 的证明 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：先据引理3.1确定两边为群，再构造并验证同构。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 循环群和边界群的子群资格 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：作者明确从引理3.1得到 Zr 与 Br 是链群的子群。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 定理3.3 边界群包含于循环群 → 引理3.3 连续两次取边界为零。相关作者论证：证明明确使用引理3.3。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定理3.3 边界群包含于循环群。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 循环群和边界群的子群资格。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.3：循环群是边界同态的核。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。

群同态

映射确为群之间的保运算映射，排除半群同态与线性映射的同名混淆。

永久身份

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• szekeres：zh-CN §2.4
• woit-qtgr：zh-CN §1.3 · en §5.4

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · §3.1.1 同态 (3.1)：阿贝尔群间的映射对任意两元素保持加法。
• szekeres §2.4 en · 群同态 · 已登记definition：沿用现有原著来源登记及角色。
• szekeres §2.4 zh-CN · 群同态 · 已登记definition：沿用现有原著来源登记及角色。
• woit-qtgr §1.3 en · 群同态 · 已登记discussion：Woit describes the multiplication-preserving property for representation maps; the generic group-homomorphism definition is indexed to Szekeres §2.4.
• woit-qtgr §1.3 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion：Woit 在表示映射的语境中说明保持乘法；通用群同态定义回指 Szekeres §2.4。
• woit-qtgr §5.4 en · 群同态 · 已登记discussion：Woit describes the multiplication-preserving property for representation maps; the generic group-homomorphism definition is indexed to Szekeres §2.4.
• woit-qtgr §5.4 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion：Woit 在表示映射的语境中说明保持乘法；通用群同态定义回指 Szekeres §2.4。
• woit-qtgr §6.3 en · 群同态 · 已登记discussion：The author states that the Spin(3)-to-SO(3) map is a group homomorphism. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.
• woit-qtgr §6.3 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion：作者指出 Spin(3) 到 SO(3) 的映射是群同态。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.
• woit-qtgr §7.1 en · 群同态 · 已登记discussion：The author states that the covering map is a group homomorphism. OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.
• woit-qtgr §7.1 zh-CN · 群同态 · 已登记discussion：作者指出覆盖映射是群同态。 OCR and translation remain machine-draft-not-reviewed.

条件、符号与约定

• Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• Szekeres 定义一般群的保乘积映射；Woit 的相关讨论保留群/李群语境。

相关作者论证与其他回指

• 定理3.1 的证明 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：先据引理3.1确定两边为群，再构造并验证同构。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 例3.2 对定理3.1的应用 → 定理3.1 同态基本定理。相关作者论证：对整数到二元循环群的映射使用同态基本定理。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 循环群和边界群的子群资格 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：作者明确从引理3.1得到 Zr 与 Br 是链群的子群。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 循环群和边界群的子群资格。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.3：循环群是边界同态的核。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。

商群

factor group 与 quotient group 在本次已核对的构造中对应；保留阿贝尔与一般群的条件差别。

永久身份

urn:uuid:34d7ee62-cceb-462f-a9c9-8307ed5c5244

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• szekeres：zh-CN §2.5

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3)：以模子群的等价类定义商，并验证代表元选择不影响加法。
• Szekeres §2.5 · 一般群的商群构造：正规子群的陪集在诱导乘法下形成商群。

条件、符号与约定

• Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
• Szekeres：$N$ 必须正规；Nakahara：阿贝尔群中的子群自动正规。

相关作者论证与其他回指

• 定理3.1 的证明 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：先据引理3.1确定两边为群，再构造并验证同构。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 例3.2 对定理3.1的应用 → 定理3.1 同态基本定理。相关作者论证：对整数到二元循环群的映射使用同态基本定理。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 循环群和边界群的子群资格 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：作者明确从引理3.1得到 Zr 与 Br 是链群的子群。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3)。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。

同调群

共同阅读入口保留系数与构造差异：Szekeres 为实系数同调空间，Nakahara 主要为整数系数单纯同调群。

永久身份

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• szekeres：en §17.4 · zh-CN §17.4

读到定义3.5：为什么能取这个商群

要理解的目标：定义3.5：同调群及作者的良定义说明。

这是从群／子群及有向单形背景到本章同调群定义的有限作者路径，不声称追溯全部数学基础。无编号的边分别标作作者承接或构造使用候选，均待独立人工复核。原始定义范围与扩展说明同时保留。

按作者顺序阅读下列步骤；关系箭头表示“后一步使用前一步”，不是把出现顺序当成依赖。

• §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3)：提供等价类及代表元无关的商群构造。
• 引理3.1 核与像为子群：保证同态的核与像是子群。
• 定义3.2：整数系数链群：固定整数系数与阿贝尔链群。
• 边界同态：式(3.20)–(3.22)：建立链群之间的边界同态。
• 定义3.3：循环群是边界同态的核：用核刻画没有边界的循环。
• 定义3.4：边界群是前一边界同态的像：用像刻画来自更高一维链的边界。
• 循环群和边界群的子群资格：将一般的核／像子群结论用于 Zr、Br。
• 引理3.3 连续两次取边界为零：说明连续两次取边界为零。
• 定理3.3 边界群包含于循环群：据零映射证明 Br 包含于 Zr。
• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明：据群资格、阿贝尔条件和包含关系构造同调商群，并读作者的良定义说明。

逐步核对前提

• 循环群和边界群的子群资格 → 引理3.1 核与像为子群。对本概念的作用：核与像为子群，保证循环群和边界群的群资格。

  证据：作者编号回指

  From lemma 3.1, it follows that  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$  are subgroups of  $C_{r}(K)$ . We now prove an important relation between  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$ , which is crucial in the definition of homology groups.

• 定理3.3 边界群包含于循环群 → 引理3.3 连续两次取边界为零。对本概念的作用：连续两次取边界为零，保证任意边界都是循环。

  证据：作者编号回指

  Proof. This is obvious from lemma 3.3. Any element  $c$  of  $B_r(K)$  is written as  $c = \partial_{r+1}d$  for some  $d \in C_{r+1}(K)$ . Then we find  $\partial_r c = \partial_r(\partial_{r+1}d) = 0$ , that is,  $c \in Z_r(K)$ . This implies  $Z_r(K) \supset B_r(K)$ .

• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定理3.3 边界群包含于循环群。对本概念的作用：作者的 Since 承接使用了定理3.3的包含关系，保证分母是分子中的子群；阿贝尔条件另由链群定义提供。

  证据：作者承接

  Since  $B_r(K)$  is a subgroup of  $Z_r(K)$ ,  $H_r(K)$  is well defined.

• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3)。对本概念的作用：这里实际使用商群构造；本章阿贝尔条件保证无需另加一般群的正规性前提。此边是来源构造使用候选，不是编号回指。

  证据：构造使用（待独立复核）

  $$
  H _ {r} (K) \equiv Z _ {r} (K) / B _ {r} (K). \tag {3.28}
  $$

• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定义3.2：整数系数链群。对本概念的作用：链群的阿贝尔结构经子群继承，说明本处的商群条件；这不是把一般群的子群都当成正规子群。

  证据：构造使用（待独立复核）

  Since  $B_r(K)$  is a subgroup of  $Z_r(K)$ ,  $H_r(K)$  is well defined.

• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定义3.3：循环群是边界同态的核。对本概念的作用：商群分子 Zr 必须按作者的核定义理解，而非把所有链都当作循环。

  证据：构造使用（待独立复核）

  $$
  H _ {r} (K) \equiv Z _ {r} (K) / B _ {r} (K). \tag {3.28}
  $$

• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像。对本概念的作用：商群分母 Br 必须按作者的像定义理解，商掉的是边界循环。

  证据：构造使用（待独立复核）

  $$
  H _ {r} (K) \equiv Z _ {r} (K) / B _ {r} (K). \tag {3.28}
  $$

• 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 → 循环群和边界群的子群资格。对本概念的作用：先确认 Zr、Br 的群资格，再结合定理3.3的包含关系组成商群。该前置结论单独不证明 Br 包含于 Zr。

  证据：构造使用（待独立复核）

  Since  $B_r(K)$  is a subgroup of  $Z_r(K)$ ,  $H_r(K)$  is well defined.

• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.3：循环群是边界同态的核。对本概念的作用：引理3.1应用到核时，核正是定义3.3的循环群。

  证据：构造使用（待独立复核）

  From lemma 3.1, it follows that  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$  are subgroups of  $C_{r}(K)$ . We now prove an important relation between  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$ , which is crucial in the definition of homology groups.

• 循环群和边界群的子群资格 → 定义3.4：边界群是前一边界同态的像。对本概念的作用：引理3.1应用到像时，像正是定义3.4的边界群。

  证据：构造使用（待独立复核）

  From lemma 3.1, it follows that  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$  are subgroups of  $C_{r}(K)$ . We now prove an important relation between  $Z_{r}(K)$  and  $B_{r}(K)$ , which is crucial in the definition of homology groups.

• 定义3.3：循环群是边界同态的核 → 边界同态：式(3.20)–(3.22)。对本概念的作用：循环条件和核需要此前定义的边界同态。

  证据：构造使用（待独立复核）

  $c$  is called an  $r$ -cycle. The set of  $r$ -cycles  $Z_{r}(K)$  is a subgroup of  $C_{r}(K)$  and is called the  $r$ -cycle group. Note that  $Z_{r}(K) = \ker \partial_{r}$ . [Remark: If  $r = 0$ ,  $\partial_0 c$  vanishes identically and  $Z_{0}(K) = C_{0}(K)$ , see (3.23).]

• 定义3.4：边界群是前一边界同态的像 → 边界同态：式(3.20)–(3.22)。对本概念的作用：边界及像需要此前从 r+1 链到 r 链的边界同态。

  证据：构造使用（待独立复核）

  then  $c$  is called an  $r$ -boundary. The set of  $r$ -boundaries  $B_r(K)$  is a subgroup of  $C_r(K)$  and is called the  $r$ -boundary group. Note that  $B_r(K) = \operatorname{im} \partial_{r+1}$ . [Remark:  $B_n(K)$  is defined to be 0.]

• 边界同态：式(3.20)–(3.22) → 定义3.2：整数系数链群。对本概念的作用：作者将边界线性延拓到链，因此映射的定义域、值域取自定义3.2的链群。

  证据：作者承接

  The RHS of (3.21) is an element of  $C_{r-1}(K)$ . Accordingly,  $\partial_r$  defines a map

• 引理3.3 连续两次取边界为零 → 边界同态：式(3.20)–(3.22)。对本概念的作用：连续取边界的零映射结论使用此前的边界算子；这条边不替代引理3.3的证明。

  证据：构造使用（待独立复核）

  Lemma 3.3. The composite map  $\partial_r\circ \partial_{r + 1}:C_{r + 1}(K)\to C_{r - 1}(K)$  is a zero map; that is,  $\partial_r(\partial_{r + 1}c) = 0$  for any  $c\in C_{r + 1}(K)$ .

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · 定义3.5 同调群：对 n 维单纯复形，以循环群模边界群定义第 r 同调群。
• Szekeres §17.4 · 实系数同调空间与同调群称呼：作者把同调空间也称作同调群，此处只使用阿贝尔群性质。
• Nakahara 第3章 · 定义3.5：同调群及作者的良定义说明：以循环群模边界群定义同调群；作者随后用边界群包含于循环群说明商群良定义，并解释同调类。
• Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 定理 4.9：对连通单纯复形 K，第一同调群 H_1(K) 同构于基本群 π_1(|K|) 模去其换位子群 F。
• Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 定理 4.9 应用于 2-bouquet：由 π_1(2-bouquet) = (x, y : ∅) 及定理 4.9，得到 H_1(2-bouquet) ≅ (x, y : ∅, xyx^{-1}y^{-1}) ≅ Z ⊕ Z。
• Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 例 4.11 Klein 瓶：由 π_1(Klein bottle) ≅ (x, y; xyxy^{-1})，通过添加换位子关系 xyx^{-1}y^{-1}=1 并化简得 H_1(Klein bottle) ≅ Z ⊕ Z_2，其中 Z 由 y 生成，Z_2 由 x 生成。
• Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 推论 4.3：若 X 与 Y 具有相同的同伦型，则它们的第一同调群相同：H_1(X) = H_1(Y)。

条件、符号与约定

• Nakahara：整数系数，保留挠子群。
• Szekeres：实系数链；同调空间的向量空间结构仍在。

相关作者论证与其他回指

• 定理3.1 的证明 → 引理3.1 核与像为子群。相关作者论证：先据引理3.1确定两边为群，再构造并验证同构。 该段是本入口的相关作者论证，不自动成为概念定义的必经前提。
• 例 4.11 Klein 瓶 → 定理 4.9。相关作者论证：例 4.11 的计算过程正是定理 4.9 所述构造的具体实施：取基本群模去换位子群。
• 推论 4.2 → 定理 4.9。相关作者论证：作者明确指示使用定理 4.9 来推导此推论。
• 推论 4.3 → 定理 4.9。相关作者论证：作者明确指示使用定理 4.9 作为推导依据之一。
• 定理 4.9 应用于 2-bouquet → 定理 4.9。相关作者论证：作者以 ‘The theorem states’ 回指定理 4.9 的结论来推导 bouquet 的同调群。

贝蒂数

核对了维数对象：Nakahara 的实系数同调与 Woit 的调和形式解空间分别保留；不把后者的讨论登记成通用定义。

永久身份

urn:uuid:7c7c4b86-63b1-451e-b0be-15f02ebca981

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• szekeres：en §17.4 · zh-CN §17.4
• woit-qtgr：en §33.3 · zh-CN §33.3

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · 定义3.6 贝蒂数：贝蒂数取实系数同调群的维数，也等于整数同调自由部分的秩。
• Szekeres §17.4 · Szekeres 的贝蒂数：以实同调空间维数定义贝蒂数。
• woit-qtgr §33.3 en · Betti数 · 已登记discussion：Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.
• woit-qtgr §33.3 zh-CN · Betti数 · 已登记discussion：Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.

条件、符号与约定

• Nakahara：$\dim H_r(K;\mathbb{R})$。
• Szekeres：实同调空间维数。
• Woit：调和形式解空间的维数，来源角色为 discussion。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

欧拉示性数

Szekeres 的流形定义与 Nakahara 的多面体定义及欧拉–庞加莱定理放在同一阅读入口，保留不同起点。

永久身份

urn:uuid:8edfdb84-325b-48e9-8526-006d8053914f

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• szekeres：en §17.4 · zh-CN §17.4

作者陈述与正式定义

• Nakahara 第3章 · 定理3.7 欧拉–庞加莱关系：单形数的交错和等于贝蒂数的交错和；第一等式定义一般多面体的欧拉示性数。
• Szekeres §17.4 · Szekeres 欧拉示性数：以贝蒂数的交错和给出流形的欧拉示性数。

条件、符号与约定

• Nakahara：单形数交错和为定义，再证明等于贝蒂数交错和。
• Szekeres：贝蒂数交错和，并明确不在本书证明不变性。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

• 待定位：Nakahara 定理2.1。定理3.7的证明明确引用它；不在本批已绑定的三章来源内。

自旋–统计定理

同一命名定理的阅读入口；Woit 明确区分非相对论可选统计与相对论限制，Schwartz 保留本书的先前陈述。

永久身份

urn:uuid:b087a1f3-81a9-4c70-a5b6-29950378bdd0

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• woit-qtgr：en §38.4 · zh-CN §38.4

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第12章 · 第12章自旋–统计陈述（既有种子）：作者陈述整数自旋态交换对称，半整数自旋态交换反对称。
• Schwartz 第13章 · §13 自旋–统计回顾与反对易关系：作者据自旋–统计定理要求旋量产生和湮灭算符反对易。
• Schwartz 第13章 · §13 费米子负号的自旋–统计回指：额外负号归因于自旋统计，作者说稍后解释。
• woit-qtgr §38.4 en · 自旋–统计定理 · 已登记discussion：Author states the spin-1/2 consequence informally, without hypotheses or proof of the full relativistic theorem.
• woit-qtgr §38.4 zh-CN · 自旋–统计定理 · 已登记discussion：Author states the spin-1/2 consequence informally, without hypotheses or proof of the full relativistic theorem.

条件、符号与约定

• Woit：非相对论自旋 1/2 可原则上取玻色统计；相对论理论约束反对易。
• Schwartz：回第12章既有种子，不把 Woit 的段落当作 Schwartz 的前置证明。

相关作者论证与其他回指

• §13 自旋–统计回顾与反对易关系 → 第12章自旋–统计陈述（既有种子）。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。

螺旋度

局部身份指螺旋度守恒这一较窄结论；只将相关陈述挂到螺旋度阅读入口，不声称该结论就是螺旋度定义。

永久身份

urn:uuid:f4ddac0c-c765-44bd-b2a9-e5be5de5ed13

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• woit-qtgr：zh-CN §34.2 · en §34.2

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第13章 · §13 无质量电子极限的螺旋度守恒：三枚伽马矩阵的耦合保持左右手态；作者限定无质量电子极限下左右手态解耦。
• Schwartz 第13章 · §13 光子螺旋度与左右手约定检查：作者用光子和电子的自旋沿动量投影检查左右手符号一致。
• woit-qtgr §34.2 en · 螺旋度 · 已登记definition：Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.
• woit-qtgr §34.2 zh-CN · 螺旋度 · 已登记definition：Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.

条件、符号与约定

• Woit：$\mathbf{J}\cdot \mathbf{P}/|\mathbf{P}|$ 的本征值。
• Schwartz：无质量电子极限；光子与电子本征值分别保留。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

• 待定位：Schwartz 式(10.117)、(10.113)。原文明确回指，当前三章包不包含这两条前置陈述。

路径积分

先连接相同的量子力学路径积分构造，再保留 Schwartz 的场论扩展；Woit 该处仍是 discussion。

永久身份

urn:uuid:d8842a51-427e-436c-8476-372fb5a37bfd

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• woit-qtgr：en §35.3 · zh-CN §35.3

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第14章 · §14 路径积分的引入：作者引入路径积分这一不同于先前正则表述的方法。
• Schwartz 第14章 · §14.2.2 路径积分表达式 (14.15)：时间片极限得到固定端点路径求和与作用量指数。
• woit-qtgr §35.3 en · 路径积分 · 已登记discussion：Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.
• woit-qtgr §35.3 zh-CN · 路径积分 · 已登记discussion：Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.

条件、符号与约定

• Woit：位置表象、d=1、端点固定。
• Schwartz：先量子力学，再推广到量子场；不把引入标为定义。

相关作者论证与其他回指

• 用式(14.6)计算短时间矩阵元 → 式(14.6) 一维高斯积分结果。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 → 用式(14.6)计算短时间矩阵元。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 → 式(14.10) 时间切片。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。

格拉斯曼代数

三书共同阅读入口；Schwartz 的复系数、Woit/Szekeres 的实向量空间与物理应用分别呈现。

永久身份

urn:uuid:702031d8-e347-4935-9f9b-7a2ddeabb765

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• szekeres：en §6.4 · zh-CN §6.4
• woit-qtgr：en §30.1 · zh-CN §30.1

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第14章 · §14.6 格拉斯曼代数：由反对易生成元及复数系数组合得到格拉斯曼代数。
• Schwartz 第14章 · §14.6 分次、外代数类比与费米子场：作者讨论奇偶分次及与微分形式外代数的类比，再给出费米子场生成元。
• woit-qtgr §30.1 en · Grassmann代数 · 已登记definition：Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.
• woit-qtgr §30.1 zh-CN · Grassmann代数 · 已登记definition：Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.

条件、符号与约定

• Woit：实数域、有限个生成元。
• Szekeres：实向量空间的外代数。
• Schwartz：复系数；场论应用有无限个生成元。
• Schwartz 原文奇部分称为 subalgebra 又说明不封闭，保留待审。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

稳相近似

局部身份混合经典极限与稳相解释；将其中稳相法陈述对应到现有阅读入口。

永久身份

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各书最早收录

• woit-qtgr：en §35.3 · zh-CN §35.3

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第14章 · §14.2.4 经典极限与稳相法：恢复 ℏ 后，作者用稳相法说明经典极限由作用量驻值配置主导。
• woit-qtgr §35.3 en · 稳相近似 · 已登记discussion：Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.
• woit-qtgr §35.3 zh-CN · 稳相近似 · 已登记discussion：Author-named discussion; machine draft source identity and human-review status are preserved.

条件、符号与约定

• Woit：有限维振荡积分，单一临界点等条件按来源保留。
• Schwartz：形式场积分经典极限，不移植成有限维定理证明。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

Legendre变换

复合局部条目中的勒让德变换方面接入既有 UUID；拉格朗日量方面没有被强行合并。

永久身份

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• woit-qtgr：en §35.1 · zh-CN §35.1

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第14章 · §14.2.2 高斯积分实现勒让德变换：高斯积分把哈密顿量表述转为拉格朗日量表述。
• woit-qtgr §35.1 en · Legendre变换 · 已登记definition：Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.
• woit-qtgr §35.1 zh-CN · Legendre变换 · 已登记definition：Author-named definition; machine draft source identity and human-review status are preserved.

条件、符号与约定

• Woit：变换一般不必是同构，并讨论速度退化与约束。
• Schwartz：当前非相对论二次动量算例；保留该范围。

相关作者论证与其他回指

• 用式(14.6)计算短时间矩阵元 → 式(14.6) 一维高斯积分结果。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 → 用式(14.6)计算短时间矩阵元。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。
• 式(14.14) 路径积分前的时间片乘积 → 式(14.10) 时间切片。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。

薛定谔绘景

将薛定谔绘景场的具体使用挂到绘景入口，保留场算符与有限自由度量子力学的区别。

永久身份

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• szekeres：en §14.2 · zh-CN §14.2
• woit-qtgr：en §7.3 · zh-CN §7.3

作者陈述与正式定义

• Schwartz 第14章 · §14.2.3 薛定谔绘景场：场算符取代量子力学的位置算符；每个空间点对应算符。
• woit-qtgr §7.3 en · 薛定谔绘景 · 已登记definition：The source explains the Schrödinger picture by how states and observables depend on time.
• woit-qtgr §7.3 zh-CN · 薛定谔绘景 · 已登记definition：原文以态与可观测量的时间依赖性说明薛定谔绘景。

条件、符号与约定

• Woit/Szekeres：绘景中的态与算符的时间依赖。
• Schwartz：薛定谔绘景场及其算符展开。

相关作者论证与其他回指

本批尚未形成该概念的完整作者路径；出现记录本身不是依赖证据。

基本群

推论讨论基本群与第一同调群的关系，涉及基本群概念。

永久身份

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• woit-qtgr：en §6.2 · zh-CN §6.2

作者陈述与正式定义

• Nakahara §4.4.3 · 新单元候选 · 推论 4.2：对连通拓扑空间 X，π_1(X) 同构于 H_1(X) 当且仅当 π_1(X) 是交换的。特别地，若 π_1(X) 由单个生成元生成，则 π_1(X) 总同构于 H_1(X)。

条件、符号与约定

相关作者论证与其他回指

• 推论 4.2 → 定理 4.9。相关作者论证；尚未登记这一步对当前概念的具体作用。