1.9 磁单极子

麦克斯韦方程把电与磁统一起来。在物理学史上，它应当被看作统一自然界各种力的首次尝试。尽管取得了巨大成功，狄拉克（1931）仍注意到麦克斯韦方程中存在一种不对称性：方程 $\mathrm{div}B=0$ 否定了磁荷的存在。于是他引入了磁单极子——一种点状的磁荷，以使理论具有对称性。

1.9.1 狄拉克单极子

考虑一个强度为 $g$ 的单极子，它位于 $r=0$ 处，

$$\mathrm{div}\mathbf{B}=4\pi g{\delta }^3(\mathbf{r}).\text{\hspace{1em}(1.275)}$$

由 $\Delta (1/r)=-4\pi {\delta }^3(r)$ 和 $\nabla (1/r)=-r/r^3$ 可知，该方程的解为

$$\mathbf{B}=g\mathbf{r}/r^3.\text{\hspace{1em}(1.276)}$$

将 $B$ 在半径为 $R$ 的球面 $S$ 上积分，便得到磁通量 $\Phi$，即

$$\Phi ={\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi g.\text{\hspace{1em}(1.277)}$$

那么，给出单极子场 (1.276) 的矢势又是什么呢？若按如下方式定义矢势(vector potential) $A^{\mathrm{N}}$：

$$A_x^{\mathrm{N}}=\frac{-gy}{r(r+z)}{A}_y^{\mathrm{N}}=\frac{gx}{r(r+z)}{A}_z^{\mathrm{N}}=0\text{\hspace{1em}(1.278a)}$$

我们不难验证

$$\mathrm{curl}{\mathbf{A}}^{\mathrm{N}}=g\mathbf{r}/r^3+4\pi g\delta (x)\delta (y)\theta (-z).\text{\hspace{1em}(1.279)}$$

除负 $z$ 轴（$\theta =\pi$）之外，处处都有 $\mathrm{curl}{A}^{\mathrm{N}}=B$。沿 $z$ 轴的这种奇异性称为狄拉克弦(Dirac string)，它反映了坐标系的选取不当。反之，若定义另一个矢势

$$A_x^S=\frac{gy}{r(r-z)}{A}_y^S=\frac{-gx}{r(r-z)}{A}_z^S=0\text{\hspace{1em}(1.278b)}$$

则除正 $z$ 轴（ $\theta =0$ ）之外，处处都有 $\mathrm{curl}{A}^{\mathrm{S}}=B$。奇异性的存在是(1.277)的自然结果。如果存在一个无奇异性的矢量 $A$ 使得 $B=\mathrm{curl}A$，那么由高斯定律可得，

$$\Phi ={\oint }_S\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\oint }_S\mathrm{curl}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\int }_V\mathrm{div}(\mathrm{curl}\mathbf{A})\mathrm{d}V=0$$

其中 $V$ 是曲面 $S$ 所包围的体积。只有放弃使用单一的矢势，才能避免这一问题。

练习 1.14

我们引入极坐标 $(r,\theta ,\varphi )$。证明矢势 $A^{\mathrm{N}}$ 与 $A^{\mathrm{S}}$ 可表示为

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{N}}(\mathbf{r})=\frac{g(1-\cos \theta )}{r\sin \theta }{\hat{\mathbf{e}}}_{\varphi }\text{\hspace{1em}(1.280a)}$$

$${\mathbf{A}}^S(\mathbf{r})=-\frac{g(1+\cos \theta )}{r\sin \theta }{\hat{\mathbf{e}}}_{\varphi }\text{\hspace{1em}(1.280b)}$$

其中 ${\hat{e}}_{\varphi }=-\sin \varphi {\hat{e}}_x+\cos \varphi {\hat{e}}_y$

1.9.2 吴-杨单极子

Wu 和 Yang（1975）注意到，狄拉克单极子背后的几何与拓扑结构用纤维丛来描述最为恰当。在第 9 章和 10 中，我们用纤维丛及其联络给出了狄拉克单极子的描述。这里我们只概述 Wu 和 Yang 的想法，而不引入纤维丛。Wu 和 Yang 指出，我们可以用不止一个矢势来描述单极子。例如，若在包围单极子的球面$S$的北半球采用$A^{\mathrm{N}}$、在南半球采用$A^{\mathrm{S}}$，就可以避免奇异性。这些矢势给出磁场$B=gr/r^3$，它在球面上处处非奇异。在球面的赤道上，即南北半球的分界线上，$A^{\mathrm{N}}$与$A^{\mathrm{S}}$由规范变换$A^{\mathrm{N}}-A^{\mathrm{S}}=\mathrm{grad}\Lambda$相联系。为计算这一量$\Lambda$，我们利用练习 1.14的结果，

$${\mathbf{A}}^{\mathrm{N}}-{\mathbf{A}}^{\mathrm{S}}=\frac{2g}{r\sin \theta }{\hat{\mathbf{e}}}_{\varphi }=\mathrm{grad}(2g\varphi )\text{\hspace{1em}(1.281)}$$

其中用到了表达式

$$\mathrm{grad}f=\frac{\partial f}{\partial r}{\hat{\mathbf{e}}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{\hat{\mathbf{e}}}_{\theta }+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{\hat{\mathbf{e}}}_{\varphi }.$$

于是，联系 $A^{\mathrm{N}}$ 与 $A^{\mathrm{S}}$ 的规范变换函数为

$$\Lambda =2g\varphi .\text{\hspace{1em}(1.282)}$$

注意，$\Lambda$ 在 $\theta =0$ 和 $\theta =\pi$ 处没有良好定义。由于我们只在 $\theta =\pi /2$ 处进行规范变换，这些奇异性不会出现在我们的分析中。总通量为

$$\Phi ={\oint }_S\mathrm{curl}\mathbf{A}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\int }_{U_{\mathrm{N}}}\mathrm{curl}{\mathbf{A}}^{\mathrm{N}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}+{\int }_{U_{\mathrm{S}}}\mathrm{curl}{\mathbf{A}}^{\mathrm{S}}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\text{\hspace{1em}(1.283)}$$

其中 $U_{\mathrm{N}}$ 和 $U_{\mathrm{S}}$ 分别代表北半球和南半球。斯托克斯定理给出

$$\begin{array}{rl}\Phi & ={\oint }_{\text{赤道}}{A}^{\mathrm{N}}\cdot \mathrm{d}s-{\oint }_{\text{赤道}}{A}^{\mathrm{S}}\cdot \mathrm{d}s={\oint }_{\text{赤道}}\left(A^{\mathrm{N}}-A^{\mathrm{S}}\right)\cdot \mathrm{d}s\\ & ={\oint }_{\text{赤道}}\mathrm{grad}(2g\varphi )\cdot \mathrm{d}s=4g\pi \end{array}\text{\hspace{1em}(1.284)}$$

这与(1.277)一致。

1.9.3 电荷量子化

考虑一个电荷为 $e$、质量为 $m$ 的点粒子，在电荷为 $g$ 的磁单极子的场中运动。若该磁单极子足够重，则

该粒子的薛定谔方程取如下形式：

$$\frac{1}{2m}{\left(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A}\right)}^2\psi (\mathbf{r})=E\psi (\mathbf{r}).\text{\hspace{1em}(1.285)}$$

容易证明，在规范变换 $A\to A+\mathrm{grad}\Lambda$ 下，波函数的变化为 $\psi \to \exp (ie\Lambda /\hslash c)\psi$。在目前的情形中，$A^{\mathrm{N}}$ 与 $A^{\mathrm{S}}$ 只相差一个规范变换 $A^{\mathrm{N}}-A^{\mathrm{S}}=\mathrm{grad}(2g\varphi )$。若 ${\psi }^{\mathrm{N}}$ 与 ${\psi }^{\mathrm{S}}$ 分别是定义在 $U_{\mathrm{N}}$ 与 $U_{\mathrm{S}}$ 上的波函数，则它们之间相差一个相位变化

$${\psi }^{\mathrm{S}}(\mathbf{r})=\exp \left(\frac{-\mathrm{i}e\Lambda }{\hslash c}\right){\psi }^{\mathrm{N}}(\mathbf{r}).\text{\hspace{1em}(1.286)}$$

我们取 $\theta =\pi /2$，考察波函数沿球面赤道从 $\varphi =0$ 绕行到 $\varphi =2\pi$ 时的行为。由于要求波函数是单值的，如(1.286)所示，我们必须取

$$\frac{2eg}{\hslash c}=nn\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(1.287)}$$

这就是著名的磁荷狄拉克量子化条件；如果磁单极子存在，则磁荷只能取分立值，

$$g=\frac{\hslash cn}{2e}n\in \mathbb{Z}.\text{\hspace{1em}(1.288)}$$

同理，如果宇宙中某处存在磁单极子，那么所有电荷都是量子化的。

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