3.2 单形与单纯复形

让我们回顾一下曲面的欧拉示性数是如何计算的。首先构造一个与给定曲面同胚的多面体，然后数出顶点、棱和面的数目。于是，该多面体——从而该曲面——的欧拉示性数由式 (2.31) 给出。我们把这一做法抽象化，以便用某种标准对象来表示图形的每一部分。我们取三角形及其在其他维数中的类似物作为标准对象，称之为单形。通过这种标准化，就有可能为每个图形赋予阿贝尔群结构。

3.2.1 单形

单形是多面体的构成单元。0-单形 $⟨p_0⟩$ 是一个点，即顶点(vertex)；1-单形 $⟨p_0{p}_1⟩$ 是一条线段，即棱(edge)。2-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 定义为包含内部的三角形，3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 则是实心四面体（图 3.2）。通常把 0-单形省略括号来记，$⟨p_0⟩$ 也可写作 $p_0$。不难把这一构造推广到任意 $r$-单形 $⟨p_0{p}_1\dots p_r⟩$。注意，要使 $r$-单形表示一个 $r$ 维对象，其顶点 $p_i$ 必须几何无关，即不存在一个 $(r-1)$ 维超平面包含这全部 $r+1$ 个点。设 $p_0,\dots ,p_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中几何无关的点，其中 $m\ge r$。则 $r$-单形 ${\sigma }_r=⟨p_0,\dots ,p_r⟩$ 可表示为

图 3.2　0 维、1 维、2 维与 3 维单形。

$${\sigma }^r=\left\{x\in {\mathbb{R}}^m\mid x=\sum _{i=0}^r{c}_i{p}_i,c_i\ge 0,\sum _{i=0}^r{c}_i=1\right\}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

$(c_0,\dots ,c_r)$ 称为 $x$ 的重心坐标(barycentric coordinate)。由于 ${\sigma }_r$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 的有界闭子集，所以它是紧致的。

设 $q$ 为满足 $0\le q\le r$ 的整数。若从 $p_0,\dots ,p_r$ 中选出 $q+1$ 个点 $p_{i_0},\dots ,p_{i_q}$ ，则这 $q+1$ 个点定义一个 $q$ -单形 ${\sigma }_q=⟨p_{i_0},\dots ,p_{i_q}⟩$ ，称为 ${\sigma }_r$ 的一个 $q$ -面(face)。若 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的面，即 ${\sigma }_q\le {\sigma }_r$ ，则记作

${\sigma }_r$ 。若 ${\sigma }_q\ne {\sigma }_r$ ，则称 ${\sigma }_q$ 是 ${\sigma }_r$ 的真面，记作 ${\sigma }_q<{\sigma }_r$ 。图 3.3 画出了 3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 的一个 0-面 $p_0$ 和一个 2-面 $⟨p_1{p}_2{p}_3⟩$ 。其中有 1 个 3-面、4 个 2-面、6 个 1-面和 4 个 0-面。读者应验证：$r$ -单形中 $q$ -面的个数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{q+1}\right)$ 。规定 0-单形没有真面。

图 3.3. 3-单形 $⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$ 的一个 0-面 $p_0$ 和一个 2-面 $⟨p_1{p}_2{p}_3⟩$ 。

3.2.2 单纯复形与多面体

设 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中有限个单形构成的集合。若这些单形能很好地拼合在一起，就称 $K$ 为一个单纯复形。所谓“很好地”，是指：

(i) $K$ 中任一单形的任意一个面都属于 $K$，即若 $\sigma \in K$ 且 ${\sigma }^{\prime }\le \sigma$，则 ${\sigma }^{\prime }\in K$；
(ii) 若 $\sigma$ 与 ${\sigma }^{\prime }$ 是 $K$ 中的两个单形，则其交集 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }$ 要么为空，要么是 $\sigma$ 与 ${\sigma }^{\prime }$ 的公共面，即若 $\sigma ,{\sigma }^{\prime }\in K$，则或者 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }=\varnothing$，或者 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }\le \sigma$ 且 $\sigma \cap {\sigma }^{\prime }\le {\sigma }^{\prime }$。

例如，图 3.4(a) 是一个单纯复形，而图 3.4(b) 则不是。单纯复形 $K$ 的维数(dimension)定义为 $K$ 中各单形维数的最大值。

图 3.4　(a) 是单纯复形，而 (b) 不是。

例 3.4

设 ${\sigma }_r$ 是一个 $r$ 维单形，$K=\{{\sigma }^{\prime }|{\sigma }^{\prime }\le {\sigma }_r\}$ 是 ${\sigma }_r$ 的面的集合。则 $K$ 是一个 $r$ 维单纯复形。例如，取

${\sigma }_3=⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩$（图 3.3）。于是

$$\begin{array}{rl}& K=\{p_0,p_1,p_2,p_3,⟨p_0{p}_1⟩,⟨p_0{p}_2⟩,⟨p_0{p}_3⟩,\\ & ⟨p_1{p}_2⟩,⟨p_1{p}_3⟩,⟨p_2{p}_3⟩,⟨p_0{p}_1{p}_2⟩,⟨p_0{p}_1{p}_3⟩,\\ & ⟨p_0{p}_2{p}_3⟩,⟨p_1{p}_2{p}_3⟩,⟨p_0{p}_1{p}_2{p}_3⟩\}.\end{array}\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

单纯复形 $K$ 是一个以单形为元素的集合。若把每个单形都看作 ${\mathbb{R}}^m$（$m\ge \dim K$）的子集，则所有单形的并集便是 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个子集。这个子集称为单纯复形 $K$ 的多面体(polyhedron) $|K|$。作为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集，$|K|$ 的维数与 $K$ 的维数相同，即 $\dim |K|=\dim K$。

设 $X$ 是一个拓扑空间。若存在单纯复形 $K$ 以及同胚 $f:|K|\to X$，则称 $X$ 是可三角剖分的，并称 $(K,f)$ 为 $X$ 的一个三角剖分(triangulation)。给定一个拓扑空间 $X$，其三角剖分远非唯一。我们只讨论可三角剖分的空间。

例 3.5

图 $3.5(a)$ 是圆柱面 $S^1\times [0,1]$ 的一个三角剖分。读者或许会认为存在更简单的选择，例如图 $3.5(b)$。然而这并不是一个三角剖分，因为对于 ${\sigma }_2=⟨p_0{p}_1{p}_2⟩$ 与 ${\sigma }_2^{\prime }=⟨p_2{p}_3{p}_0⟩$，我们有 ${\sigma }_2\cap {\sigma }_2^{\prime }=⟨p_0⟩\cup ⟨p_2⟩$，它既不是空集，也不是一个单形。

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