7 黎曼几何

流形是一种局部看起来像 ${\mathbb{R}}^n$ 的拓扑空间。流形上的微积分由光滑坐标系的存在性来保证。若流形上还赋予了一个度量张量，它就带有进一步的结构；度量张量是 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个向量之间的内积向任意流形的自然推广。借助这一新结构，我们可以在切空间 $T_{p}M$ 中定义两个向量的内积。我们还可以借助“联络”，把点 $p\in M$ 处的一个向量与另一个不同点 $p^{\prime }\in M$ 处的向量进行比较。

关于黎曼几何的书很多。其中适合物理学家阅读的有 Choquet-Bruhat 等（1982）、Dodson 与 Poston（1977）以及 Hicks（1965）。Lightman 等（1975）和 Wald（1984）的第 3 章也值得推荐。

例例 7.3。

练习 7.10。

习题

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