13.1 引言

在把拓扑与几何方法引入反常之前，我们先在此对本课题作一简要综述。设 $\psi$ 是四维空间中与一个外规范场 ${\mathcal{A}}_{\mu }=A_{\mu }^{\alpha }{T}_{\alpha }$ 相互作用的无质量狄拉克场，其中 $\{T_{\alpha }\}$ 是规范群 $G$ 的反厄米生成元的集合，该群是紧致半单的（例如 SU(N)）。该理论由拉格朗日量描述

$$\mathcal{L}=\mathrm{i}\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\left({\partial }_{\mu }-{\mathcal{A}}_{\mu }\right)\psi .\text{\hspace{1em}(13.1)}$$

该拉格朗日量在通常的（局部）规范变换下不变

$$\psi (x)\to g^{-1}\psi (x){\mathcal{A}}_{\mu }(x)\to g^{-1}\left[{\mathcal{A}}_{\mu }(x)+{\partial }_{\mu }\right]g.\text{\hspace{1em}(13.2)}$$

它还具有一种整体对称性，

$$\psi (x)\to {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\gamma }_5\alpha }\psi (x)\bar{\psi }(x)\to \bar{\psi }(x){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\gamma }_5\alpha }\text{\hspace{1em}(13.3)}$$

称为手征对称性(chiral symmetry)。由这一对称性导出的手征流 $j_5$ 为

$$j_5^{\mu }\equiv \bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }_5\psi .\text{\hspace{1em}(13.4)}$$

一般而言，拉格朗日量的对称性在量子化之后是否仍然保持，并不是一个平凡的问题。事实上，人们已经证明，$\mathcal{L}$ 的手征对称性在量子层面会被破坏。Adler（1969）以及 Bell 与 Jackiw（1969）通过计算带有一个外轴流和两个外矢量流的三角图，证明了朴素的守恒定律 ${\partial }_{\mu }{j}_5^{\mu }=0$ 不再成立，

$$\begin{array}{rl}{\partial }_{\mu }{j}_5^{\mu }& =\frac{1}{16{\pi }^2}{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }\mathrm{tr}{\mathcal{F}}_{\kappa \lambda }{\mathcal{F}}_{\mu \nu }\\ & =\frac{1}{4{\pi }^2}\mathrm{tr}\left[{ϵ}^{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }_{\kappa }\left({\mathcal{A}}_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }+\frac{2}{3}{\mathcal{A}}_{\lambda }{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{A}}_{\nu }\right)\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(13.5)}$$

其中 tr 表示对群指标取迹。出现在 (13.5) 中的流 $j_5^{\mu }$ 不带群指标，因此 (13.5) 被称为阿贝尔反常。

研究带有群指标的流的行为是很有意思的。考虑一个与外部规范场耦合的外尔费米子 $\psi$。该理论的非阿贝尔规范流也满足一个反常的守恒定律，这一定律定义了非阿贝尔反常。其作用量为

$$\mathcal{L}\equiv {\psi }^{†}(\mathrm{i}\nabla ){\mathcal{P}}_{+}\psi {\mathcal{P}}_{\pm }=\frac{1}{2}(I\pm {\gamma }^5).\text{\hspace{1em}(13.6)}$$

拉格朗日量具有规范对称性

$${\mathcal{A}}_{\mu }\to g^{-1}\left({\mathcal{A}}_{\mu }+{\partial }_{\mu }\right)g\psi \to g^{-1}\psi .\text{\hspace{1em}(13.7)}$$

相应的非阿贝尔规范流为

$$j^{\mu \alpha }\equiv {\psi }^{†}{\gamma }^{\mu }{T}^{\alpha }{\mathcal{P}}_{+}\psi .\text{\hspace{1em}(13.8)}$$

Bardeen（1969）以及 Gross 与 Jackiw（1972）已经证明，在单圈阶以内，该流并不守恒，

$$({\mathcal{D}}_{\mu }{j}_{\delta }^{\mu }{)}^{\alpha }=\frac{1}{24{\pi }^2}\mathrm{tr}\left[T^{\alpha }{\partial }_{\kappa }{ϵ}^{\kappa \lambda \mu v}\left({\mathcal{A}}_{\lambda }{\partial }_{\mu }{\mathcal{A}}_v+\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{\lambda }{\mathcal{A}}_{\mu }{\mathcal{A}}_v\right)\right].\text{\hspace{1em}(13.9)}$$

乍看之下，(13.5)与(13.9)的右端非常相似。然而，$\frac{2}{3}$与$\frac{1}{2}$在归一化和数值因子上的差异有着深刻的拓扑根源。我们后面将会看到，$(2l+2)$维的阿贝尔反常与$2l$维的非阿贝尔反常密切相关，但其联系方式却出人意料。

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