11.3 分布

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射

尽管使用子空间 $S (R) \subset L^{2} (R)$ 作为状态空间给出了性态良好的动量算符 $P$ 以及位置与动量之间对称的形式体系，它仍然存在这样的问题： $P$ 的本征函数不在该状态空间中。另一个问题是，与 $L^{2} (R)$ 的情形不同——在那里，Riesz 表示定理像在有限维情形中一样给出了该空间与其对偶之间的同构（见 4.3）——对于 $S (R)$ ，这样的对偶性不再成立。

对于与 $S (R)$ 对偶的空间，可以取 $S (R)$ 上的线性泛函空间，称为缓增分布的施瓦茨空间（需要对泛函施加一定的连续性条件，例如参见[89]），记作 $S^{'} (R)$ 。该空间的一个元素是一个线性映射

T : f \in S (R) \to T [f] \in C

$S (R)$ 可以通过将 $ψ \in S (R)$ 映为如下给出的线性泛函 $T_{ψ}$ ，与 $S^{'} (R)$ 的一个子空间等同起来：

T_{ψ} : f \in S (R) \to T_{ψ} [f] = \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ (q) f (q) d q (11.8)

注意，将 $ψ \in S (R)$ 映到 $T_{ψ} \in S^{'} (R)$ 是一个复线性映射。

然而， $S^{'} (R)$ 中存在并非此种形式的元素，其中有三个重要的例子

• 将函数映射到其在 $k$ 处的傅里叶变换的线性泛函：

f \in S (R) \to f (k)

• 将函数映射为其在 $q :$ 处取值的线性泛函

f \in S (R) \to f (q)

• 将函数映射为其导数在 $q :$ 处的值的线性泛函

f \in S (R) \to f^{'} (q)

我们愿意将这些视为“广义函数”，对应于由方程11.8中的积分给出的 $T_{ψ}$ ，其中某个 $ψ$ 是函数的推广。

由傅里叶变换的公式 11.3 我们有

f (k) = T_{\frac{1}{2 π} e^{- ik q}} [f]

因此，上述线性泛函中的第一个对应于

ψ (q) = \frac{1}{2 π} e^{- ik q}

它是一个函数，但“广义”的含义在于它不在 $S (R)$ 中（甚至不在 $L^{2} (R))$ 中）。这是算符 $P,$ 的一个本征函数，我们看到这类本征函数虽然不在 $S (R)$ 或 $L^{2} (R)$ 中，却作为 $S^{'} (R)$ 的元素而具有意义。

上面描述的第二个线性泛函可以写成 $T_{δ}$ ，相应的广义函数是“ $δ$ 函数”，用符号 $δ (q - q^{'})$ 表示，并被认为具有以下性质：

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (q - q^{'}) f (q^{'}) d q^{'} = f (q)

$δ (q - q^{'})$ 在某些方面像函数一样被处理，尽管这样的函数并不存在。然而，它可以被理解为实际函数的极限。考虑当 $ϵ 0$ 时函数的极限

g_{ϵ} = \frac{1}{2 π ϵ} e^{- \frac{( q - q ^{'} ) ^{2}}{2 ϵ}}

这些满足

\int_{- \infty}^{+ \infty} g_{ϵ} (q^{'}) d q^{'} = 1

对于所有 $ϵ > 0$ （使用方程 11.6）。

启发式地（忽略那些没有意义的积分交换问题），傅里叶反演公式可以写成如下形式

ψ (q) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik q} ψ (k) d k = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik q} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ik q^{'}} ψ (q^{'}) d q^{'}) d k = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik (q - q^{'})} ψ (q^{'}) d k) d q^{'} = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (q - q^{'}) ψ (q^{'}) d q^{'}

物理学家将上述计算解释为对公式的证明

δ (q - q^{'}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik (q - q^{'})} d k

然后继续考虑特征向量

∣ k ⟩ = \frac{1}{2 π} e^{ik q}

动量算符满足傅里叶级数正交归一关系（方程11.1）的替代形式，其中 $δ$ 函数替代了 $δ_{nm}$ ：

⟨ k^{'} ∣ k ⟩ = \int_{- \infty}^{+ \infty} \overline{(\frac{1}{2 π} e^{i k^{'} q})} (\frac{1}{2 π} e^{ik q}) d q = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i (k - k^{'}) q} d q = δ (k - k^{'})

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：bc426eea334bc7f660bbf661b1ce699e6a3d4ea2d2447e31eb6c016434b2288e

译稿产物 SHA-256：f167f4caa588d9ffc9b12f74073e3ceec7d058bc06d021c7397b5d4f6c42d6ad

机翻模型：deepseek-v4.1-flash

数学物理阅读

书架

11.3 分布

11.3 分布

关系图谱