22.4 通过湮灭算符和产生算符进行的量子化

22.4 通过湮灭算符和产生算符进行的量子化

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 李括号 · 复化

湮灭算符与产生算符的引入涉及允许位置算符与动量算符以复系数进行线性组合。这些可以看作给出 ${\mathfrak{h}}_3\otimes \mathbf{C}$ 的李代数表示，即复化海森堡李代数。这是相空间 $M,$ 上次数为零与一的复多项式构成的李代数，其基为 $1,z,\overline{z}.$ 有

$${\mathfrak{h}}_3\otimes \mathbf{C}=(\mathcal{M}\otimes \mathbf{C})\oplus \mathbf{C}$$

与

$$z=\frac{1}{\sqrt{2}}(q-ip),\overline{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}(q+ip)$$

复化对偶相空间$M$⊗$C$的一个基。注意，这些坐标给出一个分解

$$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}=\mathbf{C}\oplus \mathbf{C}$$

复化对偶相空间到由$z$张成的子空间和由$z$张成的子空间的分解。李括号是泊松括号，并通过复线性性延拓。基元素之间唯一的非零括号由下式给出

$$\{z,\overline{z}\}=i$$

通过湮灭算符和产生算符进行量子化，产生一个李代数表示，由

$${\Gamma }^{\prime }(1)=-i1,{\Gamma }^{\prime }(z)=-i{a}^{†},{\Gamma }^{\prime }(\overline{z})=-ia\text{\hspace{1em}(22.5)}$$

与算符关系

$$[a,a^{†}]=1$$

等价于李代数同态性质

$$[{\Gamma }^{\prime }(z),{\Gamma }^{\prime }(\overline{z})]={\Gamma }^{\prime }(\{z,\overline{z}\})$$

我们现在已经看到这个李代数表示的两种不同的酉等价实现：作用于 $q,$ 的函数上的薛定谔版本 ${\Gamma }_S^{\prime }$，其中

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q+\frac{d}{dq}\right),a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(q-\frac{d}{dq}\right)$$

以及函数 $z,$ 上的 Bargmann-Fock 版本 ${\Gamma }_{BF}^{\prime }$，其中

$$a=\frac{d}{dz},a^{†}=z$$

注意，湮灭算符与产生算符 $\mathrm{gi}$ 给出了复化海森堡李代数 ${\mathfrak{h}}_3\otimes \mathbf{C}$ 的一个表示，但该表示仅在实李子代数 ${\mathfrak{h}}_3$ 上是酉的。这对应于如下事实：a 与 $a^{†}$ 的一般复线性组合并非自伴的，要得到自伴的东西，必须取实线性组合

$$a+a^{†}\mathrm{and}i(a-a^{†})$$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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