30.3 伪经典力学的例子

30.3 伪经典力学的例子

在伪经典力学中，动力学将由在${\mathbf{\Lambda }}^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$中选择一个哈密顿算子$h$来决定。可观测量将是其他函数$F\in {\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$，并且它们将满足哈密顿方程的类似形式

$$\frac{d}{dt}F=\{F,h{\}}_{+}$$

我们将考虑两个最简单的可能例子。

30.3.1 伪经典自旋自由度

使用伪经典力学，可以为某种本质上属于量子的东西找到 a 个“经典”类比：即第 3 章首次出现的量子比特或自旋 $\frac{1}{2}$ 系统中出现的自由度。取 $V={\mathbf{R}}^3$ 并赋予标准内积作为费米子相空间，我们有三个生成元 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in V^{\ast }$，满足这些关系

$$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}={\delta }_{jk}$$

以及一个8维函数空间，其基为

$$1,{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3,{\xi }_1{\xi }_2,{\xi }_1{\xi }_3,{\xi }_2{\xi }_3,{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3$$

如果我们希望哈密顿算子函数是非平凡的且为偶次，它就必须是一个线性组合

$$h=B_{12}{\xi }_1{\xi }_2+B_{13}{\xi }_1{\xi }_3+B_{23}{\xi }_2{\xi }_3$$

对于某些常数 $B_{12},B_{13},B_{23}$。这可以写成

$$h=\frac{1}{2}\sum _{j,k=1}^3{L}_{jk}{\xi }_j{\xi }_k$$

其中 $L_{jk}$ 是矩阵的元素

$$L=\left(\begin{array}{ccc}0& B_{12}& B_{13}\\ -B_{12}& 0& B_{23}\\ -B_{13}& -B_{23}& 0\end{array}\right)$$

生成元上的运动方程将是

$$\frac{d}{dt}{\xi }_j(t)=\{{\xi }_j,h{\}}_{+}=-\{h,{\xi }_j{\}}_{+}$$

由于 $L=-L^T$，根据定理 30.1，可以写成

$$\frac{d}{dt}{\xi }_j(t)=L{\xi }_j(t)$$

带解

$${\xi }_j(t)=e^{tL}{\xi }_j(0)$$

这将是 ${\xi }_j$ 在垂直于

$$\mathbf{B}=(B_{23},-B_{13},B_{12})$$

以与$|\mathbf{B}|$成正比的恒定速率

30.3.2 伪经典费米子振子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值

我们已经在 27.2 节中把费米子振子作为量子系统研究过，人们可以问是否存在相应的伪经典系统。对于 $d$ 个振子的情形，这样的系统通过取偶数维费米子相空间 $V={\mathbf{R}}^{2d}$ 给出，其坐标函数基 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_{2d}$ 生成 ${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^{2d})$。在生成元上，费米子泊松括号关系来自正定对称双线性形式的标准选择。

$$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}={\delta }_{jk}$$

如定理 30.1 所示，二次乘积 ${\xi }_j{\xi }_k$ 通过 jk 平面中的无穷小旋转作用于生成元，并满足 so(2d) 的对易关系。

为了得到对应于费米子振子的赝经典系统，人们作出如下选择

$$h=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^d({\xi }_{2j}{\xi }_{2j-1}-{\xi }_{2j-1}{\xi }_{2j})=\sum _{j=1}^d{\xi }_{2j}{\xi }_{2j-1}$$

这使得 $h$ 成为 $2j-1,2j$ 平面中同时旋转的矩映射，对应于 so(2d) 中由下式给出的矩阵

$$L=\sum _{j=1}^d{ϵ}_{2j-1,2j}$$

与玻色子情形一样，我们可以在 ${\mathbf{R}}^{2d}$ 上对复结构 $J=J_0$ 作标准选择，并得到一个分解

$$V^{\ast }\otimes \mathbf{C}={\mathbf{R}}^{2d}\otimes \mathbf{C}={\mathbf{C}}^d\oplus {\mathbf{C}}^d$$

到 $J$ 的特征值 $\pm i.$ 的特征子空间中。这是通过定义

$${\theta }_j=\frac{1}{\sqrt{2}}({\xi }_{2j-1}-i{\xi }_{2j}),{\overline{\theta }}_j=\frac{1}{\sqrt{2}}({\xi }_{2j-1}+i{\xi }_{2j})$$

对于 $j=1,\dots ,d.$，这些满足费米子泊松括号关系

$$\{{\theta }_j,{\theta }_k{\}}_{+}=\{{\overline{\theta }}_j,{\overline{\theta }}_k{\}}_{+}=0,\{{\overline{\theta }}_j,{\theta }_k{\}}_{+}={\delta }_{jk}$$

（其中我们已通过复线性将内积 $\{\cdot ,\cdot {\}}_{+}$ 延拓到 $V^{\ast }\otimes \mathbf{C}$）。

就 ${\theta }_j$ 而言，哈密顿算子为

$$h=-\frac{i}{2}\sum _{j=1}^d({\theta }_j{\overline{\theta }}_j-{\overline{\theta }}_j{\theta }_j)=-i\sum _{j=1}^d{\theta }_j{\overline{\theta }}_j$$

利用$\{\cdot ,\cdot {\}}_{+}$的导子性质，可得

$$\{h,{\theta }_j{\}}_{+}=-i\sum _{k=1}^d({\theta }_k\{{\overline{\theta }}_k,{\theta }_j{\}}_{+}-\{{\theta }_k,{\theta }_j{\}}_{+}{\overline{\theta }}_k)=-i{\theta }_j$$

并且，类似地，

$$\{h,{\overline{\theta }}_j{\}}_{+}=i{\overline{\theta }}_j$$

因此可见，$h$ 是变量 ${\theta }_j$ 上 $U(1)\subset U(d)$ 相位旋转的生成元。运动方程为

$$\frac{d}{dt}{\theta }_j=\{{\theta }_j,h{\}}_{+}=i{\theta }_j,\frac{d}{dt}{\overline{\theta }}_j=\{{\overline{\theta }}_j,h{\}}_{+}=-i{\overline{\theta }}_j$$

附解答

$${\theta }_j(t)=e^{it}{\theta }_j(0),{\overline{\theta }}_j(t)=e^{-it}{\overline{\theta }}_j(0)$$

上一节：30.2 伪经典力学与费米子泊松括号 · 下一节：30.4 延伸阅读 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 326、327、328、329、330、331、332、333、334

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：3980cb902e66224ec9f0e01798e9ceab63365baa429bd0f54e133a5994da585b

译稿产物 SHA-256：bd1336a49c4cc4868b9ec6702ac692787c7e25b498ae8bef3a0350c3b848737f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash