27.2 多自由度

27.2 多自由度

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 泡利矩阵

对于 $d$ 个自由度的情况，玻色子湮灭算符与产生算符 $a_{Bj}$ 和 $a_{B_j^{†}}$ 之间具有如下形式的正则对易关系（CCR）变体：

定义（正则反交换关系）

一组 2d 个算符

$$a_{Fj},a_{Fj}^{†},j=1,\dots ,d$$

称其满足正则反交换关系 $(CAR)$，当有

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}1,[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=0,[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0$$

在这种情况下，可以选择单费米子振子态空间的$N$个副本的张量积作为态空间

$${\mathcal{H}}_F=({\mathbf{C}}^2{)}^{\otimes d}=\underset{d\mathrm{times}}{\underbrace{{\mathbf{C}}^2\otimes {\mathbf{C}}^2\otimes \cdots \otimes {\mathbf{C}}^2}}$$

${\mathcal{H}}_F$ 的维数将是 $2^d$。在这个空间上，算符 ${\mathbf{a}}_{F_j}$ 和 $a_{F_j^{†}}$ 用泡利矩阵的显式构造是

$$a_{Fj}=\underset{j-1\text{ times }}{\underbrace{{\sigma }_3\otimes {\sigma }_3\otimes \cdots \otimes {\sigma }_3}}\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\otimes 1\otimes \cdots \otimes 1$$ $$a_{Fj}^{†}=\underset{j-1\text{ times }}{\underbrace{{\sigma }_3\otimes {\sigma }_3\otimes \cdots \otimes {\sigma }_3}}\otimes \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\otimes 1\otimes \cdots \otimes 1$$

${\sigma }_3$的因子作为一种可能的方式来确保

$$[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0$$

对于$j\ne k$满足，因为此时在张量积因子中会得到

$$[{\sigma }_3,\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right){]}_{+}=0\text{or}[{\sigma }_3,\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right){]}_{+}=0$$

尽管这种张量积构造对于讨论多量子比特的物理很有用，但一般来说，不处理大型张量积会更容易，而我们将在第28章描述的Cliford代数形式体系避免了这一点。

数算符将为

$$N_{Fj}=a_{Fj}^{†}{a}_{Fj}$$

这些彼此对易，因此可以同时对角化，特征值为$n_j=0,1$ 1。可以取$2^d$个态作为${\mathcal{H}}_F$的一组基

$$|n_1,n_2,\dots ,n_d⟩$$

对于 $({\mathbf{C}}^2{)}^{\otimes d}$，其自然基态由 $d$ 个选择给出，每个选择为 |0⟩ 或 |1⟩。

例如，对于 $d=3$ 的情形，图中展示了玻色子和费米子情形下的态模式及其能级。在玻色子情形下，最低能量态处于正能量，并且存在无限多个能量不断增加的态。在费米子情形下，最低能量态处于负能量，有限个态的能量特征值模式关于零能级对称。

图 27.1：$N=3$ 个振子能量本征态。

正如在玻色子情形中一样，我们可以考虑如下形式的产生算符与湮灭算符的二次组合

$$U_A^{\prime }=\sum _{j,k}{a}_{Fj}^{†}{A}_{jk}{a}_{Fk}$$

并且我们有

定理

27.1。对于 $A\in \mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$，一个 $d$ 乘 $d$ 复矩阵 a，有

$$[U_A^{\prime },U_{A^{\prime }}^{\prime }]=U_{[A,A^{\prime }]}$$

因此

$$A\in \mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})\to U_A^{\prime }$$

是 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$ 在 ${\mathcal{H}}_F$ 上的一个李代数表示

对于列向量${\mathbf{a}}_F$，其分量为$a_{F1},\dots ,a_{Fd})$，也有

$$[U_A^{\prime },{\mathbf{a}}_F^{†}]=A^T{\mathbf{a}}_F^{†},[U_A^{\prime },{\mathbf{a}}_F]=-A{\mathbf{a}}_F\text{\hspace{1em}(27.1)}$$

证明。该证明与25.1的证明类似，只是除了关系

$$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$$

我们也使用该关系

$$[AB,C]=A[B,C{]}_{+}-[A,C{]}_{+}B$$

例如

$$\begin{array}{rl}[U_A^{\prime },a_{Fl}^{†}]& =\sum _{j,k}[a_{Fj}^{†}{A}_{jk}{a}_{Fk},a_{Fl}^{†}]\\ & =\sum _{j,k}{a}_{Fj}^{†}{A}_{jk}[a_{Fk},a_{Fl}^{†}{]}_{+}\\ & =\sum _j{a}_{Fj}^{†}{A}_{jl}\end{array}$$

哈密顿算子是

$$H=\sum _j(N_{Fj}-\frac{1}{2}1)$$

（在相差常数$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$的意义下，而该常数对交换关系没有贡献）这不过是$B=1$情形下的$U_B^{\prime }$。由于它通过$d$矩阵与所有其他$d$交换，我们有

$$[H,U_A^{\prime }]=0$$

对于所有 $A\in \mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$，这些都是对称性，并且我们在每个能量特征子空间上都有李代数 $\mathfrak{gl}(d,\mathbf{C})$ 的一个表示。只有当 $A\in \mathfrak{u}(d)$（$A$ 为反伴随矩阵）时，该表示才会是酉的。

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