30.2 伪经典力学与费米子泊松括号

30.2 伪经典力学与费米子泊松括号

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 李代数 · 李括号

哈密顿经典力学的基本结构依赖于一个偶数维相空间$M={\mathbf{R}}^{2d}$，以及该空间上函数之间的泊松括号$\{\cdot ,\cdot \}$。相空间上函数$f$的时间演化由

$$\frac{d}{dt}f=\{f,h\}$$

对于某个哈密顿算子函数 $h$。这表明，沿经典轨迹的速度向量方向对任意函数求导，就是该线性映射

$$f\to \{f,h\}$$

作用于函数上。正如我们在第14章中所见，由于该线性映射是一个导子，泊松括号将具有导子性质，满足莱布尼茨法则

$$\{f_1,f_2{f}_3\}=f_2\{f_1,f_3\}+\{f_1,f_2\}{f}_3$$

对相空间上任意函数$f_1,f_2,f_3$。利用莱布尼茨法则和反对称性，只要知道生成元$q_j,p_j(\mathrm{or}$上的泊松括号，等价地，知道反对称双线性形式$\Omega (\cdot ,\cdot ))$，就可以计算任意多项式的泊松括号，我们选择其为

$$\{q_j,q_k\}=\{p_j,p_k\}=0,\{q_j,p_k\}=-\{p_k,q_j\}={\delta }_{jk}$$

注意，我们在生成元上有一个对称乘法，而泊松括号是反对称的。

为得到伪经典力学，我们将格拉斯曼代数 ${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ 视为经典可观测量的代数，即可视为 a 个“费米子”相空间 $V={\mathbf{R}}^n$ 上的函数的代数（注意在费米子情形中，相空间不必是偶数维的）。我们希望在这个代数上找到费米子泊松括号运算的适当概念，而结果表明这是可以做到的。标准的泊松括号是线性函数上的反对称双线性形式 $\Omega (\cdot ,\cdot )$，而费米子泊松括号则将基于线性函数上对称双线性形式的一种选择，等价地，即内积 $(\cdot ,\cdot )$ 的概念

将费米子泊松括号记为 $\{\cdot ,\cdot {\}}_{+}$，对于在生成元上乘法反交换的情形，必须调整莱布尼茨法则中的符号，而与通常泊松括号的导子性质类似的导子性质，对于单项式 $F_1,F_2,F_3$ 2

$$\{F_1{F}_2,F_3{\}}_{+}=F_1\{F_2,F_3{\}}_{+}+(-1{)}^{|F_2||F_3|}\{F_1,F_3{\}}_{+}{F}_2$$

其中 $|F_2|$ 和 $\left|F_3\right|$ 分别是 $F_2$ 和 $F_3$ 的次数。它还将具有对称性质

$$\{F_1,F_2{\}}_{+}=-(-1{)}^{|F_1||F_2|}\{F_2,F_1{\}}_{+}$$

并且这些性质可用于根据生成元的关系计算任意函数的费米子泊松括号。

${\xi }_j$ 可以被视为相对于 $V={\mathbf{R}}^n$ 的基 ${\mathbf{e}}_j$ 的“反交换坐标函数”。我们已经看到，${\mathbf{R}}^n$ 上的对称双线性形式由如下选择分类：对某些基向量取正号，对其余基向量取负号。因此，在生成元 ${\xi }_j$ 上，可以选择

$$\{{\xi }_j,{\xi }_k{\}}_{+}=\pm {\delta }_{jk}$$

对于 $j=k=1,\cdot \cdot \cdot ,r$ 取正号，对于 $j=k=r+1,\cdots ,n$ 取负号，这对应于非退化对称双线性形式可能的非等价选择。

为简单起见，取正定内积的情形，可以显式计算生成元的线性组合与二次组合的费米子泊松括号。人们发现

$$\{{\xi }_j{\xi }_k,{\xi }_l{\}}_{+}={\xi }_j\{{\xi }_k,{\xi }_l{\}}_{+}-\{{\xi }_j,{\xi }_l{\}}_{+}{\xi }_k={\delta }_{kl}{\xi }_j-{\delta }_{jl}{\xi }_k\text{\hspace{1em}(30.1)}$$

和

$$\begin{array}{rl}\{{\xi }_j{\xi }_k,{\xi }_l{\xi }_m{\}}_{+}& =\{{\xi }_j{\xi }_k,{\xi }_l{\}}_{+}{\xi }_m+{\xi }_l\{{\xi }_j{\xi }_k,{\xi }_m{\}}_{+}\\ & ={\delta }_{kl}{\xi }_j{\xi }_m-{\delta }_{jl}{\xi }_k{\xi }_m+{\delta }_{km}{\xi }_l{\xi }_j-{\delta }_{jm}{\xi }_l{\xi }_k\end{array}\text{\hspace{1em}(30.2)}$$

这些方程中的第二个表明，生成元 ${\xi }_j$ 的二次组合满足 $n$ 维旋转群的李代数关系 $(\mathfrak{so}(n)=\mathfrak{spin}(n))$。第一个表明，${\xi }_k{\xi }_l$ 作为 kl 平面中的无穷小旋转作用于 ${\xi }_j$。

在通常的泊松括号的情形中，括号的反对称性以及它满足雅可比恒等式这一事实意味着它是一个李括号，从而确定一个李代数（即相空间 ${\mathbf{R}}^{2d})$ 上函数的无限维李代数）。费米子泊松括号提供了所谓李超代数的一个例子。这些可以针对同时具有一些通常坐标和一些费米子坐标的向量空间来定义：

定义（李超代数）

实或复向量空间 $V$ 上的李超代数结构由一个李超括号 $[\cdot ,\cdot {]}_{\pm }$ 给出。这是一个在 $V$ 上的双线性映射，它在生成元 $X,Y,Z$（可以是通常的或费米子的）上满足

$$[X,Y{]}_{\pm }=-(-1{)}^{|X||Y|}[Y,X{]}_{\pm }$$

以及一个超雅可比恒等式

$$[X,[Y,Z{]}_{\pm }{]}_{\pm }=[[X,Y{]}_{\pm },Z{]}_{\pm }+(-1{)}^{|X||Y|}[Y,[X,Z{]}_{\pm }{]}_{\pm }$$

其中 |$X$| 对于通常的生成元取值为 0，对于费米子生成元取值为 1。

与玻色子情形类似，在生成元的多项式中，当多项式的阶小于或等于二时，费米子泊松括号 $\{\cdot ,\cdot {\}}_{+}$ 是一个李超括号，给出一个维数为 $1+n+\frac{1}{2}(n^2-n)$ 的李超代数（因为有一个常数项、$n$ 个线性项 ${\xi }_j$ 以及 $\frac{1}{2}\left(n^2-n\right)$ 个二次项 ${\xi }_j{\xi }_k)$）。在阶为二的函数上，这个李超代数是一个李代数，$\mathfrak{so}(n)$。我们将在第 31 章看到，表示的定义可以推广到李超代数，而量子化将给出这个李超代数的一个特殊表示，其方式与玻色子情形中薛定谔或巴格曼-福克构造表示的方式相当平行。

生成元中二次多项式与线性多项式之间的关系与玻色子情形中所发生的情况是平行的。这里我们有玻色子定理16.2的费米子类比：

定理

30.1。李代数 so $(n,\mathbf{R})$ 同构于李代数 ${\Lambda }^2(V^{\ast })$（其李括号为 $\{\cdot ,\cdot {\}}_{+})$，作用于 $V={\mathbf{R}}^n$ 上的二阶反交换多项式），同构由下式给出

$$L\leftrightarrow {\mu }_L$$

其中 $\mathcal{L}\in \mathfrak{so}(n,\mathbf{R})$ 是一个反对称的 $n$ 乘 $n$ 实矩阵，并且

$${\mu }_L=\frac{1}{2}\mathbf{\xi }\cdot L\mathbf{\xi }=\frac{1}{2}\sum _{j,k}{L}_{jk}{\xi }_j{\xi }_k$$

$\mathfrak{so}(n,\mathbf{R})$ 对反交换坐标函数的作用是

$$\{{\mu }_L,{\xi }_k{\}}_{+}=\sum _j{L}_{jk}{\xi }_j$$

或

$$\{{\mu }_L,\xi {\}}_{+}=L^T\xi$$

证明

该定理可由方程 30.1 和 30.2 推出，或者可以按照定理 16.2 的证明进行类比，如下所示。首先通过计算证明该定理的第二部分

$$\begin{array}{rl}{\left\{\frac{1}{2}\sum _{j,k}{\xi }_j{L}_{jk}{\xi }_k,{\xi }_l\right\}}_{+}& =\frac{1}{2}\sum _{j,k}{L}_{jk}({\xi }_j\{{\xi }_k,{\xi }_l{\}}_{+}-\{{\xi }_j,{\xi }_l{\}}_{+}{\xi }_k)\\ & =\frac{1}{2}(\sum _j{L}_{jl}{\xi }_j-\sum _k{L}_{lk}{\xi }_k)\\ & =\sum _j{L}_{jl}{\xi }_j\text{(since L=−LT)}\end{array}$$

对于定理的第一部分，映射

$$L\to {\mu }_L$$

是反对称矩阵空间与 ${\Lambda }^2({\mathbf{R}}^n)$ 的向量空间同构。为证明它是李代数同构，可以使用与 16.2 的证明类似的论证。这里考虑作用量

$$\xi \to \{{\mu }_L,\xi {\}}_{+}$$

${\mu }_L\in \mathfrak{so}(n,\mathbf{R})$ 在任意

$$\xi =\sum _j{c}_j{\xi }_j$$

并使用联系 ${\mu }_L,{\mu }_{L^{\prime }},\xi .$ 的费米子泊松括号的超雅可比恒等式 □

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来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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