39.4 自发对称破缺

39.4 自发对称破缺

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示

在标准的Bargmann-Fock构造中，存在唯一的状态|0⟩，对于自由粒子量子场论的哈密顿算子而言，这将是能量最低的状态。在相互作用量子场论中，人们可能遇到与标准Bargmann-Fock空间幺正不等价的状态空间。这些空间可以拥有各自的湮灭算符和产生算符，从而具备粒子数的概念以及粒子数算符$\hat{N}$，但能量最低的|0⟩可能不具备这些性质

$$\hat{N}|0⟩=0,e^{-i\theta \hat{N}}|0⟩=|0⟩$$

相反，态 |0⟩ 被 $e^{-i\theta \hat{N}}$ 变为某个其他态，且

$$\hat{N}|0⟩\ne 0,e^{-i\theta \hat{N}}|0⟩\equiv |\theta ⟩\ne |0⟩(\mathrm{for}\theta \ne 0)$$

而真空态不是$\hat{N}$的本征态，因此它没有确定的粒子数。如果$[\hat{N},\hat{H}]=\bar{0}$，那么态|$\theta$⟩都将具有与$|0⟩$相同的能量，并且将存在多个不同的真空态，由$\theta$标记。在这种情况下，称$U(1)$对称性是“自发破缺的”。当非相对论量子场论被用于描述超导体时，就会出现这种现象。在那里，最低能量态将是一个没有确定粒子数的态，电子以某种方式配对，使它们能够降低能量，在最低能量态中“凝聚”。

当多分量自由粒子（即方程 $38.4)$ 的哈密顿算子）的哈密顿算子在域 ${\psi }_j$ 的 $U(n)$ 变换下不变时，我们将有

$$[\hat{X},\hat{H}]=0$$

对于 $\hat{X}$，即给出 $U(n)$ 在多粒子态空间上的李代数表示的算符（见第 38.2.2 节）。在这种情况下，如果 |0⟩ 在 $U(n)$ 对称性下不变，那么量子场论的能量本征态将分解为 $U(n)$ 的不可约表示，并可相应地加以标记。与 $U(1)$ 情形一样，$U(n)$ 对称性可能自发破缺，伴随

$$\hat{X}|0⟩\ne 0$$

对于 $\mathfrak{u}(n)$ 中的某些方向 $X$。当这种情况发生时，正如在 $U(1)$ 情形中态没有良定义的粒子数一样，现在它们将不携带良定义的不可约 $U(n)$ 表示标签。

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来源版本：2025-10-20

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