33.1 超对称振子

33.1 超对称振子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 特征值

在前几章中，我们详细讨论了

• $d$ 个自由度中的玻色谐振子，其态空间 ${\mathcal{F}}_d$ 由将 $d$ 个产生算符 $a_{B_j^{†}}$ 任意次作用于最低能量态 $|0{⟩}_B$ 而生成。哈密顿算子为

$$H=\frac{1}{2}\hslash \omega \sum _{j=1}^d(a_{Bj}^{†}{a}_{Bj}+a_{Bj}{a}_{Bj}^{†})=\sum _{j=1}^d\left(N_{Bj}+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$$

其中 $N_{Bj}$ 是第 $j$ 个自由度的粒子数算符，其特征值为 $n_{Bj}=0,1,2,\cdots$

• $d$ 个自由度中的费米子振子，其态空间 ${\mathcal{F}}_d^{+}$ 由将 $d$ 个产生算符 ${\mathbf{a}}_{F_j}$ 作用于一个最低能量态而生成

|0 $\nabla \cdot \mathbf{F}$。哈密顿算子为

$$H=\frac{1}{2}\hslash \omega \sum _{j=1}^d(a_{F_j}^{†}{a}_{Fj}-a_{Fj}{a}_{F_j}^{†})=\sum _{j=1}^d\left(N_{Fj}-\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$$

其中$N_{Fj}$是第$j^{\prime }$个自由度的粒子数算符，其特征值为$n_{Fj}=0,$ 1。

将这两个系统放在一起，我们得到一个新的量子系统，其状态空间为

$$\mathcal{H}={\mathcal{F}}_d\otimes {\mathcal{F}}_d^{+}$$

和哈密顿算子

$$H=\sum _{j=1}^d(N_{Bj}+N_{Fj})\hslash \omega$$

注意，由于玻色子与费米子自由度之间的抵消，组合系统的最低能量态 |0⟩ 具有能量 $0,$。

目前，为简单起见，取一个自由度的情形$d=1$，哈密顿算子为

$$H=(N_B+N_F)\hslash \omega$$

其满足的特征向量为$|n_B,n_F⟩$

$$H|n_B,n_F⟩=(n_B+n_F)\hslash \omega |n_B,n_F⟩$$

虽然存在唯一的零能量最低能量态$|0,0⟩$，但所有非零能量态都成对出现，即两个态

$$|n,0⟩\text{ and }|n-1,1⟩$$

两者都具有能量$n$ℏ$\omega$。

能量特征值的这种简并通常表明存在某些与哈密顿算子对易的新的对称算符。我们正在寻找能把$|n,0⟩$变为$|n-1,1⟩$ ⟩、反之亦然的算符，而显然的选择是两个算符

$$Q_{+}=a_B{a}_F^{†},Q_{-}=a_B^{†}{a}_F$$

它们不是自伴随的，而是彼此的伴随 $((Q_{-}{)}^{†}=Q_{+})$

能量本征态的模式如下所示

图 33.1：超对称振子中的能量本征态。

利用玻色子和费米子算符的 CCR 与 CAR 计算反对易子（并利用玻色子算符与费米子算符对易这一事实，因为它们作用于张量积的不同因子上），可得

$$Q_{+}^2=Q_{-}^2=0$$

和

$$(Q_{+}+Q_{-}{)}^2=[Q_{+},Q_{-}{]}_{+}=H$$

人们也可以改用自伴的组合

$$Q_1=Q_{+}+Q_{-},Q_2=\frac{1}{i}(Q_{+}-Q_{-})$$

其满足

$$[Q_1,Q_2{]}_{+}=0,Q_1^2=Q_2^2=H\text{\hspace{1em}(33.1)}$$

哈密顿算子 $H$ 是自伴算符 $Q_{+}+Q_{-}$ 的平方，仅此事实就告诉我们能量特征值将是非负的。它还告诉我们非零能量的能量本征态将成对出现

$$|\psi ⟩,(Q_{+}+Q_{-})|\psi ⟩$$

具有相同能量。为了找到零能态（将只有一个，|0, 0⟩），不必试图对|0⟩求解方程$H|0⟩=0$，而可以寻找

[]的解

$$Q_1|0⟩=0\mathrm{or}{Q}_2|0⟩=0$$

这里的简化与通常的玻色子谐振子情形非常相似，其中各种表示中的最低能量态可以通过寻找 $a|0⟩=0$ 的解来得到。

有一个物理量子力学系统的例子，其行为恰好与这个超对称振子相同。一个被限制在平面内并耦合于垂直于该平面的磁场的带电粒子，可以用一个能够写成玻色子振子形式的哈密顿算子来描述（为了证明这一点，我们需要知道如何将量子系统与电磁场耦合，这将在第45章中讨论）。等间距的能级被称为“朗道能级”。如果粒子具有自旋，哈密顿算子中将出现一个耦合自旋与磁场的附加项，正是我们在二态系统研究中见过的那个项。这个附加项恰好是费米子振子的哈密顿算子。对于旋磁比 $g=2$ 的情形，系数相互匹配，因此我们恰好得到上述超对称振子，并且能级模式也恰好与那里所见相同。

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