38.3 空间对称性

38.3 空间对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 线性映射 · 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用

我们在第 19 章看到，群 $E(3)$ 在物理空间 ${\mathbf{R}}^3$ 上的作用诱导出自由粒子薛定谔方程解空间 ${\mathcal{H}}_1$ 上的酉作用。对这一相空间连同该群作用进行量子化，产生一个多粒子态空间，其带有群 $E(3)$ 的酉表示。这里需要跟踪群 $E(3)$ 的若干不同作用。给定一个元素 $(\mathbf{a},R)\in E(3)$，有：

• 在 ${\mathbf{R}}^3$ 上的一个作用量，由

$$\mathbf{x}\to R\mathbf{x}+\mathbf{a}$$

• 由 ${\mathbf{R}}^3$ 上的作用在 ${\mathcal{H}}_1$ 上诱导出的酉作用量，由下式给出

$$\psi (\mathbf{x})\to u(\mathbf{a},R)\psi (\mathbf{x})=\psi (R^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{a}))$$

作用于波函数，或者，通过傅里叶变换作用于

$$\tilde{\psi }(\mathbf{p})\to \tilde{u}(\mathbf{a},R)\tilde{\psi }(\mathbf{p})=e^{-i\mathbf{a}\cdot R^{-1}\mathbf{p}}\tilde{\psi }(R^{-1}\mathbf{p})$$

回忆第19章的内容，这不是$E(3)$的不可约表示，但可以通过取具有固定特征值$\begin{array}{r}\dot{E}=\frac{|\mathbf{p}{|}^2}{2m}\end{array}$的能量本征函数解空间来构造一个不可约表示。

$E(3)$ 将通过以下方式作用于分布场 $\Psi (\mathbf{x})$

$$\Psi (\mathbf{x})\to (\mathbf{a},R)\cdot \Psi (\mathbf{x})=\Psi (R\mathbf{x}+\mathbf{a})\text{\hspace{1em}(38.8)}$$

这是因为 ${\mathcal{H}}_1$ 的元素可以用这些分布场表示为

$$\Psi (\psi )={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\Psi (\mathbf{x})\psi (\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

而 $E(3)$ 将通过下式作用于 $\Psi (\psi )$：

$$\begin{array}{rl}\Psi (\psi )\to (\mathbf{a},R)\cdot \Psi (\psi )& ={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\Psi (\mathbf{x})\psi (R^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{a}))d^3\mathbf{x}\\ & ={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\Psi (R\mathbf{x}+\mathbf{a})\psi (\mathbf{x})d^3\mathbf{x}\end{array}$$

（利用积分测度在 $E(3)$ 变换下的不变性）。更一般地，如果 ${\mathcal{H}}_1$ 的元素是多分量函数 ${\psi }_j$（例如在自旋 $\frac{1}{2}$ 波函数的情形中），则 $E(3)$ 群的（双覆盖）可以通过以下方式作用：

$${\psi }_j(\mathbf{x})\to \sum _k{\Omega }_{jk}{\psi }_k(R^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{a}))$$

关于波函数，以及

$${\Psi }_j(\mathbf{x})\to \sum _k({\Omega }^{-1}{)}_{jk}{\Psi }_k(R\mathbf{x}+\mathbf{a})$$

关于分布域（见第38.3.3节）。

• $E(3)$ 在 ${\mathcal{H}}_1$ 上的作用是一个保持辛结构的线性映射。因此，按照 20.2 节的一般方法，我们预期能够构造交织算符：取由矩映射给出的二次函数，量子化以得到李代数表示，再取指数以得到 $E(3)$ 的酉表示。更具体地说，我们将使用 Bargmann-Fock 量子化，以及 25.3 节中对有限维相空间所实施的方法。我们最终得到 $E(3)$ 在量子场论状态空间 $\mathcal{H},$ 上的一个表示，由酉算符 $U(\mathbf{a},R)$ 给出

我们在此要考察的是最后一种，并且正如量子场论的通常做法，我们不想试图显式构造多粒子态空间 $H$ 并查看 $E(3)$ 在该构造上的作用，而是想使用时间平移情形下海森堡绘景的类似物，让群作用于算符。对于每个 $(\mathbf{a},R)\in E(3)$，我们希望找到由域算符构建、并如下作用于域算符的算符 $U(\mathbf{a},R)$：

$$\hat{\Psi }(\mathbf{x})\to U(\mathbf{a},R)\hat{\Psi }(\mathbf{x})U(\mathbf{a},R{)}^{-1}=\hat{\Psi }(R\mathbf{x}+\mathbf{a})\text{\hspace{1em}(38.9)}$$

38.3.1 空间平移

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 酉表示

对于空间平移，我们希望构造动量算符 $\hat{\mathbf{P}}$，使得 $-i\hat{\mathbf{P}}$ 给出平移群的酉李代数表示。指数化随后将给出酉表示

$$U(\mathbf{a},1)=e^{-i\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{P}}}$$

注意，这些并非作用于${\mathcal{H}}_1$的动量算符$P$，而是量子场论中的算符，将由场算符的二次组合构建而成。根据方程38.9，我们希望

$$e^{-i\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{P}}}\hat{\Psi }(\mathbf{x})e^{i\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{P}}}=\hat{\Psi }(\mathbf{x}+\mathbf{a})$$

或该方程的导数

$$[-i\hat{\mathbf{P}},\hat{\Psi }(\mathbf{x})]=\nabla \hat{\Psi }(\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(38.10)}$$

这样的算符$\hat{\mathbf{P}}$可以通过我们的矩映射方法，用域算符的二次组合来构造。我们发现（推广定理25.1），该二次表达式

$${\mu }_{-}\nabla =i{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\Psi (\mathbf{x})(-\nabla )\overline{\Psi }(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

是实的（因为 ∇ 是斜伴随的）并且满足

$$\{{\mu }_{-}\nabla ,\Psi (\mathbf{x})\}=\nabla \Psi (\mathbf{x}),\{{\mu }_{-}\nabla ,\overline{\Psi }(\mathbf{x})\}=\nabla \overline{\Psi }(\mathbf{x})$$

利用泊松括号关系，这可以通过计算例如（我们仅对$d=1)$来做此计算）来验证

$$\begin{array}{rl}\{{\mu }_{-\frac{d}{dx}},\overline{\Psi }(x)\}& =i\left\{\int \Psi (y)(-\frac{d}{dy})\overline{\Psi }(y)dy,\overline{\Psi }(x)\right\}\\ & =-i\int \{\Psi (y),\overline{\Psi }(x)\}\frac{d}{dy}\overline{\Psi }(y)dy\\ & =\int \delta (x-y)\frac{d}{dy}\overline{\Psi }(y)dy=\frac{d}{dx}\overline{\Psi }(x)\end{array}$$

量子化将$\Psi ,\overline{\Psi }$替换为${\hat{\Psi }}^{†},\hat{\Psi }$，并给出自伴的表达式

$$\hat{\mathbf{P}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\hat{\Psi }}^{†}(\mathbf{x})(-i\nabla )\hat{\Psi }(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(38.11)}$$

对于动量算符。在第37章中我们看到，用动量空间湮灭算符和产生算符表示时，该算符为

$$\hat{\mathbf{P}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\mathbf{p}{a}^{†}(\mathbf{p})a(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

它是在动量空间中对动量与动量空间数密度算符之积的积分。

38.3.2 空间旋转

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示

对于空间旋转，我们在第19章中发现它们以角动量算子作为生成元

$$\mathbf{L}=\mathbf{X}\times \mathbf{P}=\mathbf{X}\times (-i\nabla )$$

作用于 ${\mathcal{H}}_1$。正如能量和动量一样，我们可以在量子场论中将角动量算子构造为二次场算符，在此情形下得到

$$\hat{\mathbf{L}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\hat{\Psi }}^{†}(\mathbf{x})(\mathbf{x}\times (-i\nabla ))\hat{\Psi }(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(38.12)}$$

这些将生成旋转对域算符的作用。例如，如果$R(\theta )$是绕$x_3$轴旋转角度${\theta }_{;}$的旋转，我们将有

$$\hat{\Psi }(R(\theta )\mathbf{x})=e^{-i\theta {\hat{L}}_3}\hat{\Psi }(\mathbf{x})e^{i\theta {\hat{L}}_3}$$

算符$\hat{\mathbf{P}}$与$\hat{\mathbf{L}}$共同给出$E(3)$的李代数在多粒子态空间上的一个表示，满足$E(3)$李代数对易关系

$$[-i{\hat{P}}_j,-i{\hat{P}}_k]=0,[-i{\hat{L}}_j,-i{\hat{P}}_k]={ϵ}_{jkl}(-i{\hat{P}}_l),[-i{\hat{L}}_j,-i{\hat{L}}_k]={ϵ}_{jkl}(-i{\hat{L}}_l)\text{\hspace{1em}(38.13)}$$

$\hat{\mathbf{L}}$ 也可以通过矩映射方法得到。回顾 $8.3$ 节，对于由 $SO(3)$ 在 ${\mathbf{R}}^3$ 上的作用诱导出的、作用在 ${\mathbf{R}}^3$ 上函数空间上的 $SO(3)$ 表示，其李代数表示为 $\left(\mathrm{for}1\in \mathfrak{so}(3)\right)$

$${\rho }^{\prime }(\mathbf{l})=-\mathbf{x}\times \nabla$$

作用在分布上的作用量将相差一个负号，因此我们寻找一个矩映射$\mu$，使得

$$\{\mu ,\Psi (\mathbf{x})\}=\mathbf{x}\times \nabla \Psi (\mathbf{x})$$

而这将由下式给出

$${\mu }_{-\mathbf{x}\times \nabla }=i{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\Psi (\mathbf{x})(-\mathbf{x}\times \nabla )\overline{\Psi }(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}$$

量子化后，这给出角动量算子 $\hat{\mathbf{L}}$ 的方程 38.12

38.3.3 自旋 1/2 域

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 李代数表示 · 酉表示

对于描述自旋$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$粒子、满足泡利-薛定谔方程的两分量波函数情形（见第34章和第$37.5)$节），群$U(1),U(n)$（对于多种自旋$\frac{1}{2}$粒子）以及平移群${\mathbf{R}}^3$独立地作用于两个旋量分量，而$\hat{N},\hat{X}$和$\hat{\mathbf{P}}$的公式只是单分量方程的两份拷贝之和。如第34.2节所讨论，在此情形下旋转群对解的作用需要使用$SO(3)$的双重覆盖$SU(2)$，其中$SU(2)$群元素Ω作用于两分量解$\psi$的方式为

$$\psi (\mathbf{x})\to \Omega \psi (R^{-1}\mathbf{x})$$

（此处 $R$ 是对应于 $\Omega )$ 的 $SO(3)$ 旋转。该作用量可视为作用在 ${\mathbf{C}}^2$ 与 ${\mathbf{R}}^3$ 上函数空间的张量积上，其中矩阵 Ω 作用在 ${\dot{\mathbf{C}}}^2$ 因子上，而对函数的作用是由 ${\mathbf{R}}^3$ 上的旋转诱导的作用。在分布场上的作用将由逆

$$\Psi (\mathbf{x})\to {\Omega }^{-1}\Psi (R\mathbf{x})$$

（其中$\Psi$有两个分量）。

量子域上的$SU(2)$作用量将由一个满足条件的酉算符$U(\Omega )$给出

$$U(\Omega )\hat{\Psi }(\mathbf{x})U^{-1}(\Omega )={\Omega }^{-1}\hat{\Psi }(R\mathbf{x})$$

这将在多粒子态空间上给出一个酉表示。该态空间上的李代数表示将由两项之和给出

$$\hat{\mathbf{J}}=\hat{\mathbf{L}}+\hat{\mathbf{S}}$$

这对应于它来自张量积上的一个表示这一事实。这里算符$\hat{\mathbf{L}}$只是单分量版本（方程38.12）的两份拷贝，并且来自同一来源，即${\mathbf{R}}^3$的旋转对解所诱导的作用。$\cdot {\mathrm{spin}}^{,5}$算符$\hat{\mathbf{S}}$来自$SU(2)$在解的张量积描述中${\mathbf{C}}^2$因子上的作用，并由下式给出

$$\hat{\mathbf{S}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\hat{\Psi }}^{†}(\mathbf{x})\left(\frac{1}{2}\sigma \right)\hat{\Psi }(\mathbf{x})d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(38.14)}$$

它混合了自旋$\frac{1}{2}$域的两个分量，这是单分量$\left({}^{66}\mathrm{spin}{0}^3\right)$理论中未曾出现的新特征。

利用对易关系可以直接验证，这些算符 Jb 满足 su(2) 对易关系，并且与二分量域算符具有预期的对易关系。它们也与哈密顿算子对易，从而通过对称性在多粒子态空间上给出 $SU(2)$ 的一个作用量。

该量子场论的状态可以通过将算符 $a_j^{†}(\mathbf{p})$ 的乘积作用于真空态来产生，其中 $p$ 和 $j=1,2$ 可取各种选择。注意，$\widetilde{E(3)}$ 的卡西米尔算符 $\hat{\mathbf{J}}\cdot \hat{\mathbf{P}}$ 不与 $a_j^{†}(\mathbf{p})$ 对易。若希望使用具有确定螺旋度的态（即 $\hat{\mathbf{J}}\cdot \hat{\mathbf{P}}$ 的特征值除以算符 $|\hat{\mathbf{P}}{|}^2)$ 的特征值的平方根），则可以改为将波函数写成如方程 34.10 那样，而将场算符写成

$${\hat{\Psi }}_{\pm }(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}{a}_{\pm }(\mathbf{p})u_{\pm }(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$ $${\hat{\Psi }}_{\pm }^{†}(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}{a}_{\pm }^{†}(\mathbf{p})u_{\pm }^{†}(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

这里，算符 $a_{\pm }(\mathbf{p}),a_{\pm }^{†}(\mathbf{p})$ 将是螺旋度本征态的产生算符和湮灭算符。这种形式在非相对论情形下并不特别有用，但我们在此提及它，是因为其在相对论情形下的类似物将更为重要。

上一节：38.2 内部对称性 · 下一节：38.4 费米子域 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 404、405、406、407、408、409、410、411、412、413、414、415、416

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：944936b50f1debc035a04675c184a65cd33cba3ab5d01ffb5e963bdd51051a07

译稿产物 SHA-256：c6bc66c29b87da04c05b089285a971fd314fafe11158fca96c79742ec163c997

机翻模型：deepseek-v4.1-flash