37.1 量子域算符

37.1 量子域算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数

第36章发展的多粒子形式体系能很好地描述多个自由粒子的态，但它完全以具有确定动量的态来描述，丝毫不包含关于其位置的信息。可以不从 $t=0$ 动量本征态 $|p⟩$ 及相应的薛定谔解 $A(p)$ 作为单粒子空间 ${\mathcal{H}}_1$ 的连续基元素出发，而使用位置算符 $Q$ 的本征态 $|x⟩$。在 $t:=:0$ 处为这种本征态的解将记作 $\Psi (x)$，共轭解将写作 $\overline{\Psi }(x)$。对于每个 $x$ 值，$\Psi (x),\overline{\Psi }(x)$ 可视为一个振子的复坐标。

相应的量子态空间朴素地会是一个具有无穷多自由度的 Fock 空间，其中对 $x.$ 的每个取值都有一个占据数。这可以通过引入空间截断并使空间离散化来使其良定义，从而使 $x$ 只取有限多个值。然而，在占据数基中，这样的态不会是自由粒子能量本征态。虽然具有确定动量的态会演化为具有相同动量的态，但在某一时刻具有确定位置的态不会演化为具有确定位置的态（其波函数会立即扩散开来）。

然而，人们确实希望能够讨论具有确定位置的态，以便描述粒子传播的振幅，并引入粒子之间的局域相互作用。一种方法是尝试通过取动量本征态的产生算符和湮灭算符的傅里叶变换，来定义对应于在固定位置产生或湮灭一个粒子的算符。量子域可以定义为

$$\hat{\Psi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{ipx}a(p)dp\text{\hspace{1em}(37.1)}$$

及其伴随

$${\hat{\Psi }}^{†}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-ipx}{a}^{†}(p)dp$$

注意，正如 $a(p)$ 和 $a^{†}(p)$ 一样，这些不是自伴算符，因此本身不是可观测量，但可以通过取它们的简单（通常是二次的）组合来构造物理可观测量。如 36.5 节所解释的，对于多粒子系统，状态空间 $H$ 的描述和操作很复杂，行为简单的是算符。这些通常由场算符 $\hat{\Psi }(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x)$ 或湮灭与产生算符 $a(p),a^{†}(p)$ 构建，傅里叶变换将这两种可能性联系起来。

在连续统形式体系中，湮灭算符和产生算符满足分布方程

$$[a(p),a^{†}(p^{\prime })]=\delta (p-p^{\prime })$$

并且可以形式地计算对易子

$$[\hat{\Psi }(x),\hat{\Psi }(x^{\prime })]=[{\hat{\Psi }}^{†}(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x^{\prime })]=0$$ $$\begin{array}{rl}[\hat{\Psi }(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x^{\prime })]& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{ipx}{e}^{-i{p}^{\prime }{x}^{\prime }}[a(p),a^{†}(p^{\prime })]dpd{p}^{\prime }\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{ipx}{e}^{-i{p}^{\prime }{x}^{\prime }}\delta (p-p^{\prime })dpd{p}^{\prime }\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{ip(x-x^{\prime })}dp\\ & =\delta (x-x^{\prime })\end{array}$$

得到与将域算符及其伴随解释为在点 $x$ 处湮灭和产生粒子的算符相一致的结果。

这类定义依赖于将算符$a(p)$和$a^{†}(p)$理解为分布算符，并利用${\mathcal{H}}_1$和${\overline{\mathcal{H}}}_1$的元素由方程36.12和36.13给出的在福克空间上的作用。我们也可以更直接地完全按照36.3节那样进行，但解由函数$\psi (x)$而非其傅里叶变换$\alpha (p)$给出的初始数据来刻画。人们得到所有相同的对象和公式，它们通过傅里叶变换相联系。我们对这些变换后对象的记号将是

$$\begin{array}{rl}\alpha (p)& \to \psi (x),\overline{\alpha }(p)\to \overline{\psi }(x)\\ A(\alpha )& \to \Psi (\psi ),\overline{A}(\alpha )\to \overline{\Psi }(\psi )\\ A(p)& \to \Psi (x),\overline{A}(p)\to \overline{\Psi }(x)\end{array}$$

$\Psi$($\psi$) 将是 ${\mathcal{H}}_1$ 中具有初始数据 $\psi (x)$ 的解，而 $\overline{\Psi }(\psi )$ 在 ${\overline{\mathcal{H}}}_1.\Psi (x)$ 中的共轭解可解释为在 $t=0$ 处等于 $\delta (x-x^{\prime })$ 的分布解，并且我们可以写出

$$\Psi (\psi )=\int \psi (x)\Psi (x)dx,\overline{\Psi }(\psi )=\int \overline{\psi (x)}\overline{\Psi }(x)dx$$

这些满足泊松括号关系

$$\{\Psi ({\psi }_1),\Psi ({\psi }_2)\}=\{\overline{\Psi }({\psi }_1),\overline{\Psi }({\psi }_2)\}=0,\{\Psi ({\psi }_1),\overline{\Psi }({\psi }_2)\}=i⟨{\psi }_1,{\psi }_2⟩\text{\hspace{1em}(37.2)}$$

$$\{\Psi (x),\Psi (x^{\prime })\}=\{\overline{\Psi }(x),\overline{\Psi }(x^{\prime })\}=0,\{\Psi (x),\overline{\Psi }(x^{\prime })\}=i\delta (x-x^{\prime })\text{\hspace{1em}(37.3)}$$

随后进行量子化（注意这里可能令人困惑的记号约定选择，因为遵循了物理学家的约定，即 $\hat{\Psi }$ 是湮灭算符）

$$\Psi (\psi )\to -i{\hat{\Psi }}^{†}(\psi ),\overline{\Psi }(\psi )\to -i\hat{\Psi }(\psi )$$

量子场算符可以借助张量积来定义，所用方式与我们在 26.4 节有限维情形中所作的推广相同，而该推广正是我们用来定义 $a(\alpha )$ 和 $a^{†}(\alpha )$ 的。这里

$${\hat{\Psi }}^{†}(\psi )P^{+}\left(\Psi \left({\psi }_1\right)\otimes \cdots \otimes \Psi \left({\psi }_n\right)\right)=\sqrt{n+1}{P}^{+}\left(\Psi (\psi )\otimes \Psi \left({\psi }_1\right)\otimes \cdots \otimes \Psi \left({\psi }_n\right)\right)\text{\hspace{1em}(37.4)}$$

$$\begin{array}{l}\hat{\Psi }(\psi )P^{+}(\Psi ({\psi }_1)\otimes \cdots \otimes \Psi ({\psi }_n))=\\ \frac{1}{\sqrt{n}}{\sum }_{j=1}^n⟨\psi ,{\psi }_j⟩P^{+}(\Psi ({\psi }_1)\otimes \cdots \otimes \widehat{\Psi ({\psi }_j)}\otimes \cdots \otimes \Psi ({\psi }_n))\end{array}\text{\hspace{1em}(37.5)}$$

（$\widehat{\Psi ({\psi }_j)}$ 表示在张量积中省略该项，而 $P^{+}$ 是 9.6 节中定义的对称化算符）。这给出了李代数关系 37.2 的一个表示，满足

$$[\hat{\Psi }({\psi }_1),\hat{\Psi }({\psi }_2)]=[{\hat{\Psi }}^{†}({\psi }_1),{\hat{\Psi }}^{†}({\psi }_2)]=0,[\hat{\Psi }({\psi }_1),{\hat{\Psi }}^{†}({\psi }_2)]=⟨{\psi }_1,{\psi }_2⟩$$

传统的位置空间多粒子波函数与对称张量积的关系，和 36.4 节中动量空间情形相同。给定多粒子态空间中的任意态 $|\psi ⟩$，粒子数为 $N$ 的位置空间波函数分量可表示为

$${\psi }_N(x_1,x_2,\dots ,x_N)=⟨0|\hat{\Psi }(x_1)\hat{\Psi }(x_2)\dots \hat{\Psi }(x_N)|\psi ⟩$$

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