37.5 费米子域

37.5 费米子域

本章及第36章所讨论的绝大部分内容几乎无需改动即可适用于费米子量子域的情形，只需用费米子谐振子代替玻色子谐振子，并将湮灭算符与产生算符的对易子改为反对易子。由此得到的费米子域满足反对易关系

$$[\hat{\Psi }(x),{\hat{\Psi }}^{†}(x^{\prime }){]}_{+}=\delta (x-x^{\prime })$$

而在占据数表示中，这些态有 $n_p=0,$ 1，同时也可以用反对称张量积，或反交换坐标中的多项式来描述。在这种情况下，域算符将生成一个无限维克利福德代数。该克利福德代数的元素通过第31章中描述的、以费米子振子构造旋量的无限维版本来作用于态。

对于三维空间中的物理系统应用，往往相关的是费米子版本，其中所关注的系统例如描述任意数量的电子，而电子是费米子粒子，因此需要用反交换场来描述。非相对论自由电子的量子场论，是通过取单粒子相空间${\mathcal{H}}_1$为第34.2节所述双分量泡利-薛定谔方程34.3的解空间，然后使用巴格曼-福克量子化的费米子版本进行量子化而得到的量子理论。费米子泊松括号由第34.3节所讨论的该${\mathcal{H}}_1$上的内积决定。

更明确地说，这是一个关于两个量子场 ${\hat{\Psi }}_1(\mathbf{x}),{\hat{\Psi }}_2(\mathbf{x})$ 满足反对易关系的理论

$$[{\hat{\Psi }}_j(\mathbf{x}),{\hat{\Psi }}_k^{†}({\mathbf{x}}^{\prime }){]}_{+}={\delta }_{jk}{\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })$$

它们通过傅里叶变换相关联

$${\hat{\Psi }}_j(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}{a}_j(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$ $${\hat{\Psi }}_j^{†}(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{3}{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}{e}^{-i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}{a}_j^{†}(\mathbf{p})d^3\mathbf{p}$$

到满足以下条件的湮灭算符和产生算符

$$[a_j(\mathbf{p}),a_k^{†}({\mathbf{p}}^{\prime }){]}_{+}={\delta }_{jk}{\delta }^3(\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime })$$

非相对论性电子的理论不同于单个费米子域的两份简单拷贝，因为它描述的是自旋为 $\frac{1}{2}$ 的粒子，而不是自旋为 0 的粒子对。在第 38.3.3 节中，我们将看到群 $\stackrel{\sim }{E}(3)$ 如何作用于该理论，从而给出对应于自旋 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ 的角动量可观测量，而不是自旋为 0 的两份拷贝。

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来源版本：2025-10-20

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