44.1 内部对称性

第43章中的相对论性实标量场论缺少非相对论性理论的一个 important 特征，即群 $U (1)$ 通过相位变化对复域的作用。这是提供 $^{66} charg e^{35}$ 概念并允许将电磁力引入理论所必需的（见第45章）。在实标量场论中，描述粒子的态与描述反粒子的态之间没有区别。要得到一个具有这种区别的理论，我们需要引入具有更多分量的域。两种可能性是：考虑具有 $m$ 个分量的实域，在这种情况下我们将得到一个具有 $S O (m)$ 对称性的理论；或者考虑具有 $n$ 个分量的复域，在这种情况下我们得到一个具有 $U (n)$ 对称性的理论。利用标准复结构将 $C$ 与 $R^{2}$ 等同起来，我们得到 $S O (2) = U (1)$ ，以及两种得到具有 $U (1)$ 对称性理论的等价方式：使用两个实标量域或一个复标量域。

44.1.1 SO(m) 对称性与实标量场

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 酉表示 · 不可约表示 · 群在集合上的作用

从情形 $m = 2$ 开始，并以 $M$ 作为对偶相空间，即双分量 Klein-Gordon 方程的两个实解构成的配对 $ϕ_{1}, ϕ_{2}$ 的空间，群 $S O (2)$ 的元素 $g (θ)$ 将通过下式作用于场

(Φ _{2} ( x ) Φ _{1} ( x )) \to g (θ) \cdot (Φ _{2} ( x ) Φ _{1} ( x )) = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (Φ _{2} ( x ) Φ _{1} ( x ))

(Π _{2} ( x ) Π _{1} ( x )) \to g (θ) \cdot (Π _{2} ( x ) Π _{1} ( x )) = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (Π _{2} ( x ) Π _{1} ( x ))

这里 $Φ_{1} (x), Φ_{2} (x), Π_{1} (x), Π_{2} (x)$ 是双分量克莱因-戈尔登解空间的连续基元素，由它们在 $t = 0$ 处的初值确定

这个在 $M$ 上的群作用分解为无限多个（每个 $x)$ 值对应一个）相同副本的直和，这些副本对应于位形空间平面中旋转的情形，如第20.3.1节所讨论。我们将使用那里的计算，其中我们发现对于 $S O (2)$ 的李代数的基元素 $L$ ，相空间上以 $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$ 为坐标的相应二次函数为

μ_{L} = q_{1} p_{2} - q_{2} p_{1}

对于此处的情形，我们取

q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2} \to Φ_{1} (x), Φ_{2} (x), Π_{1} (x), Π_{2} (x)

并对 $μ_{L}$ 的类似量在 $R^{3}$ 上积分，以得到场论情形下合适的矩映射。这给出一个关于场的二次泛函，对于 $x$ 的每个取值，它都将与场具有所需的泊松括号。我们将结果记为 $Q .$ ，因为当这一理论与电磁场耦合时，它是一个将具有电荷物理解释的可观测量（见第 45 章）：

Q = \int_{R^{3}} (Π_{2} (x) Φ_{1} (x) - Π_{1} (x) Φ_{2} (x)) d^{3} x

可以使用域泊松括号关系

{Φ_{j} (x), Π_{k} (x^{'})} = δ_{j k} δ (x - x^{'})

以检验

{Q, (Φ _{2} ( x ) Φ _{1} ( x ))} = (Φ _{1} ( x ) - Φ _{2} ( x )), {Q, (Π _{2} ( x ) Π _{1} ( x ))} = (Π _{1} ( x ) - Π _{2} ( x ))

经典场论的量子化给出 $S O (2)$ 在多粒子态空间上的一个酉表示 $U$ ，其中

U^{'} (L) = - i Q = - i \int_{R^{3}} (Π_{2} (x) Φ_{1} (x) - Π_{1} (x) Φ_{2} (x)) d^{3} x

该算符

U (θ) = e^{- i θ Q}

将通过共轭作用于这些域：

U (θ) (Φ _{2} ( x ) Φ _{1} ( x )) U (θ)^{- 1} = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (Φ _{2} ( x ) Φ _{1} ( x ))

U (θ) (Π _{2} ( x ) Π _{1} ( x )) U (θ)^{- 1} = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (Π _{2} ( x ) Π _{1} ( x ))

它还将给出 $S O (2)$ 在态上的一个表示，其中态空间分解为若干扇区，每个扇区由算符 $Q$ 的整数特征值标记（该特征值将被称为态的“荷”）。

利用 $Φ$ 和 $\hat{Π}$ 的定义（43.19和43.20）， $Q$ 可以用湮灭算符和产生算符计算，结果为

Q = i \int_{R^{3}} (a_{2}^{†} (p) a_{1} (p) - a_{1}^{†} (p) a_{2} (p)) d^{3} p (44.1)

人们预期，由于经典域空间上的时间演化作用与 $S O (2)$ 作用对易，算符 $Q$ 应当与哈密顿算子 $H$ 对易。这可以通过计算 $[H, Q]$ 来直接验证，使用

H = \int_{R^{3}} ω_{p} (a_{1}^{†} (p) a_{1} (p) + a_{2}^{†} (p) a_{2} (p)) d^{3} p

注意，真空态 |0⟩ 是 $Q$ 和 $H$ 的特征向量，且两者的特征值均为 0：它具有零能量和零电荷。态 $a_{1}^{†} (p) ∣0 ⟩$ 和 $a_{2}^{†} (p) ∣ 0$ 是 $H$ 的特征向量，特征值为，因而能量为 $ω_{p}$ ，但它们不是 $Q .$ 的特征向量，因此不具有良定义的电荷。

所有这些都可以推广到 $m$ 个 $> 2$ 实标量场的情形，此时作用的是更大的群 $S O (m)$ ，而不是群 $S O (2)$ 。李代数现在是多维的，其基为基本反对称矩阵 $ϵ_{j k}$ 2，其中 $j, k = 1, 2, \dots, m$ 且 $j < k$ ，它们对应于 $j k$ 平面内的无穷小旋转。群元素可以通过将不同平面内的旋转 $e^{θ ϵ_{j k}}$ 相乘来构造。我们得到的不是单个算符 $Q .$ ，而是多个算符

- i Q_{j k} = - i \int_{R^{3}} (Π_{k} (x) Φ_{j} (x) - Π_{j} (x) Φ_{k} (x)) d^{3} x

以及通过

U_{j k} (θ) = e^{- i θ Q_{j k}}

在 $j k$ 平面内旋转域算符。这些同样在状态空间上给出酉算符，并且通过取它们的适当乘积，在状态空间上给出整个群 $S O (m)$ 的酉表示。 $Q_{j k}$ 与哈密顿算子（推广到 $m$ 分量的情形）对易，因此该理论的能量本征态分解为 $S O (m) (a$ 的不可约表示，但受制于我们尚未针对 $m > 3)$ 讨论的条件。

44.1.2 U(1) 对称性与复标量场

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 特征值 · 酉表示 · 荷算符 · 圆群 U(1) · 复化

有时，与其用一对 $Φ_{1}, Φ_{2}$ 实域来描述具有 $S O (2)$ 对称性的标量域系统，不如用复标量域和 $U (1)$ 对称性来处理更为方便。这还将允许对具有确定电荷可观测量值的态使用域算符以及湮灭和产生算符。然而，将 Klein-Gordon 方程的复解构成的复向量空间取作 $M$ 会令人困惑，因为 Bargmann-Fock 量子化方法要求我们对 $M$ 进行复化，而复向量空间的复化是一个需要谨慎处理的概念。更简单地说，这里可以把一对实域的 Klein-Gordon 方程的解空间 $M$ 看作具有两种不同的复结构：

• 相对论复结构 $J_{r}$ ，它在 $M \otimes C$ 中的正能量解上为 + $i$ ，在 $M \otimes C$ 中的负能量解上为 − $i$

• “电荷”复结构 $J_{C}$ ，它在正电荷解上为 $+ i$ ，在负电荷解上为 − $i$ 。

算符 $J_{r}$ 与 $J_{C}$ 将对易，因此我们可以在 $M \otimes C$ 上同时将它们对角化，并将正能量解空间分解为 $J_{C}$ 的 $\pm i$ 特征子空间，所以

H_{1} = M_{J_{r}}^{+} = H_{1}^{+} \oplus H_{1}^{-}

其中 $H_{1}^{+}$ 将是具有 $J_{C} = + i$ 的正能量解，而 $H_{1}^{-}$ 将是具有 $J_{C} = - i$ 的正能量解。和之前一样，取 $α_{1} (p), α_{2} (p)$ 作为 $H_{1}$ 中元素的动量空间初始数据，我们将定义

α (p) = \frac{1}{2} (α_{1} (p) - i α_{2} (p)) \in H_{1}^{+}, β (p) = \frac{1}{2} (α_{1} (p) + i α_{2} (p)) \in H_{1}^{-}

负能量解空间可分解为

M_{J_{r}}^{-} = \overline{H}_{1} = \overline{H}_{1}^{+} \oplus \overline{H}_{1}^{-}

和

\overline{α} (p) = \frac{1}{2} (\overline{α}_{1} (p) + i \overline{α}_{2} (p)) \in H_{1}^{+}, \overline{β} (p) = \frac{1}{2} (\overline{α}_{1} (p) - i \overline{α}_{2} (p)) \in H_{1}^{-}

我们将把 $A (p), B (p)$ 记作解 $α, β$ ，其初始数据为 $p, \overline{A} (p), \overline{B} (p)$ 处关于其共轭量的 delta 函数，而量子化将取

A (p) \to a^{†} (p) = \frac{1}{2} (a_{1}^{†} (p) - i a_{2}^{†} (p))

B (p) \to b^{†} (p) = \frac{1}{2} (a_{1}^{†} (p) + i a_{2}^{†} (p))

\overline{A} (p) \to a (p) = \frac{1}{2} (a_{1} (p) + i a_{2} (p))

\overline{B} (p) \to b (p) = \frac{1}{2} (a_{1} (p) - i a_{2} (p))

其中这些算符之间的非零交换关系由下式给出

[a (p), a^{†} (p^{'})] = δ (p - p^{'}), [b (p), b^{†} (p^{'})] = δ (p - p^{'})

该理论的态空间是实标量场态空间的两个副本的张量积。算符 $a^{†} (p), a (p)$ 通过产生或湮灭一个动量为 $p$ 的正电荷粒子作用于态空间，而 $b^{†} (p), b (p)$ 则产生或湮灭带负电荷的反粒子。真空态将满足

a (p) ∣0 ⟩ = b (p) ∣0 ⟩ = 0

该理论的哈密顿算符将为

H = \int_{R^{3}} ω_{p} (a^{†} (p) a (p) + b^{†} (p) b (p)) d^{3} p

而电荷算符是

Q = \int_{R^{3}} (a^{†} (p) a (p) - b^{†} (p) b (p)) d^{3} p

利用这些产生和湮灭算符，我们可以定义位置空间域算符，类似于实标量域情形中方程 43.19 和 43.20 所给出的那些。现在 $Φ (x)$ 将不是自伴的，但其伴随将是一个域 $Φ^{†} (x)$ ，它通过使电荷增加 1 来作用于态，其中一项产生粒子，另一项湮灭反粒子。我们定义

定义（复标量量子场）

复标量量子场算符是由下式定义的算符值分布
$Φ (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (a (p) e^{i p \cdot x} + b^{†} (p) e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}}$ $Φ^{†} (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (b (p) e^{i p \cdot x} + a^{†} (p) e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}}$ $Π (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (- i ω_{p}) (a (p) e^{i p \cdot x} - b^{†} (p) e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}}$ $Π^{†} (x) = \frac{1}{( 2 π ) ^{3/2}} \int_{R^{3}} (- i ω_{p}) (b (p) e^{i p \cdot x} - a^{†} (p) e^{- i p \cdot x}) \frac{d ^{3} p}{2 ω _{p}}$

这些满足对易关系

[Φ (x), Π^{†} (x^{'})] = [Π (x), Π^{†} (x^{'})] = [Φ (x), Π^{†} (x^{'})] = [Φ^{†} (x), Π (x^{'})] = 0

[Φ (x), Π (x^{'})] = [Φ^{†} (x), Π^{†} (x^{'})] = i δ^{3} (x - x^{'}) (44.2)

用这些场算符来表示，哈密顿算符将是

H = \int_{R^{3}} : (Π^{†} (x) Π (x) + (\nabla Φ^{†} (x)) (\nabla Φ (x)) + m^{2} Φ^{†} (x) Φ (x)) : d^{3} x

而电荷算符将是

Q = - i \int_{R^{3}} : (Π (x) Φ (x) - Π^{†} (x) Φ^{†} (x)) : d^{3} x

以 $L = i$ 作为 $u (1)$ 的基元素，利用下式可得到 $U (1)$ 的酉表示 $U$

U^{'} (L) = - i Q

和

U (θ) = e^{- i θ Q}

$U$ 通过共轭作用在域上：

U (θ) Φ U (θ)^{- 1} = e^{- i θ} Φ, U (θ) Φ^{†} U (θ)^{- 1} = e^{i θ} Φ^{†}

U (θ) Π U (θ)^{- 1} = e^{i θ} Π, U (θ) Π^{†} U (θ)^{- 1} = e^{- i θ} Π^{†}

它还将给出 $U (1)$ 在态上的一个表示，其中态空间分解为若干扇区，每个扇区由算符 $Q .$ 的整数特征值标记。

我们可以不从动量空间出发、以 $A (p), B (p)$ 给出的解为起点，而是考虑位置空间的初始数据和分布域

Φ (x) = \frac{1}{2} (Φ_{1} (x) + i Φ_{2} (x)), Π (x) = \frac{1}{2} (Π_{1} (x) - i Π_{2} (x)) (44.3)

及其复共轭 $\overline{Φ} (x), \overline{Π} (x)$ 。此类复域上的泊松括号关系将为

{Φ (x), \overline{Φ} (x^{'})} {Φ (x), Π (x^{'})} = {Π (x), \overline{Π} (x^{'})} = {Φ (x), \overline{Π} (x^{'})} = {\overline{Φ} (x), Π (x^{'})} = 0 = {\overline{Φ} (x), \overline{Π} (x^{'})} = δ (x - x^{'})

而经典哈密顿算子为

h = \int_{R^{3}} (∣Π ∣^{2} + ∣\nablaΦ ∣^{2} + m^{2} ∣Φ ∣^{2}) d^{3} x

电荷函数 $Q$ 将由下式给出

Q = - i \int_{R^{3}} (Π (x) Φ (x) - \overline{Π} (x) \overline{Φ} (x)) d^{3} x (44.4)

满足

{Q, Φ (x)} = i Φ (x), {Q, \overline{Φ} (x)} = - i \overline{Φ} (x)

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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