费米子泊松括号 (fermionic Poisson bracket)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§30.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

要得到伪经典力学，把Grassmann代数 ${\Lambda }^{\ast }({\mathbb{R}}^n)$ 视为经典可观测量的代数，也就是“费米子”相空间 $V={\mathbb{R}}^n$ 上的函数代数。费米子相空间不必是偶数维的。在这个代数上可以定义合适的费米子泊松括号(fermionic Poisson bracket)。通常的泊松括号在线性函数上是反对称双线性形式 $\Omega (\cdot ,\cdot )$；费米子泊松括号则以线性函数上的对称双线性形式，即内积 $(\cdot ,\cdot )$ 为基础。

§30.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

To get pseudo-classical mechanics, we think of the Grassmann algebra ${\Lambda }^{\ast }({\mathbf{R}}^n)$ as our algebra of classical observables, an algebra we can think of as functions on a “fermionic” phase space $V={\mathbf{R}}^n$ (note that in the fermionic case, the phase space does not need to be even dimensional). We want to find an appropriate notion of fermionic Poisson bracket operation on this algebra, and it turns out that this can be done. While the standard Poisson bracket is an antisymmetric bilinear form $\Omega (\cdot ,\cdot )$ on linear functions, the fermionic Poisson bracket will be based on a choice of symmetric bilinear form on linear functions, equivalently, a notion of inner product $(\cdot ,\cdot )$

§32 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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来源覆盖、定位与记录

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