复Clifford代数 (complex Clifford algebra)

§32: Cliff(n,C) in the boson/fermion comparison.

别名：Clifford algebra；Clifford代数

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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定义（ 复Clifford代数(complex Clifford algebra)）

单自由度的复Clifford代数 $\mathrm{Cliff}(2,\mathbb{C})$ 由 $1,a_F,a_F^{†}$ 生成，满足正则反对易关系（CAR）：

$$[a_F,a_F^{†}{]}_{+}=1,[a_F,a_F{]}_{+}=[a_F^{†},a_F^{†}{]}_{+}=0.$$

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Definition ( complex Clifford algebra)

The complex Clifford algebra for one degree of freedom, $\mathrm{Cliff}(2,\mathbb{C})$, is generated by $1,a_F,a_F^{†}$, subject to the canonical anticommutation relations (CAR):

$$[a_F,a_F^{†}{]}_{+}=1,[a_F,a_F{]}_{+}=[a_F^{†},a_F^{†}{]}_{+}=0.$$

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定义（ 复Clifford代数(complex Clifford algebra)）

具有 $d$ 个自由度的复Clifford代数 $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbb{C})$ 由 $1,a_{Fj},a_{Fj}^{†}$（$j=1,\dots ,d$）生成，满足CAR：

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}1,[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0.$$

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定义（ 复Clifford代数(complex Clifford algebra)）

$n$ 个变量的复Clifford代数 $\mathrm{Cliff}(n,\mathbb{C})$ 由 $1,{\gamma }_j$（$j=1,\dots ,n$）生成，满足

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}.$$

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Definition ( complex Clifford algebra)

For $d$ degrees of freedom, $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbb{C})$ is generated by $1,a_{Fj},a_{Fj}^{†}$ for $j=1,\dots ,d$, subject to the CAR:

$$[a_{Fj},a_{Fk}^{†}{]}_{+}={\delta }_{jk}1,[a_{Fj},a_{Fk}{]}_{+}=[a_{Fj}^{†},a_{Fk}^{†}{]}_{+}=0.$$

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Definition ( complex Clifford algebra)

The complex Clifford algebra $\mathrm{Cliff}(n,\mathbb{C})$ is generated by $1,{\gamma }_j$ for $j=1,\dots ,n$, subject to

$$[{\gamma }_j,{\gamma }_k{]}_{+}=2{\delta }_{jk}.$$

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