商群 (factor group)

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此外，陪集 $e N = N$ 扮演着一个单位元的角色，而每个陪集都有一个逆元 $(g N)^{- 1} = g^{- 1} N$ 。因此，正规子群 $N$ 的陪集形成一个群，称为由 $G$ 除以 $N$ 的商群(factor group)，表示为 $G / N$ 。

Nakahara 第3章 · 定理3.1 的证明 · 证明。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
Nakahara 第3章 · 例3.2 对定理3.1的应用 · 使用。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
Szekeres §2.5 · 一般群的商群构造 · 定义入口。Szekeres 要求 $N$ 正规；不是任意子群都可形成群商。
Nakahara 第3章 · §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3) · 定义入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。本章每个子群均正规，不能省去一般群商构造中的正规性条件。
Nakahara 第3章 · 定理3.1 同态基本定理 · 定理入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
Nakahara 第3章 · 引理3.1 核与像为子群 · 定理入口。Nakahara 本章限于阿贝尔群，运算记 +，单位元记 0；不把本章约定推广到任意群。
Nakahara 第3章 · 循环群和边界群的子群资格 · 使用。已引入边界同态，尚不把 Br 包含于 Zr 当作这里已证明。
Nakahara 第3章 · 定义3.5：同调群及作者的良定义说明 · 定义入口。本章整数系数单纯链；链群为自由阿贝尔群。该路径以群、子群和有向单形知识为已具备背景。可另行采用实数或模二系数；不将不同系数的定义自动等同。

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一般群中，陪集的乘积不一定仍是陪集；若子群 $N$ 正规，则陪集乘法给出商群。 Szekeres §2.5 · 一般群的商群构造

Nakahara 在阿贝尔群的加法记号下，以 $x - y \in H$ 定义等价类，并用 $[x] + [y] = [x + y]$ 诱导商上的运算；作者说明该运算与代表元选择无关。此章的子群因阿贝尔条件而正规。 Nakahara 第3章 · §3.1.1 商群 (3.2)–(3.3)

同态基本定理把定义域模核与像联系起来：

G_{1} / ker f ≅ im f . (3.6)

Nakahara · 作者条件与约定

Nakahara 以等价类构造加法商群，并验证诱导运算不依赖代表元；再陈述同态基本定理及其证明。

条件：该章讨论阿贝尔群，运算记为 $+$ 、单位元为 $0$ ；在此范围内子群正规。不能将本章仅以阿贝尔群为背景的构造直接用于一般群的任意子群。

记号： $G / H$ ； $[x] + [y] = [x + y]$ ； $G_{1} / ker f ≅ im f$ 。

Szekeres · 作者条件与约定

Szekeres 从陪集乘积出发，说明正规子群的陪集乘积仍是陪集，并由此构造商群。

条件： $N$ 必须是一般群 $G$ 的正规子群；任意子群的陪集乘积并不必是单个陪集。

记号：保留原文的左陪集及乘法记号。

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