2.1 映射

2.1.1 定义

设 $X$ 与 $Y$ 为集合。映射（map，或称 mapping）$f$ 是一种规则，它给每个 $x\in X$ 指定一个 $y\in Y$。我们记作

$$f:X\to Y.\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

若 $f$ 由某个显式公式给出，我们也可写作

$$f:x\mapsto f(x)\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

可能有不止两个 $X$ 中的元素对应于同一个 $y\in Y$。$X$ 中那些在 $f$ 下被映到 $y\in Y$ 的元素所构成的子集，称为 $y$ 的逆像(inverse image)，记作 $f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}$。集合 $X$ 称为该映射的定义域(domain)，而 $Y$ 称为该映射的值域(range)。映射的像为 $f(X)=\{y\in Y|y=f(x)\text{ for some }x\in X\}\subset Y$。像 $f(X)$ 也记作 $\mathrm{im}f$。读者应当注意，若不指明定义域与值域，就无法定义一个映射。以 $f(x)=\exp x$ 为例。若定义域与值域都是 $\mathbb{R}$，则 $f(x)=-1$ 没有逆像。

然而，若定义域与值域都是复平面 $\mathbb{C}$，则可得 $f^{-1}(-1)=\{(2n+1)\pi \mathrm{i}|n\in Z\}$。在确定一个映射时，定义域 $X$ 与值域 $Y$ 与 $f$ 本身同样重要。

例 2.1

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 由 $f(x)=\sin x$ 给出，我们也写作 $f:x\mapsto \sin x$。定义域与值域都是 $\mathbb{R}$，而像 $f(\mathbb{R})$ 为 $[-1,1]$。$0$ 的逆像为 $f^{-1}(0)=\{n\pi |n\in \mathbb{Z}\}$。现在我们取同一个函数 $f(x)=\sin x=({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x})/2\mathrm{i}$，但这次取 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$。此时像 $f(C)$ 是整个复平面 $\mathbb{C}$。

定义 2.1 单射、满射、双射

若一个映射满足某种条件，它就有一个专门的名称。

(a) 若 $x\ne x^{\prime }$ 蕴含 $f(x)\ne f(x^{\prime })$，则称映射 $f:X\to Y$ 为单射(injective)（或一一的）。
(b) 若对每个 $y\in Y$ 都至少存在一个元素 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$，则称映射 $f:X\to Y$ 为满射(surjective)（或到上的）。
(c) 若映射 $f:X\to Y$ 既是单射又是满射，则称它为双射(bijective)。

例 2.2

由 $f:x\mapsto ax$（$a\in \mathbb{R}-\{0\}$）定义的映射 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是双射。由 $f:x\mapsto x^2$ 定义的 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 既不是单射也不是满射。由 $f:x\mapsto \exp x$ 给出的 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是单射但不是满射。

练习 2.1

由 $f:x\mapsto \sin x$ 定义的映射 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 既不是单射也不是满射。请限制定义域和值域，使 $f$ 成为双射。

例 2.3

设 $M$ 是一般线性群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ 中的一个元素，其矩阵表示由行列式不为零的 $n\times n$ 矩阵给出。则 $M:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$、$x\mapsto Mx$ 是双射。若 $\det M=0$，则它既不是单射也不是满射。

常值映射 $c:X\to Y$ 由 $c(x)=y_0$ 定义，其中 $y_0$ 是 $Y$ 中一个固定元素，$x$ 是 $X$ 中任意元素。给定映射 $f:X\to Y$，我们可以考虑它在 $A\subset X$ 上的限制，记作 $f{|}_A:A\to Y$。给定两个映射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$，$f$ 与 $g$ 的复合映射是映射 $g\circ f:X\to Z$，由 $g\circ f(x)=g(f(x))$ 定义。若一对集合之间的任何复合映射都不依赖于复合的方式，则称一个映射图是交换图。例如，在图 2.1中，有 $f\circ g=h\circ j$ 和 $f\circ g=k$ 等等。

图 2.1　映射的交换图。

练习 2.2

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 由 $f:x\to x^2$ 定义，$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 由 $g:x\to \exp x$ 定义。则 $g\circ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 与 $f\circ g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 分别是什么？

若 $A\subset X$，则包含映射 $i:A\to X$ 由 $i(a)=a$（对任意 $a\in A$）定义。包含映射常记作 $i:A\hookrightarrow X$。恒等映射 ${\mathrm{id}}_X:X\to X$ 是包含映射的特例，此时 $A=X$。若由 $f:x\mapsto f(x)$ 定义的 $f:X\to Y$ 是双射，则存在逆映射 $f^{-1}:Y\to X$，使得 $f^{-1}:f(x)\to x$，且它也是双射。映射 $f$

与 $f^{-1}$ 满足 $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y$ 和 $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$。反之，若 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to X$ 满足 $f\circ g={\mathrm{id}}_Y$ 和 $g\circ f={\mathrm{id}}_X$，则 $f$ 与 $g$ 都是双射。这一点可由下面的习题证明。

练习 2.3

证明：若 $f:X\to Y$ 与 $g:Y\to X$ 满足 $g\circ f={\mathrm{id}}_X$，则 $f$ 是单射，且 $g$ 是满射。若把这一结论同样应用于 $f\circ g={\mathrm{id}}_Y$，便得到前面的结果。

例 2.4

设 $f:\mathbb{R}\to (0,\infty )$ 是由 $f:x\mapsto \exp x$ 定义的双射，则其逆映射 $f^{-1}:(0,\infty )\to \mathbb{R}$ 为 $f^{-1}:x\mapsto \ln x$。设 $g:(-\pi /2,\pi /2)\to (-1,1)$ 是由 $g:x\to \sin x$ 定义的双射，其逆映射为 $g^{-1}:x\mapsto {\sin }^{-1}x$。

练习 2.4

$n$ 维欧氏等距群（含反射）$E^n$ 由一个 $n$ 维平移 $a:x\to x+a$（$x,a\in {\mathbb{R}}^n$）和一个 $\mathrm{O}(n)$ 旋转 $R:x\to Rx$（$R\in \mathrm{O}(n)$）构成。$E^n$ 的一般元素 $(R,a)$ 通过 $(R,a):x\mapsto Rx+a$ 作用于 $x$。乘积由 $(R_2,a_2)\times (R_1,a_1):x\mapsto R_2(R_{1}x+a_1)+a_2$ 定义，即 $(R_2,a_2)\circ (R_1,a_1)=(R_2{R}_1,R_2{a}_1+a_2)$。证明映射 $a$、$R$ 和 $(R,a)$ 都是双射，并求出它们的逆映射。

设集合 $X$ 与 $Y$ 上赋予了某种代数结构（例如乘积或加法）。若 $f:X\to Y$ 保持这些代数结构，则称 $f$ 为同态。例如，设 $X$ 上赋予了乘积。若 $f$ 是同态，则它保持乘积，即 $f(ab)=f(a)f(b)$。注意，$ab$ 由 $X$ 中的乘积法则定义，而 $f(a)f(b)$ 由 $Y$ 中的乘积法则定义。若同态 $f$ 是双射，则称 $f$ 为同构，并称 $X$ 与 $Y$ 同构，记作 $x\cong y$。

2.1.2 等价关系与等价类

等价关系与等价类是数学中最重要的概念之一。虽然这些内容与映射没有直接关系，但在进一步讨论之前，先在此处给出它们的定义是恰当的。定义在集合 $X$ 中的关系 $R$ 是 $X^2$ 的一个子集。若点 $(a,b)\in X^2$ 属于 $R$，则可记作 $aRb$。例如，关系 $>$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个子集。若 $(a,b)\in >$，则 $a>b$。

定义 2.2 等价关系

等价关系(equivalence relation) $\sim$ 是满足下列要求的关系：

(i) $a\sim a$（自反）。
(ii) 若 $a\sim b$，则 $b\sim a$（对称）。
(iii) 若 $a\sim b$ 且 $b\sim c$，则 $a\sim c$（传递）。

练习 2.5

整数除以 2 时，余数或为 0 或为 1。若两个整数 $n$ 与 $m$ 的余数相同，我们就记作 $m\sim n$。证明 $\sim$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的等价关系。

给定集合 $X$ 及其上的等价关系 $\sim$，我们就把 $X$ 划分成一些互不相交的子集，称为等价类(equivalence class)。等价类 $[a]$ 由 $X$ 中所有满足 $x\sim a$ 的元素 $x$ 组成，

$$[a]=\{x\in X|x\sim a\}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

由于 $a\sim a$，$[a]$ 不可能是空集。下面证明：若 $[a]\cap [b]\ne \varnothing$，则 $[a]=[b]$。首先注意 $a\sim b$。（因为 $[a]\cap [b]\ne \varnothing$，所以 $[a]\cap [b]$ 中至少有一个元素满足 $c\sim a$ 与 $c\sim b$。由传递性即得 $a\sim b$。）其次证明 $[a]\subset [b]$。任取 $[a]$ 中的元素 $a^{\prime }$，有 $a^{\prime }\sim a$。于是由 $a\sim b$ 可得 $b\sim a^{\prime }$，即 $a^{\prime }\in [b]$。因此 $[a]\subset [b]$。同理可证 $[a]\supset [b]$，从而 $[a]=[b]$。所以两个等价类 $[a]$ 与 $[b]$ 或者满足 $[a]=[b]$，或者满足 $[a]\cap [b]=\varnothing$。这样，集合 $X$ 就被分解为一些互不相交的等价类。所有等价类构成的集合称为商空间(quotient space)，记作 $X/\sim$。元素 $a$（或 $[a]$ 中的任一元素）称为等价类 $[a]$ 的代表元。在练习 2.5中，等价关系 $\sim$ 把整数分成两类：偶数与奇数。我们可以取偶数类的代表元为 0，奇数类的代表元为 1。把这个商空间记作 $\mathbb{Z}/\sim$。$\mathbb{Z}/\sim$ 同构于 ${\mathbb{Z}}_2$，即 2 阶循环群，其代数运算由 $0+0=0$、$0+1=1+0=1$ 和 $1+1=0$ 定义。若按除以 $n$ 的余数把所有整数分成等价类，则所得的商空间同构于 ${\mathbb{Z}}_n$，即 $n$ 阶循环群。

设 $X$ 是我们通常意义下的空间。（更确切地说，我们需要拓扑空间的概念，它将在2.3 节中定义。目前我们暂且依赖对“空间”的直观理解。）于是商空间可以具体化为几何图形。例如，设 $x$ 与 $y$ 是 $\mathbb{R}$ 中的两点。

(a)

(b)

图 2.2. (a) 所有点 $x+2n\pi$（$n\in \mathbb{Z}$）都在同一个等价类 $[x]$ 中。我们可以取 $x\in [0,2\pi )$ 作为 $[x]$ 的代表元。(b) 商空间 $\mathbb{R}/\sim$ 就是圆周 $S^1$。

引入关系 $\sim$ 如下：若存在 $n\in \mathbb{Z}$ 使得 $y=x+2\pi n$，则记 $x\sim y$。容易证明 $\sim$ 是等价关系。等价类 $[x]$ 就是集合 $\{\dots ,x-2\pi ,x,x+2\pi ,\dots \}$。数 $x\in [0,2\pi )$ 可作为等价类 $[x]$ 的代表元，见图 $2.2(a)$。注意 $0$ 与 $2\pi$ 是 $\mathbb{R}$ 中不同的点，但按照这个等价关系，它们被看作 $\mathbb{R}/\sim$ 中的同一个元素。由此我们得出结论：商空间 $\mathbb{R}/\sim$ 就是圆周 $S^1=\{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }|0\le \theta <2\pi \}$；见图 $2.2(b)$。注意，当 $\epsilon$ 为无穷小时，点 $\epsilon$ 与点 $2\pi -\epsilon$ 很接近。在 $S^1$ 上情况确实如此：角 $\epsilon$ 与角 $2\pi -\epsilon$ 很接近；但在 $\mathbb{R}$ 上则不然。点的接近这一概念是拓扑学的主要要素之一。

例 2.5

(a) 设 $X$ 是方形盘 $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2||x|\ge 1,|y|\ge 1\}$。若把一对对边上的点认同起来，例如 $(-1,y)\sim (1,y)$，就得到圆柱面，见图 2.3(a)。若认同点 $(-1,-y)\sim (1,y)$，则得到莫比乌斯带，见图 2.3(b)。[注：若读者不熟悉莫比乌斯带，可以取一条纸带，扭转 $\pi$ 之后把两端粘合起来。由于这一扭转，纸带的一面与另一面连接在一起，使该曲面成为单侧的。莫比乌斯带是不可定向曲面的一个例子，而圆柱面有确定的侧面，称为可定向(orientable)的。可定向性将在5.5 节中用微分形式来讨论。]

图 2.3. (a) 把边 $|x|=1$ 按箭头方向认同，构成圆柱面。(b) 若把边按相反方向认同，则得到莫比乌斯带。

(b) 设 $(x_1,y_1)$ 与 $(x_2,y_2)$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的两点，并引入等价关系 $\sim$ 如下：若 $x_2=x_1+2\pi n_x$ 且 $y_2=y_1+2\pi n_y$，$n_x,n_y\in \mathbb{Z}$，则 $(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)$。于是 $\sim$ 是等价关系。商空间 ${\mathbb{R}}_2/\sim$ 就是环面 $T^2$（即甜甜圈的表面），见图 2.4(a)。或者，$T^2$ 也可

图 2.4. 若把所有点 $(x+2\pi n_x,y+2\pi n_y),n_x,n_y\in \mathbb{Z}$ 按 (a) 中的方式认同，则商空间可取为阴影区域，其边按 (b) 中的方式认同。所得的商空间就是环面 $T^2$。

用一个边按图 2.4(b) 的方式认同的矩形来表示。

(c) 若用其他方式认同矩形的边，情况又如何呢？图 2.5 给出了各种可能的认同方式。由这些认同得到的空间

(a)

(b)

图 2.5. 克莱因瓶 $(a)$ 与射影平面 $(b)$。

称为克莱因瓶，见图 2.5(a)，以及射影平面，见图 2.5(b)；这两者都不能不自交地实现（或嵌入）于欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中。已知它们都是不可定向的。

射影平面记作 $R{P}^2$，可以这样来想象。考虑一个单位向量 $n$，并把 $n$ 与 $-n$ 认同，见图 2.6。例如，当我们描述一根没有头尾的杆时，就会出现这种认同。我们很自然地想用 $S^2$ 上的一个点来指定这个“向量” $n$。除一个点之外，这样做是可行的。两个对径点 $n=(\theta ,\varphi )$ 与 $-n=(\pi -\theta ,\pi +\varphi )$ 表示同一个状态。于是由于只需要 $S^2$ 的一半，我们可以取北半球作为陪集空间 $S^2/\sim$。然而，这个陪集空间并不只是一个普通的半球，因为赤道上的对径点被认同了。把这个半球连续形变为一个正方形，就得到图 2.5(b) 中的正方形。

图 2.6. 若 $n$ 没有头也没有尾，就无法把 $n$ 与 $-n$ 区分开，因而必须将它们认同。通过这种认同 $n\sim -n$ 就得到实射影平面 $R{P}^2$；$R{P}^2\simeq S^2/\sim$。要描述这个陪集空间，只需取一个半球。但要注意，赤道上的对径点被认同了。

(d) 让我们认同图 2.7(a) 所示八边形的各对边。所得的商空间是带两个柄的环面，记作 ${\Sigma }_2$，见图 2.7(b)。带 $g$ 个柄的环面 ${\Sigma }_g$ 可以通过类似的认同得到，见练习 2.1。整数 $g$ 称为该环面的亏格(genus)。
(e) 设 $D^2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2\le 1\}$ 是闭圆盘。认同边界 $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2=1\}$ 上的点：若 $x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=1$，则 $(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)$。于是得到球面 $S^2$，即商空间 $D^2/\sim$，也记作 $D^2/S^1$，见图 2.8。若取 $n$ 维圆盘 $D^n=\{(x_0,\dots ,x^n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|(x_0{)}^2+\cdots +(x^n{)}^2\le 1\}$ 并认同其表面 $S^{n-1}$ 上的点，就得到 $n$ 维球面 $S^n$，即 $D^n/S^{n-1}=S^n$。

(a)

图 2.7. 若把 $(a)$ 的各边认同，就得到带两个洞的环面（亏格为二）。

图 2.8. 边界 $S^1$ 被认同的圆盘 $D^2$ 就是球面 $S^2$。

练习 2.6

设 $\mathrm{H}$ 为上半复平面 $\{\tau \in \mathbb{C}|\mathrm{Im}\tau \ge 0\}$。定义一个

群

$$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})\equiv \left\{\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)|a,b,c,d\in \mathbb{Z},ad-bc=1\right\}.\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

对 $\tau ,{\tau }^{\prime }\in \mathrm{H}$ 引入关系 $\sim$：当 $\tau \sim {\tau }^{\prime }$ 时，若存在矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$$

使得

$${\tau }^{\prime }=(a\tau +b)/(c\tau +d).\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

证明这是一个等价关系。（商空间 $\mathrm{H}/\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 如图 8.3所示。）

例 2.6

设 $G$ 为一个群，$H$ 是 $G$ 的一个子群。取 $g,g^{\prime }\in G$，并引入等价关系 $\sim$：若存在 $h\in H$ 使得 $g^{\prime }=gh$，则称 $g\sim g^{\prime }$。我们把等价类 $[g]=\{gh|h\in H\}$ 记作 $gH$。类 $gH$ 称为（左）陪集(coset)。$gH$ 满足 $gH\cap g^{\prime }H=\varnothing$ 或 $gH=g^{\prime }H$ 之一。商空间记作 $G/H$。一般说来，除非 $H$ 是 $G$ 的正规子群，即对任意 $g\in G$ 和 $h\in H$ 都有 $gh{g}^{-1}\in H$，否则 $G/H$ 不是群。若 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $G/H$ 称为商群(quotient group)，其群运算(group operation)由 $[g]\ast [g^{\prime }]=[g{g}^{\prime }]$ 给出，其中 $\ast$ 是 $G/H$ 中的乘积。取 $ghϵ[g]$ 和 $g^{\prime }{h}^{\prime }ϵ[g^{\prime }]$。于是存在 $h^{\prime \prime }ϵH$ 使得 $h{g}^{\prime }=g^{\prime }{h}^{\prime \prime }$，从而 $gh{g}^{\prime }{h}^{\prime }=g{g}^{\prime }{h}^{\prime \prime }{h}^{\prime }ϵ[g{g}^{\prime }]$。$G/H$ 的单位元是等价类 $[e]$，而 $[g]$ 的逆元是 $[g^{-1}]$。

练习 2.7

设 $G$ 为一个群。若存在 $g\in G$ 使得 $b=ga{g}^{-1}$，则称两个元素 $a,b\in G$ 彼此共轭(conjugate)，记作 $a\simeq b$。证明 $\simeq$ 是等价关系。等价类 $[a]=\{ga{g}^{-1}|g\in G\}$ 称为共轭类(conjugacy class)。

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