3.1 阿贝尔群

同调群背后的数学结构是有限生成阿贝尔群。本章中，由于所考虑的群都是阿贝尔群（交换群），群运算一律用 $+$ 表示。单位元记为 0。

3.1.1 初等群论

设 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 为阿贝尔群。若映射 $f : G_{1} \to G_{2}$ 满足

f (x + y) = f (x) + f (y) (3.1)

对任意 $x, y \in G_{1}$ 都成立，则称 $f$ 为群同态(homomorphism)。若 $f$ 同时还是双射，则称 $f$ 为同构(isomorphism)。若存在同构 $f : G_{1} \to G_{2}$ ，则称 $G_{1}$ 与 $G_{2}$ 同构，记作 $G_{1} ≅ G_{2}$ 。例如，由下式定义的映射 $f : Z \to Z_{2} = {0, 1}$

f (2 n) = 0 f (2 n + 1) = 1

就是一个群同态。事实上

f (2 m + 2 n) = f (2 (m + n)) = 0 = 0 + 0 = f (2 m) + f (2 n)

f (2 m + 1 + 2 n + 1) = f (2 (m + n + 1)) = 0 = 1 + 1 = f (2 m + 1) + f (2 n + 1)

f (2 m + 1 + 2 n) = f (2 (m + n) + 1) = 1 = 1 + 0 = f (2 m + 1) + f (2 n) .

若子集 $H \subset G$ 关于 $G$ 的群运算构成群，则称它为子群(subgroup)。例如，

k Z \equiv {k n ∣ n \in Z} k \in N

是 $Z$ 的子群，而 $Z_{2} = {0, 1}$ 则不是。

设 $H$ 是 $G$ 的子群。对 $x, y \in G$ ，若

x - y \in H (3.2)

则称二者等价，并记作 $x \sim y$ 。显然 $\sim$ 是一个等价关系。 $x$ 所属的等价类记作 $[x]$ 。设 $G / H$ 为商空间。 $G$ 中的群运算 $+$ 自然地诱导出 $G / H$ 中的群运算 $+$ ，其定义为

[x] + [y] = [x + y] . (3.3)

注意，左端的 $+$ 是 $G / H$ 中的运算，而右端的 $+$ 是 $G$ 中的运算。 $G / H$ 中的运算不应依赖于代表元的选取。事实上，若 $[x^{'}] = [x]$ 、 $[y^{'}] = [y]$ ，则对某个 $h, g \in H$ 有 $x - x^{'} = h$ 、 $y - y^{'} = g$ ，于是我们发现

x^{'} + y^{'} = x + y - (h + g) \in [x + y]

此外，由于 $H$ 总是 $G$ 的正规子群， $G / H$ 在此运算下构成一个群；见例 2.6。 $G / H$ 的单位元是 $[0] = [h]$ ，

$h \in H$ 。若 $H = G$ ，则对任意 $x \in G$ 都有 $0 - x \in G$ ，且 $G / G$ 只有一个元素 [0]。若 $H = {0}$ ，则 $G / H$ 就是 $G$ 本身，因为 $x - y = 0$ 当且仅当 $x = y$ 。

例 3.1

我们来计算商群 $Z /2 Z$ 。对于偶数，有 $2 n - 2 m = 2 (n - m) \in 2 Z$ ，从而 $[2 m] = [2 n]$ 。对于奇数，有 $(2 n + 1) - (2 m + 1) = 2 (n - m) \in 2 Z$ ，从而 $[2 m + 1] = [2 n + 1]$ 。由于 $2 n - (2 m + 1) \in / 2 Z$ ，偶数与奇数绝不会属于同一个等价类。因此可得

$Z /2 Z = {[0], [1]} . (3.4)$
若用 $φ ([0]) = 0$ 和 $φ ([1]) = 1$ 定义同构 $φ : Z /2 Z \to Z_{2}$ ，则得到 $Z /2 Z ≅ Z_{2}$ 。对于一般的 $k \in N$ ，有

$Z / k Z ≅ Z_{k} . (3.5)$

引理 3.1

设 $f : G_{1} \to G_{2}$ 是一个群同态，则

(a) $ker f = {x ∣ x \in G_{1}, f (x) = 0}$ 是 $G_{1}$ 的子群；
(b) $im f = {x ∣ x \in f (G_{1}) \subset G_{2}}$ 是 $G_{2}$ 的子群。

证明

(a) 设 $x, y \in ker f$ 。由于 $f (x + y) = f (x) + f (y) = 0 + 0 = 0$ ，故有 $x + y \in ker f$ 。注意，对 $f (0) = f (0) + f (0)$ 有 $0 \in ker f$ 。又因为 $f (0) = f (x - x) = f (x) + f (- x) = 0$ ，我们还有 $- x \in ker f$ 。

(b) 设 $y_{1} = f (x_{1}), y_{2} = f (x_{2}) \in im f$ ，其中 $x_{1}, x_{2} \in G_{1}$ 。由于 $f$ 是群同态，我们有 $y_{1} + y_{2} = f (x_{1}) + f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2}) \in im f$ 。显然 $0 \in im f$ ，因为 $f (0) = 0$ 。若 $y = f (x), - y \in im f$ ，则由 $0 = f (x - x) = f (x) + f (- x)$ 可推出 $f (- x) = - y$ 。

定理 3.1 · 同态基本定理

设 $f : G_{1} \to G_{2}$ 是一个群同态，则

$G_{1} / ker f ≅ im f . (3.6)$

证明

由引理 3.1 可知，两边都是群。定义映射 $φ : G_{1} / ker f \to im f$ 为 $φ ([x]) = f (x)$ 。这个映射是良定义的，因为对 $x^{'} \in [x]$ ，存在 $h \in ker f$ 使得 $x^{'} = x + h$ ，从而 $f (x^{'}) = f (x + h) = f (x) + f (h) = f (x)$ 。下面我们证明 $φ$ 是同构。首先， $φ$ 是群同态，

φ ([x] + [y]) = φ ([x + y]) = f (x + y) = f (x) + f (y) = φ ([x]) + φ ([y]) .

其次， $φ$ 是单射：若 $φ ([x]) = φ ([y])$ ，则 $f (x) = f (y)$ ，即 $f (x) - f (y) = f (x - y) = 0$ 。这表明 $x - y \in ker f$ ，从而 $[x] = [y]$ 。最后， $φ$ 是满射：若 $y \in im f$ ，则存在 $x \in G_{1}$ 使得 $f (x) = y = φ ([x])$ 。

例 3.2

设 $f : Z \to Z_{2}$ 由 $f (2 n) = 0$ 和 $f (2 n + 1) = 1$ 定义。则 $ker f = 2 Z$ 与 $im f = Z_{2}$ 都是群。定理 3.1 表明 $Z /2 Z ≅ Z_{2}$ ，这与例 3.1 一致。

3.1.2 有限生成阿贝尔群与自由阿贝尔群

设 $x$ 是群 $G$ 中的一个元素。对 $n \in Z, n x$ ，规定

n x + \dots + x (i f n > 0)

以及

∣ n ∣ (- x) + \dots + (- x) (i f n < 0) .

若 $n = 0$ ，则令 $0 x = 0$ 。取 $G$ 中的 $r$ 个元素 $x_{1}, \dots, x_{r}$ 。 $G$ 中形如

n_{1} x_{1} + \dots + n_{r} x_{r} (n_{i} \in Z, 1 \leq i \leq r) (3.7)

的元素构成 $G$ 的一个子群，记作 $H$ 。 $H$ 称为由生成元(generator) $x_{1}, \dots, x_{r}$ 生成的 $G$ 的子群。若 $G$ 本身可由有限个元素 $x_{1}, \dots, x_{r}$ 生成，则称 $G$ 是有限生成的。若仅当 $n_{1} = \dots = n_{r} = 0$ 时 $n_{1} x_{1} + \dots + n_{r} x_{r} = 0$ 才成立，则称 $x_{1}, \dots, x_{r}$ 线性无关(linearly independent)。

定义 3.1 自由阿贝尔群

若 $G$ 由 $r$ 个线性无关的元素有限生成，则称 $G$ 为秩为 $r$ 的自由阿贝尔群(free Abelian group)。

例 3.3

$Z$ 是由 1（或 $- 1$ ）有限生成的秩为 1 的自由阿贝尔群。设 $Z \oplus Z$ 为二元组 ${(i, j) ∣ i, j \in Z}$ 的集合，它是由生成元 $(1, 0)$ 与 $(0, 1)$ 有限生成的秩为 2 的自由阿贝尔群。更一般地，

$r Z \oplus Z \oplus \dots \oplus Z$
是秩为 $r$ 的自由阿贝尔群。群 $Z_{2} = {0, 1}$ 由 1 有限生成，但它不是自由的，因为 1 不是线性无关的（注意 $1 + 1 = 0$ ）。

3.1.3 循环群

若 $G$ 由一个元素 $x$ 生成，即 $G = {0, \pm x, \pm 2 x, \dots}$ ，则称 $G$ 为循环群。若对任意 $n \in Z - {0}$ 都有 $n x \neq = 0$ ，则它是无限循环群；而若对某个 $n \in Z - {0}$ 有 $n x = 0$ ，则它是有限循环群。设 $G$ 是由 $x$ 生成的循环群，并设 $f : Z \to G$ 是由 $f (n) = n x$ 定义的群同态。 $f$ 把 $Z$ 映满 $G$ ，但不一定是一一的。由定理 3.1 可得 $G = im f ≅ Z / ker f$ 。设 $N$ 是使 $N x = 0$ 成立的最小正整数。显然

ker f = {0, \pm N, \pm 2 N, \dots} = N Z (3.8)

于是有

G ≅ Z / N Z ≅ Z_{N} . (3.9)

若 $G$ 是无限循环群，则 $ker f = {0}$ ，且 $G ≅ Z$ 。任何无限循环群都同构于 $Z$ ，而有限循环群则同构于某个 $Z_{N}$ 。

我们将在适当的时候用到下面的引理和定理。先不加证明地陈述该引理。

引理 3.2

设 $G$ 是秩为 $r$ 的自由阿贝尔群， $H (\neq = \emptyset)$ 是 $G$ 的子群。我们总可以从 $G$ 的 $r$ 个生成元中选出 $p$ 个生成元 $x_{1}, \dots, x_{p}$ ，使得 $k_{1} x_{1}, \dots, k_{p} x_{p}$ 生成 $H$ 。于是 $H ≅ k_{1} Z \oplus \dots \oplus k_{p} Z$ ，且 $H$ 的秩为 $p$ 。

定理 3.2 · 有限生成阿贝尔群的基本定理

设 $G$ 是由 $m$ 个生成元生成的有限生成阿贝尔群（不必是自由群）。则 $G$ 同构于若干循环群的直和，

$G ≅ r Z \oplus \dots \oplus Z \oplus Z_{k_{1}} \oplus \dots \oplus Z_{k_{p}} (3.10)$
其中 $m = r + p$ 。数 $r$ 称为 $G$ 的秩(rank)。

证明

设 $G$ 由 $m$ 个元素 $x_{1}, \dots, x_{m}$ 生成，并设

f : m Z \oplus \dots \oplus Z \to G

是一个满同态，

f (n_{1}, \dots, n_{m}) = n_{1} x_{1} + \dots + n_{m} x_{m} .

由定理 3.1 可知

m Z \oplus \dots \oplus Z / ker f ≅ G .

由于 $ker f$ 是

m Z \oplus \dots \oplus Z

的子群，引理 3.2 断言：只要适当地选取生成元，就有

ker f ≅ k_{1} Z \oplus \dots \oplus k_{p} Z .

最终得到

G ≅ m Z \oplus \dots \oplus Z / ker f ≅ m Z \oplus \dots \oplus Z / (k_{1} Z \oplus \dots \oplus k_{p} Z) ≅ m - p Z \oplus \dots \oplus Z \oplus Z_{k_{1}} \oplus \dots \oplus Z_{k_{p}} .

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3.1.2 有限生成阿贝尔群与自由阿贝尔群

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