三角不等式 (Triangle inequality)

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来源短摘录与定位

§5.2 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 5.6 · 三角不等式 (Triangle inequality)

（三角不等式）对于内积空间中的任意一对向量 $u$ 和 $v$，

$$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert .\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

证明

$$\begin{array}{rl}(\Vert u+v\Vert {)}^2& =⟨u+v|u+v⟩\\ & =⟨u|u⟩+⟨v|v⟩+⟨v|u⟩+⟨u|v⟩\\ & =\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(⟨u|v⟩)\\ & \le \Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2|⟨u|v⟩|\\ & \le \Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert \text{ by Eq. (5.13) }\\ & =(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert {)}^2.\end{array}$$

对式 (5.14) 的三角不等式取平方根即得。

§5.2 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 5.6 · Triangle inequality

(Triangle inequality) For any pair of vectors $u$ and $v$ in an inner product space,

$$\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert .\text{\hspace{1em}(5.14)}$$

Proof

$$\begin{array}{rl}(\Vert u+v\Vert {)}^2& =⟨u+v|u+v⟩\\ & =⟨u|u⟩+⟨v|v⟩+⟨v|u⟩+⟨u|v⟩\\ & =\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2\mathrm{Re}(⟨u|v⟩)\\ & \le \Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2|⟨u|v⟩|\\ & \le \Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert \text{ by Eq. (5.13) }\\ & =(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert {)}^2.\end{array}$$

The triangle inequality Eq. (5.14) follows on taking square roots.

§10.3 · zh-CN · translation · unreviewed

条件 (Met4) 称为 三角不等式(triangle inequality)——三角形 $xyz$ 任意一边的长度小于另外两边之和。对于度量空间 $(M,d)$ 中的每个 $x$ 以及正实数 $a>0$，我们定义开球 $B_a(x)=\{y\mid d(x,y)<a\}$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#theorem-5-6”
• href=“#equation-5-14”
• href=“#theorem-5-6”
• href=“#equation-5-14”

来源覆盖、定位与记录

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