半直积 (semi-direct product)

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来源短摘录与定位

§2.7 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 2.25

设 $V$ 是组成法则为 $+$ 的阿贝尔群，$G$ 是在 $V$ 上有左作用的任意群，仍记作 $g:v\mapsto gv$。进一步假设每个 $g$ 的作用都是 $V$ 的同态：

$$g(v+w)=gv+gw.$$

(a) 证明 $G\times V$ 在以下组成法则下是群：

$$(g,v)(g^{\prime },v^{\prime })=(g{g}^{\prime },v+g{v}^{\prime }).$$

此群称为 $G$ 与 $V$ 的半直积(semi-direct product)，记作 $G\text{S◯}V$。

(b) 证明 $(g,0)$ 型元素组成一个同构于 $G$ 的子群；$V$ 同构于子群 $(e,V)$，且后者是正规子群。

(c) 证明半直积的每个元素都有唯一分解 $vg$，其中 $g\equiv (g,0)\in G$，$v\equiv (e,v)\in V$。

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