2.7 对称群

对于物理学家来说，对群的真正兴趣在于它们与相关空间或某些重要函数（如拉格朗日）的对称性之间的联系。在此，空间 $X$ 的概念将从最广义的角度来理解，指的是具有 “结构 “的集合 $X$，如第 1.6 节所述。这类空间的定义可能涉及代数和几何结构的组合，但关键是它们的定义总是涉及空间上某些函数的指定。例如，代数结构（如群）需要组成法则，即定义在底层集合的笛卡尔积上的函数。几何结构（如拓扑学）通常涉及对$X$子集的选择–这也可以定义为对$X$幂集的特征函数。就目前而言，让我们简单地把空间看作是一个集合 $X$ 连同一个或多个函数 $F:X\to Y$ 到定义在其上的另一个集合 $Y$。这个概念足够概括 “空间 “的基本概念。

如果$F$是$X$上的$Y$值函数，我们说变换$g:X\to X$保持$F$不变，如果

$$F(x)=F(gx)\text{ for all }x\in X$$

其中，正如第2.6节中所述，我们用$gx\equiv g(x)$表示左作用。

定理 2.6

对于$X$上的所有使$F$不变的变换组成一个群。

证明

老三样：

封闭性：如果$g$和$h$使$F$不变，则对于所有$x\in X$，$F(x)=F(hx)$，对于所有$y\in X$，$F(y)=F(gy)$。因此$gh\equiv g\circ h$也使$F$不变，因为$F(ghx)=F(g(hx))=F(hx)=$ $F(x)$。

恒等元：很明显，$F(x)=F\left({\mathrm{id}}_X(x)\right)$; 也就是说，${\mathrm{id}}_X$使$F$不变。

逆元：如果$g$是一个变换，那么存在一个逆变换$g^{-1}$，使$g{g}^{-1}={\mathrm{id}}_X$。如果$g$使$F$不变，那么$g^{-1}$也使$F$不变，因为

$$F\left(g^{-1}x\right)=F\left(g\left(g^{-1}x\right)\right)=F(x).$$

将上述定理推广到定义在 $X$ 上的任意函数族 $\mathcal{F}$ 是一件很简单的事情。保持所有函数 $F\in \mathcal{F}$ 不变的变换群称为 $\mathcal{F}$ 的不变群(invariance group)或对称群(symmetry group)。以下是数学物理学中一些重要的对称群例子。

例 2.27

旋转群$SO(3)$。正如例2.11中所述，让${\mathbb{R}}^3$是所有$3\times 1$列向量的集合

$$\mathbf{r}=\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)x,y,z\in \mathbb{R}$$

考虑${\mathbb{R}}^3$上所有线性变换$\mathbf{r}\mapsto {\mathbf{r}}^{\prime }=\mathrm{A}\mathbf{r}$，其中$\mathrm{A}$是一个$3\times 3$矩阵，它将点到原点的距离$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$保持不变。由于$r^2={\mathbf{r}}^T\mathbf{r}$，我们有

$$r^{\prime 2}={\mathbf{r}}^{\prime T}{\mathbf{r}}^{\prime }={\mathbf{r}}^T{\mathrm{A}}^T\mathrm{A}\mathbf{r}=r^2={\mathbf{r}}^T\mathbf{r}$$

这对于任意矢量$\mathbf{r}$都成立，当且仅当$\mathrm{A}$是正交矩阵，${\mathrm{AA}}^T=\mathrm{I}$。正如例2.11中所示，正交变换的行列式都为$\pm 1$ 。其中行列式为$+1$的叫做旋转，而行列式为$-1$的必须涉及一个平面上的反射；例如，变换$x^{\prime }=x,y^{\prime }=$ $y,z^{\prime }=-z$。 同样地，$O(n)$是$n$维距离函数的对称群，

$$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$$

其中行列式为正的则用$SO(n)$表示，称为$n$维空间的旋转群。我们假定这个群的变换都是线性变换，不会有任何损失，因为可以证明，任何使$r^2$保持不变的${\mathbb{R}}^n$变换必须是线性的（参见第18章）。

例 2.28

欧氏群(Euclidean group)。欧氏空间 ${\mathbb{E}}^3$ 定义为笛卡尔空间 ${\mathbb{R}}^3$，任意一对点之间的距离函数为：

$$\Delta s^2={\left({\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1\right)}^2=\Delta {\mathbf{r}}^T\Delta \mathbf{r}.$$

保持任意一对点之间距离不变的 ${\mathbb{E}}^3$ 的变换称为欧氏变换(Euclidean transformation)。与旋转群的情形类似，欧氏变换 $\mathbf{r}\mapsto {\mathbf{r}}^{\prime }$ 满足

$$\Delta {\mathbf{r}}^{\prime }=\mathsf{A}\Delta \mathbf{r},\mathsf{A}{\mathsf{A}}^T=\mathsf{I}.$$

对任意一对点，有 ${\mathbf{r}}_2^{\prime }-{\mathbf{r}}_1^{\prime }=\mathsf{A}({\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1)$。令 ${\mathbf{r}}_1=0$ 为原点，且 $0^{\prime }=\mathbf{a}$，则 ${\mathbf{r}}_2^{\prime }-\mathbf{a}=\mathsf{A}{\mathbf{r}}_2$。由于 ${\mathbf{r}}_2$ 是 ${\mathbb{E}}^3$ 中任意一点，一般的欧氏变换具有形式

$${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathsf{A}\mathbf{r}+\mathbf{a},{\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I},\mathbf{a}=\text{常向量}.\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

这类变换常称为仿射变换(affine transformation)或非齐次线性变换(inhomogeneous linear transformation)。

随文练习

直接验证这些变换组成一个群，不使用定理 2.6。

欧氏变换组成的群称为欧氏群。把 $\mathbf{r}$ 替换成 $4\times 1$ 列矩阵 $(x,y,z,1{)}^T$，还可以将它写成矩阵群：

$$\left(\begin{array}{c}{\mathbf{r}}^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathsf{A}& \mathbf{a}\\ 0^T& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathbf{r}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathsf{A}\mathbf{r}+\mathbf{a}\\ 1\end{array}\right).$$

这个技巧看起来或许有些奇怪，但它说明欧氏群同构于一个矩阵群。在 ${\mathbb{R}}^3$ 上，欧氏变换是仿射的，因此含非零平移的变换不能用 $3\times 3$ 矩阵表示。

例 2.29

伽利略群(Galilean group)。为了求保持牛顿力学定律不变的时空变换，我们仿照狭义相对论（见第9章），将事件(event)定义为 ${\mathbb{R}}^4$ 中由四个坐标 $(x,y,z,t)$ 描述的一点。定义伽利略空间(Galilean space) ${\mathbb{G}}^4$ 为具有以下三个结构要素的事件空间：

1. 时间间隔 $\Delta t=t_2-t_1$。

2. 任意一对同时事件之间的空间距离 $\Delta s=|{\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1|$；同时事件指时间坐标相同的事件，即 $t_1=t_2$。

3. 惯性（自由）粒子的运动，即匀速直线运动：

$$\mathbf{r}(t)=\mathbf{u}t+{\mathbf{r}}_0,\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

其中 $\mathbf{u},{\mathbf{r}}_0$ 是任意常向量。

注意，这里只有同时事件之间的距离有意义。考虑一列以匀速 $v$ 从车站 $A$ 驶向车站 $B$ 的火车。在留在 $A$ 的观察者的参考系中，两个非同时事件 $E_1$（火车离开 $A$）和 $E_2$（火车到达 $B$）之间的距离显然为 $d=vt$，其中 $t$ 是行程时间。然而，在火车的静止参考系中，火车根本没有移动，这两个事件之间的距离为零！假定行程开始和结束时都没有加速，这两个参考系都是同样有效的伽利略参考系。

$\Delta t$ 是整个 ${\mathbb{G}}^4\times {\mathbb{G}}^4$ 上的函数，而 $\Delta s$ 只定义在同时事件对所成的子集

$$\{((\mathbf{r},t),({\mathbf{r}}^{\prime },t^{\prime }))\mid \Delta t=t^{\prime }-t=0\}$$

上。伽利略变换(Galilean transformation)定义为保持上述三个结构要素的变换 $\phi :{\mathbb{G}}^4\to {\mathbb{G}}^4$。所有伽利略变换都有形式

$$t^{\prime }=t+a,a=\text{常数},\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

$${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathsf{A}\mathbf{r}-\mathbf{v}t+\mathbf{b},{\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I},\mathbf{v},\mathbf{b}=\text{常向量}.\text{\hspace{1em}(2.21)}$$

证明

由时间间隔不变 $t^{\prime }-0^{\prime }=t-0$，得到式 (2.20)，其中 $a=0^{\prime }$。与推导欧氏变换时类似，由性质 2 的不变性得到

$${\mathbf{r}}^{\prime }=\mathsf{A}(t)\mathbf{r}+\mathbf{a}(t),{\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I}.\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

其中 $\mathsf{A}(t)$ 是依赖时间的正交矩阵，$\mathbf{a}(t)$ 是任意的时间向量函数。这些变换允许旋转和加速的参考系，范围过于宽泛，不能保持牛顿定律。

性质 3 实质上要求牛顿第一运动定律不变，等价地说，就是伽利略惯性原理不变。考虑式 (2.19) 给出的匀速运动。伽利略变换必须将它变成 ${\mathbf{r}}^{\prime }={\mathbf{u}}^{\prime }{t}^{\prime }+{\mathbf{r}}_0^{\prime }$。由于 $t^{\prime }=t+a$，可以把常向量 ${\mathbf{u}}^{\prime }a$ 吸收到初始位置中，令 ${\tilde{\mathbf{r}}}_0^{\prime }={\mathbf{r}}_0^{\prime }+{\mathbf{u}}^{\prime }a$。由式 (2.22)，

$${\mathbf{u}}^{\prime }t+{\tilde{\mathbf{r}}}_0^{\prime }=\mathsf{A}(t)(\mathbf{u}t+{\mathbf{r}}_0)+\mathbf{a}(t).$$

两边对时间求两次导数，得

$$0=(\ddot{\mathsf{A}}t+2\dot{\mathsf{A}})\mathbf{u}+\ddot{\mathsf{A}}{\mathbf{r}}_0+\ddot{\mathbf{a}}.$$

因为 $\mathbf{u}$ 和 ${\mathbf{r}}_0$ 是任意常向量，所以

$$\ddot{\mathsf{A}}=0,\ddot{\mathsf{A}}t+2\dot{\mathsf{A}}=0,\ddot{\mathbf{a}}=0.$$

因此 $\dot{\mathsf{A}}=0$，$\mathsf{A}$ 是常正交矩阵；且对某些常向量 $\mathbf{v},\mathbf{b}$，有 $\mathbf{a}(t)=-\mathbf{v}t+\mathbf{b}$，得到式 (2.21)。

随文练习

仿照式 (2.18) 中欧氏群的处理，将伽利略群表示为矩阵群。

例 2.30

洛伦兹群(Lorentz group)。伽利略变换不保持原点处的光锥：

$$\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2=c^2\Delta t^2,\Delta x=x_2-x_1\text{等}.$$

具有这一重要性质的正确变换保持闵可夫斯基空间(Minkowski space)的度量：

$$\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2=\Delta {\mathbf{x}}^T\mathsf{G}\Delta \mathbf{x},$$

其中

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ ct\end{array}\right),\Delta \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}\Delta x\\ \Delta y\\ \Delta z\\ c\Delta t\end{array}\right),\mathsf{G}=[g_{\mu \nu }]=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$$

所讨论的变换必有形式 ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathsf{L}\mathbf{x}+\mathbf{a}$。不变性 $\Delta s^{\prime 2}=\Delta s^2$ 蕴含

$$\Delta {\mathbf{x}}^{\prime T}\mathsf{G}\Delta {\mathbf{x}}^{\prime }=\Delta {\mathbf{x}}^T{\mathsf{L}}^T\mathsf{GL}\Delta \mathbf{x}=\Delta {\mathbf{x}}^T\mathsf{G}\Delta \mathbf{x}.$$

由于这个等式对任意 $\Delta \mathbf{x}$ 成立，$4\times 4$ 矩阵 $\mathsf{L}$ 必须满足

$$\mathsf{G}={\mathsf{L}}^T\mathsf{GL}.\text{\hspace{1em}(2.23)}$$

$\mathbf{a}=0$ 的线性变换称为洛伦兹变换(Lorentz transformation)，$\mathbf{a}$ 任意的一般变换称为庞加莱变换(Poincaré transformation)。相应的群分别称为洛伦兹群和庞加莱群(Poincaré group)。狭义相对论的核心是所有物理定律都具有庞加莱不变性。

习题

习题 2.20

直线上的射影变换定义为

$$x^{\prime }=\frac{ax+b}{cx+d},ad-bc=1.$$

证明射影变换保持任意四点 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 的交比

$$\frac{(x_1-x_2)(x_3-x_4)}{(x_3-x_2)(x_1-x_4)}.$$

每个保持直线上任意四点交比的解析变换是否必为射影变换？射影变换是否组成群？

习题 2.21

证明矩阵 $\mathsf{U}$ 是满足式 (2.12) 的酉矩阵，当且仅当它保持 ${\mathbb{C}}^n$ 中列向量 $(z_1,z_2,\dots ,z_n{)}^T$ 的“范数”

$$\Vert \mathbf{z}{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{z}_i\overline{z_i}.$$

验证全体 $n\times n$ 复酉矩阵组成群 $U(n)$。

习题 2.22

证明两个旋转属于旋转群 $SO(3)$ 的同一个共轭类，当且仅当它们有相同的大小，即旋转角相同，而旋转轴可以不同。

习题 2.23

一般的伽利略变换

$$t^{\prime }=t+a,{\mathbf{r}}^{\prime }=\mathsf{A}\mathbf{r}-\mathbf{v}t+\mathbf{b},{\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I}$$

可记作抽象符号 $(a,\mathbf{v},\mathbf{b},\mathsf{A})$。证明依次进行两个伽利略变换

$$G_1=(a_1,{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{b}}_1,{\mathsf{A}}_1),G_2=(a_2,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{b}}_2,{\mathsf{A}}_2)$$

得到 $G=G_2{G}_1=(a,\mathbf{v},\mathbf{b},\mathsf{A})$，其中

$$a=a_1+a_2,\mathbf{v}={\mathsf{A}}_2{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2,$$ $$\mathbf{b}={\mathbf{b}}_2-a_1{\mathbf{v}}_2+{\mathsf{A}}_2{\mathbf{b}}_1,\mathsf{A}={\mathsf{A}}_2{\mathsf{A}}_1.$$

由这个组成法则证明伽利略变换组成群，特别要显式验证结合律。

习题 2.24

(a) 由定义洛伦兹变换的矩阵关系

$$\mathsf{G}={\mathsf{L}}^T\mathsf{GL},$$

证明洛伦兹变换组成群。这里 $\mathsf{G}$ 是对角元素为 $(1,1,1,-1)$ 的 $4\times 4$ 对角矩阵。

(b) 把庞加莱变换 ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathsf{L}\mathbf{x}+\mathbf{a}$ 记为 $(\mathsf{L},\mathbf{a})$。证明依次进行 $({\mathsf{L}}_1,\mathbf{a})$ 和 $({\mathsf{L}}_2,\mathbf{b})$，等价于庞加莱变换

$$({\mathsf{L}}_2{\mathsf{L}}_1,\mathbf{b}+{\mathsf{L}}_2\mathbf{a}).$$

(c) 由这个组成法则证明庞加莱变换组成群。与上一题一样，需要显式验证结合律。

习题 2.25

设 $V$ 是组成法则为 $+$ 的阿贝尔群，$G$ 是在 $V$ 上有左作用的任意群，仍记作 $g:v\mapsto gv$。进一步假设每个 $g$ 的作用都是 $V$ 的同态：

$$g(v+w)=gv+gw.$$

(a) 证明 $G\times V$ 在以下组成法则下是群：

$$(g,v)(g^{\prime },v^{\prime })=(g{g}^{\prime },v+g{v}^{\prime }).$$

此群称为 $G$ 与 $V$ 的半直积(semi-direct product)，记作 $G\text{S◯}V$。

(b) 证明 $(g,0)$ 型元素组成一个同构于 $G$ 的子群；$V$ 同构于子群 $(e,V)$，且后者是正规子群。

(c) 证明半直积的每个元素都有唯一分解 $vg$，其中 $g\equiv (g,0)\in G$，$v\equiv (e,v)\in V$。

习题 2.26

以下是习题 2.25 所定义的半直积的例子：

(a) 证明完整欧氏群是正交群 $O(3)$ 与列向量空间 ${\mathbb{R}}^3$（以向量加法为组成法则）的半直积；其中保定向的欧氏变换组成旋转群 $SO(3)$ 与 ${\mathbb{R}}^3$ 的半直积。

(b) 证明庞加莱群是洛伦兹群 $O(3,1)$ 与四维向量加法群 ${\mathbb{R}}^4$ 的半直积（见习题 2.24）。

(c) 将伽利略群表示为两个群的半直积。

习题 2.27

直线上的仿射变换群由以下形式的变换组成：

$$x^{\prime }=ax+b,a\ne 0.$$

证明它们在 $\dot{\mathbb{R}}\times \mathbb{R}$ 上组成一个半直积。虽然非零实数乘法群 $\dot{\mathbb{R}}$ 和实数加法群 $\mathbb{R}$ 都是阿贝尔群，证明它们的半直积不是阿贝尔群。