亥维赛德阶跃函数 (Heaviside step function)

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来源短摘录与定位

§12.2 · zh-CN · translation · unreviewed

例 12.4

设$\theta (x)$为亥维赛德阶跃函数(Heaviside step function)

$$\theta (x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }x\ge 0,\\ 0& \text{ if }x<0.\end{array}$$

这显然是一个局部可积函数，并生成一个正则分布$T_{\theta }$。对于任意试验函数$\phi \in {\mathcal{D}}^1(\mathbb{R})$

$$\begin{array}{rl}{T}_{{\theta }^{\prime }}(\phi )& =T_{\theta }(-{\phi }^{\prime })=-{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }^{\prime }(x)\theta (x)\mathrm{d}x\\ & =-{\int }_0^{\infty }\frac{\mathrm{d}\phi }{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\ & =\phi (0)\text{ since }\phi (\infty )=0\\ & =\delta (\phi ).\end{array}$$

因此我们得到分布方程，仅当 ${\mathcal{D}}^1(\mathbb{R})$ 时成立，

$$T_{\theta }^{\prime }=\delta .$$

这通常用“函数”来表述为

$$\delta (x)={\theta }^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}\theta (x)}{\mathrm{d}x}.$$

直观上，$x=0$ 处的台阶是“无限陡峭”的。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-12-4”

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