1.3 玻色粒子的路径积分量子化

上一节讨论了经典系统的正则量子化。在那里，起主要作用的是经典哈密顿函数，拉格朗日量则完全没有出现。本节将说明，还存在一种以拉格朗日量为基础的量子化过程，称为路径积分量子化。

1.3.1 路径积分量子化

我们从一维系统开始分析。设 $\hat{x}(t)$ 为海森堡绘景中的位置算符。假设在时刻 $t_i(>0)$ 发现粒子位于 $x_i$，那么在较晚的时刻 $t_f(>t_i)$ 发现该粒子位于 $x_f$ 的概率幅为

$$⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩\text{\hspace{1em}(1.79)}$$

其中各向量是在海森堡绘景中定义的，¹

$$\hat{x}\left(t_i\right)|x_i,t_i⟩=x_i|x_i,t_i⟩\text{\hspace{1em}(1.80)}$$

$$\hat{x}\left(t_f\right)|x_f,t_f⟩=x_f|x_f,t_f⟩.\text{\hspace{1em}(1.81)}$$

概率幅 (1.79) 也称为跃迁振幅(transition amplitude)。

下面我们用薛定谔绘景重新表示这个概率幅。设 $\hat{x}=\hat{x}(0)$ 为位置算符，其本征向量满足

$$\hat{x}|x⟩=x|x⟩.\text{\hspace{1em}(1.82)}$$

由于 $\hat{x}$ 不依赖于时间，它的本征向量也应当与时间无关。若将

$$\hat{x}\left(t_i\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}\hat{x}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}\text{\hspace{1em}(1.83)}$$

代入 (1.80)，便得到

$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}\hat{x}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}|x_i,t_i⟩=x_i|x_i,t_i⟩.$$

从左边乘以 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}$，我们得到

$$\hat{x}[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}|x_i,t_i⟩]=x_i[{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}|x_i,t_i⟩].$$

这表明这两个特征向量之间的关系为

$$|x_i,t_i⟩={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\hat{H}{t}_i}|x_i⟩.\text{\hspace{1em}(1.84)}$$

同样地，我们有

$$|x_f,t_f⟩={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\hat{H}{t}_f}|x_f⟩,\text{\hspace{1em}(1.85)}$$

由此得到

$$⟨x_f,t_f|=⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}{t}_f}.\text{\hspace{1em}(1.86)}$$

由这些结果，我们可以把薛定谔绘景中的概率幅表示为

$$⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=⟨x_f|e^{-\mathrm{i}\hat{H}(t_f-t_i)}|x_i⟩.\text{\hspace{1em}(1.87)}$$

一般而言，函数

$$h(x,y;\beta )\equiv ⟨x|e^{-\hat{H}\beta }|y⟩\text{\hspace{1em}(1.88)}$$

称为 $\hat{H}$ 的热核(heat kernel)。这一名称源于薛定谔方程与热方程之间的相似性。振幅 (1.87) 就是 $\hat{H}$ 在 $\beta$ 取虚值时的热核：

$$⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=h\left(x_f,x_i;\mathrm{i}\left(t_f-t_i\right)\right).\text{\hspace{1em}(1.89)}$$

下面用路径积分表述来表示振幅(1.87)。为此，我们考虑$t_f-t_i=\epsilon$为无穷小正数的情况。为简化记号，令$x_i=x$、$x_f=y$，并假定量子哈密顿算符具有如下形式

$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V(\hat{x}).\text{\hspace{1em}(1.90)}$$

我们先证明下面的引理。

引理 1.2

设 $a$ 为正常数。则

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a{p}^2}\mathrm{d}p=\sqrt{\frac{\pi }{\mathrm{i}a}}.\text{\hspace{1em}(1.91)}$$

证明

此积分与通常的高斯积分不同之处在于，$p^2$ 的系数是纯虚数。首先把 $p$ 换成 $z=x+\mathrm{i}y$。被积函数 $\exp (-\mathrm{i}a{z}^2)$ 在整个 $z$ 平面上解析。现在把积分围道从实轴改为如图 1.1所示的围道。沿路径 1，有 $\mathrm{d}z=\mathrm{d}x$，因此这条路径给出的贡献与原积分 (1.91) 相同。路径 2 和路径 4 的贡献在 $R\to \infty$ 时趋于零。注意到沿路径 3 的变量为 $z=(1-\mathrm{i})x$，我们算出这条路径的贡献为

图 1.1. 积分围道。

$$(1-\mathrm{i}){\int }_{\infty }^{-\infty }{\mathrm{e}}^{-2a{x}^2}\mathrm{d}x=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}\sqrt{\frac{\pi }{a}}.$$

由柯西定理，所有贡献之和必须为零，因此

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{d}p{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}a{p}^2}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}\sqrt{\frac{\pi }{a}}=\sqrt{\frac{\pi }{\mathrm{i}a}}.$$

下面就用这个引理来求无穷小时间间隔的热核。

命题 1.2

设 $\hat{H}$ 是形如 (1.90) 的量子哈密顿算符，$\epsilon$ 为无穷小正数。则对任意 $x,y\in \mathbb{R}$，可得

$$\begin{array}{rl}⟨x|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}\epsilon }|y⟩& =\frac{1}{\sqrt{2\pi \mathrm{i}\epsilon }}\exp [\mathrm{i}\epsilon \{\frac{m}{2}{\left(\frac{(x-y{)}^2}{\epsilon }\right)}^2\\ & -V\left(\frac{x+y}{2}\right)\}+\mathcal{O}\left({\epsilon }^2\right)+\mathcal{O}\left(\epsilon (x-y{)}^2\right)].\end{array}\text{\hspace{1em}(1.92)}$$

证明

将动量本征向量的完备性关系代入 (1.92) 的左端，得到

$$\begin{array}{rl}⟨x|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}\epsilon }|y⟩& =\int \mathrm{d}k⟨x|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}}|k⟩⟨k|y⟩\\ & =\int \frac{\mathrm{d}k}{2\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}ky}{\mathrm{e}}^{-i\epsilon {\hat{H}}_x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}\end{array}$$

其中

$${\hat{H}}_x=-\frac{1}{2m}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}+V(x).$$

现在，由 ${\partial }_x\equiv \mathrm{d}/\mathrm{d}x$ 与 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}$ 的对易关系可得

$${\partial }_x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}=\mathrm{i}k{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}{\partial }_x={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}(\mathrm{i}k+{\partial }_x).$$

反复应用这一对易关系，可得

$${\partial }_x^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}(\mathrm{i}k+{\partial }_x{)}^n(n=0,1,2,\dots )$$

由此得到

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon \left[-{\partial }_x^2/2m+V(x)\right]}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}kx}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon \left[-(\mathrm{i}k+{\partial }_x{)}^2/2m+V(x)\right]}.$$

因此，

$$\begin{array}{rl}⟨x|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}\epsilon }|y⟩& =\int \frac{\mathrm{d}k}{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}k(x-y)}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon [-(\mathrm{i}k+{\partial }_x{)}^2/2m+V(x)]}\\ & =\int \frac{\mathrm{d}k}{2\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}[\epsilon k^2/2m-k(x-y)]}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon [-\mathrm{i}k{\partial }_x/m-{\partial }_x^2/2m+V(x)]}\cdot 1\end{array}$$

其中最后一行末尾的“1”是特意写出的，以提醒我们 ${\partial }_{x}1=0$ 这一事实。若再令 $p=\sqrt{\epsilon /2m}k$，并将最后一行的最后一个指数函数展开，便得到

$$\begin{array}{rl}& ⟨x|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}}|y⟩=\sqrt{\frac{2m}{\epsilon }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m(x-y{)}^2/2\epsilon }\int \frac{\mathrm{d}p}{2\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}[p+\sqrt{m/2\epsilon }(x-y){]}^2}\\ & \times \sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-\mathrm{i}\epsilon {)}^n}{n!}{\left[\mathrm{i}\sqrt{\frac{2}{\epsilon m}}p{\partial }_x-\frac{{\partial }_x^2}{2m}+V(x)\right]}^n\cdot 1.\end{array}$$

若令 $q=p+\sqrt{m/2\epsilon }(x-y)$ 并利用 引理 1.2，则得到：

$$\begin{array}{rl}& ⟨x|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\epsilon \hat{H}}|y⟩=\sqrt{\frac{2m}{\epsilon }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m(x-y{)}^2/2\epsilon }\int \frac{\mathrm{d}q}{2\pi }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{q}^2}\\ & \times [1+(-\mathrm{i}\epsilon )V(x)+\frac{(-{\epsilon }^2)}{2}\frac{(-\mathrm{i})}{\epsilon }(x-y){\partial }_{x}V(x)\\ & +\mathcal{O}\left({\epsilon }^2\right)+\mathcal{O}\left(\epsilon |x-y{|}^2\right)]\\ & =\sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\epsilon (m/2)[(x-y)/\epsilon {]}^2}\\ & \times \exp \left[-\mathrm{i}\epsilon V\left(\frac{x+y}{2}\right)+\mathcal{O}({\epsilon }^2)+\mathcal{O}(\epsilon |x-y{|}^2)\right].\end{array}$$

至此，命题得证。

$\square$

注意，平均值 $(x+y)/2$ 在(1.92)中作为 $V$ 的变量出现。这一规定通常称为外尔排序(Weyl ordering)。

由(1.92)可知，当 $|x-y|>\sqrt{\epsilon }$ 时被积函数振荡得非常快，因而在分布的意义下可视为零（黎曼-勒贝格定理）。因此，当 $x-y<\epsilon$ 时，(1.92)的指数趋近于无穷小时间间隔 $[0,\epsilon ]$ 上的作用量，

$$\Delta S={\int }_0^{\epsilon }\mathrm{d}t\left[\frac{m}{2}{v}^2-V(x)\right]\simeq \left[\frac{m}{2}{v}^2-V(x)\right]\epsilon \text{\hspace{1em}(1.93)}$$

其中 $v=(x-y)/\epsilon$ 是平均速度，$x$ 是平均位置。

式 (1.92)还满足 $\epsilon \to 0$ 时的边界条件

$$⟨x\mid {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\hat{H}}_{\epsilon }}|y⟩\stackrel{\epsilon \to 0}{\to }⟨x|y⟩=\delta (x-y).\text{\hspace{1em}(1.94)}$$

这一点可由注意到下式而得到证明：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }dx\sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }}{e}^{\mathrm{i}m(x-y{)}^2/2\epsilon }=1.$$

有限时间间隔上的跃迁振幅(1.79)，是通过将无穷小时间间隔上的跃迁振幅一次又一次地无限重复而得到的。我们先把区间 $t_f-t_i$ 分成 $n$ 个相等的子区间，

$$\epsilon =\frac{t_f-t_i}{n}.$$

令 $t_0=t_i$，$t_k=t_0+\epsilon k$（$0\le k\le n$）。显然有 $t_n=t_f$。将完备性关系

$$1=\int \mathrm{d}{x}_k|x_k,t_k⟩⟨x_k,t_k|(1\le k\le n-1)$$

对每个时刻 $t_k$ 插入到(1.79)中，便得到

$$\begin{array}{rl}& ⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=⟨x_f,t_f|\int \mathrm{d}{x}_{n-1}|x_{n-1},t_{n-1}⟩⟨x_{n-1},t_{n-1}|\\ & \times \int \mathrm{d}{x}_{n-2}|x_{n-2},t_{n-2}⟩\cdots \int \mathrm{d}{x}_1|x_1,t_1⟩⟨x_1,t_1\mid x_0,t_0⟩.\end{array}$$

这里我们考虑极限 $\epsilon \to 0$，即 $n\to \infty$。命题 1.2 指出，对于无穷小的时间间隔 $\epsilon$，有

$$⟨x_k,t_k|x_{k-1},t_{k-1}⟩\simeq \sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\Delta S_k}$$

其中

$$\Delta S_k=\epsilon \left[\frac{m}{2}{\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon }\right)}^2-V\left(\frac{x_{k-1}+x_k}{2}\right)\right].$$

因此，我们得到

$$⟨x_f,t_f\mid x_i,t_i⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }\right)}^{n/2}\int \prod _{j=1}^{n-1}\mathrm{d}{x}_j\exp \left(\mathrm{i}\sum _{k=1}^n\Delta S_k\right).\text{\hspace{1em}(1.95)}$$

若固定 $n-1$ 个点 $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$，我们就得到一条从 $x_0$ 到 $x_n$ 的、经过这些点的分段线性路径。然后我们定义 $S(\{x_k\})={\sum }_k\Delta S_k$，它在极限 $n\to \infty$ 下可写成

$$S\left(\left\{x_k\right\}\right)\stackrel{n\to \infty }{⟶}S[x(t)]={\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\left[\frac{m}{2}{v}^2-V(x)\right].\text{\hspace{1em}(1.96)}$$

但要注意，这里定义的 $S[x(t)]$ 只是形式上的；变量 $x_k$ 与 $x_{k-1}$ 不必彼此接近，因而 $v=(x_k-x_{k-1})/\epsilon$ 可能发散。这个跃迁振幅可符号地写成

$$\begin{array}{rl}⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩& =\int \mathcal{D}x\exp \left[\mathrm{i}{\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\left(\frac{m}{2}{v}^2-V(x)\right)\right]\\ & =\int \mathcal{D}x\exp \left[i{\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}tL(x,\dot{x})\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(1.97)}$$

这称为跃迁振幅的路径积分表示(path integral representation)。应当再次强调，$v$ 并没有良好定义，此表达式只是极限 (1.95) 的符号表示。

积分测度理解为

$$\int \mathcal{D}x=\text{对所有满足}x(t)\text{的路径}x\left(t_i\right)=x_i,x\left(t_f\right)=x_f\text{\hspace{1em}(1.98)}$$

见图 1.2。虽然在极限 $n\to \infty$ 下 $\mathcal{D}x$ 或 $S(\{x_k\})$ 没有良好定义，但由 $\mathcal{D}x$ 与 $S(\{x_k\})$ 共同构造出的振幅 $⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩$ 却是良好定义的，因而有意义。这一点将在下面的例子中阐明。

图 1.2. 路径积分中考虑的是所有端点固定的路径。被积函数 $\exp [\mathrm{i}S(\{x_k\})]$ 沿这些路径积分。

例 1.5

下面我们来计算一个在实轴上运动的自由粒子的跃迁振幅，其拉格朗日量为

$$L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2.\text{\hspace{1em}(1.99)}$$

正则共轭动量为 $p=\partial L/\partial \dot{x}=m\dot{x}$，哈密顿量为

$$H=p\dot{x}-L=\frac{p^2}{2m}.\text{\hspace{1em}(1.100)}$$

在正则量子理论中，跃迁振幅的计算如下：

$$\begin{array}{rl}⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩& =⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}T}|x_i⟩=\int \mathrm{d}p⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}T}|p⟩⟨p|x_i⟩\\ & =\int \frac{\mathrm{d}p}{2\pi }{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}p\left(x_f-x_i\right)}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}T\left(p^2/2m\right)}\\ & =\sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}T}}\exp \left(\frac{\mathrm{i}m{\left(x_f-x_i\right)}^2}{2T}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.101)}$$

其中 $T=t_f-t_i$。

下面再用路径积分表述来得到这一结果。该振幅可表示为

$$\begin{array}{rl}& ⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }\right)}^{n/2}\int \mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_{n-1}\\ & \exp \left[\mathrm{i}\epsilon \sum _{k=1}^n\frac{m}{2}{\left(\frac{x_k-x_{k-1}}{\epsilon }\right)}^2\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(1.102)}$$

其中 $\epsilon =T/n$。将坐标作如下标度变换：

$$y_k={\left(\frac{m}{2\epsilon }\right)}^{1/2}{x}_k$$

则振幅变为

$$\begin{array}{rl}& ⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }\right)}^{n/2}{\left(\frac{2\epsilon }{m}\right)}^{(n-1)/2}\\ & \int \mathrm{d}{y}_1\dots \mathrm{d}{y}_{n-1}\exp \left[\mathrm{i}\sum _{k=1}^n{\left(y_k-y_{k-1}\right)}^2\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(1.103)}$$

可以用归纳法证明（见习题）

$$\int \mathrm{d}{y}_1\dots \mathrm{d}{y}_{n-1}\exp \left[\mathrm{i}\sum _{k=1}^n(y_k-y_{k-1}{)}^2\right]={\left[\frac{(\mathrm{i}\pi {)}^{(n-1)}}{n}\right]}^{1/2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(y_n-y_0{)}^2/n}.$$

取极限 $n\to \infty$，最终得到

$$\begin{array}{rl}⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩& =\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i}\epsilon }\right)}^{n/2}{\left(\frac{2\pi \mathrm{i}\epsilon }{m}\right)}^{(n-1)/2}\frac{1}{\sqrt{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}m(x_f-x_i{)}^2/(2n\epsilon )}\\ & =\sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i}T}}\exp \left[\frac{\mathrm{i}m{\left(x_f-x_i\right)}^2}{2T}\right].\end{array}\text{\hspace{1em}(1.104)}$$

这里应当注意，指数正是经典作用量。事实上，若注意到平均速度为 $v=(x_f-x_i)/(t_f-t_i)$，即可求得经典作用量为

$$S_{\mathrm{cl}}={\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{m(x_f-x_i{)}^2}{2(t_f-t_i)}.$$

在许多精确可解系统中，跃迁振幅都具有如下形式：

$$⟨x_f,t_f|x_i,t_i⟩=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{S}_{\mathrm{cl}}},\text{\hspace{1em}(1.105)}$$

其中量子涨落的全部效应都包含在前因子 $A$ 之中。

1.3.2 虚时间与配分函数

设哈密顿量 $\hat{H}$ 的谱有下界。那么总可以通过给哈密顿量加上一个正常数，使 $\hat{H}$ 成为正定的；

$$\mathrm{Spec}\hat{H}=\left\{0<E_0\le E_1\le E_2\le \dots \right\}.\text{\hspace{1em}(1.106)}$$

为简单起见，已假定基态是非简并的。${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}t}$ 的谱分解由下式给出

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}t}=\sum _n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_{n}t}|n⟩⟨n|\text{\hspace{1em}(1.107)}$$

它在 $t$ 的下半平面内是解析的，其中 $\hat{H}|n⟩=E_n|n⟩$。引入 Wick 转动，即作替换

$$t=-\mathrm{i}\tau (\tau \in {\mathbb{R}}_{+})\text{\hspace{1em}(1.108)}$$

其中 ${\mathbb{R}}_{+}$ 是正实数集。变量 $\tau$ 被视为虚时间，它也称为欧几里得时间(Euclidean time)，因为世界距离由 $t^2-x^2$ 变为 $-({\tau }^2+x^2)$。在此变量变换下，物理量按如下方式变化：

$$\dot{x}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau }$$

$${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}t}={\mathrm{e}}^{-\hat{H}\tau }$$

$$\begin{array}{rl}\mathrm{i}{\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)\right]& =\mathrm{i}(-\mathrm{i}){\int }_{{\tau }_i}^{{\tau }_f}\mathrm{d}\tau \left[-\frac{1}{2}m{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\tau }\right)}^2-V(x)\right]\\ & =-{\int }_{{\tau }_i}^{{\tau }_f}d\tau \left[\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{d\tau }\right)}^2+V(x)\right].\end{array}$$

于是，路径积分便可用新变量表示为

$$\begin{array}{rl}⟨x_f,{\tau }_f|x_i,{\tau }_i⟩& =⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\hat{H}({\tau }_f-{\tau }_i)}|x_i⟩\\ & =\int \bar{\mathcal{D}}x{e}^{-{\int }_{{\tau }_i}^{\tau f}d\tau \left[\frac{1}{2}m{\left(\frac{dx}{d\tau }\right)}^2+V(x)\right]},\end{array}\text{\hspace{1em}(1.109)}$$

其中 $\bar{\mathcal{D}}$ 是虚时间 $\tau$ 下的积分测度。

给定量子哈密顿算符 $\hat{H}$，配分函数(partition function)定义为

$$Z(\beta )=\mathrm{Tr}{e}^{-\beta \hat{H}}(\beta >0),\text{\hspace{1em}(1.110)}$$

其中迹是对与 $\hat{H}$ 相联系的希尔伯特空间取的。

我们取 $\hat{H}$ 的本征态 $\{|E_n⟩\}$ 作为希尔伯特空间的基矢量；

$$\hat{H}|E_n⟩=E_n|E_n⟩,⟨E_m\mid E_n⟩={\delta }_{mn}.$$

于是配分函数可表示为

$$\begin{array}{rl}Z(\beta )& =\sum _n⟨E_n|{\mathrm{e}}^{-\beta \hat{H}}|E_n⟩=\sum _n⟨E_n|{\mathrm{e}}^{-\beta E_n}|E_n⟩\\ & =\sum _n{\mathrm{e}}^{-\beta E_n}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.111)}$$

配分函数也可以用 $\hat{x}$ 的特征向量 $|x⟩$ 来表示，即

$$Z(\beta )=\int \mathrm{d}x⟨x|{\mathrm{e}}^{-\beta \hat{H}}|x⟩.\text{\hspace{1em}(1.112)}$$

若令 $\beta =\mathrm{i}T$，把 $\beta$ 等同于欧几里得时间，则可得

$$⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\hat{H}T}|x_i⟩=⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\beta \hat{H}}|x_i⟩,$$

由此便得到配分函数的路径积分表达式

$$\begin{array}{rl}Z(\beta )& =\int \mathrm{d}y{\int }_{x(0)=x(\beta )=y}\bar{\mathcal{D}}x\exp \left\{-{\int }_0^{\beta }\mathrm{d}\tau \left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+V(x)\right)\right\}\\ & ={\int }_{\text{周期的}}\bar{\mathcal{D}}x\exp \left\{-{\int }_0^{\beta }\mathrm{d}\tau \left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2+V(x)\right)\right\},\end{array}\text{\hspace{1em}(1.113)}$$

其中最后一行的积分是对所有在 $[0,\beta ]$ 上周期的路径进行的。

1.3.3 时序乘积与生成泛函

定义海森堡算符(Heisenberg operator) $A(t)$ 与 $B(t)$ 的 $T$ 乘积为

$$T\left[A\left(t_1\right)B\left(t_2\right)\right]=A\left(t_1\right)B\left(t_2\right)\theta \left(t_1-t_2\right)+B\left(t_2\right)A\left(t_1\right)\theta \left(t_2-t_1\right)\text{\hspace{1em}(1.114)}$$

其中 $\theta (t)$ 为阶跃函数。² 推广到三个以上算符的情形应当是平凡的：只需重新排列括号中的算符，使时间参数从左到右依次减小。$n$ 个算符的 $T$ 乘积展开为 $n!$ 项，其中每一项都正比于 $n-1$ 个阶跃函数的乘积。量子力学中的一个重要量是 $T$ 乘积的矩阵元，

$$⟨x_f,t_f|T[\hat{x}(t_1)\hat{x}(t_f)\dots \hat{x}(t_n)]|x_i,t_i⟩,\left(t_i<t_1,t_2,\dots ,t_n<t_f\right).\text{\hspace{1em}(1.115)}$$

设 $t_i<t_1\le t_2\le \cdots \le t_n<t_f$，如式 (1.115)所示。插入完备性关系

$$1={\int }_{-\infty }^{\infty }d{x}_k|x_k,t_k⟩⟨x_k,t_k|(k=1,2,\dots ,n)$$

到式 (1.115)中，便得到

$$\begin{array}{rl}& ⟨x_f,t_f|\hat{x}(t_n)\dots \hat{x}(t_1)|x_i,t_i⟩\\ & =⟨x_f,t_f|\hat{x}(t_n)\int \mathrm{d}{x}_n|x_n,t_n⟩⟨x_n,t_n|\dots \hat{x}(t_1)\int \mathrm{d}{x}_1|x_1,t_1⟩⟨x_1,t_1|x_i,t_i⟩\\ & =\int \mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n{x}_1\dots x_n⟨x_f,t_f\mid x_n,t_n⟩\dots ⟨x_1,t_1\mid x_i,t_i⟩\end{array}\text{\hspace{1em}(1.116)}$$

这里用到了本征值方程 $\hat{x}(t_k)|x_k,t_k⟩=x_k|x_k,t_k⟩$。若把最后一式中的 $⟨x_k,t_k|x_{k-1},t_{k-1}⟩$ 用路径积分表示，便得到

$$⟨x_f,t_f|\hat{x}\left(t_n\right)\dots \hat{x}\left(t_1\right)|x_i,t_i⟩=\int \mathcal{D}xx\left(t_1\right)\dots x\left(t_n\right)e^{iS}.\text{\hspace{1em}(1.117)}$$

至关重要的是要注意，左端的 $\hat{x}(t_k)$ 是海森堡算符，而右端的 $x(t_k)(=x_k)$ 则是经典路径 $x(t)$ 在时刻 $t_k$ 的实数值。因此，只要左端的海森堡算符按 $T$ 乘积所规定的方式排列，右端对时间参数的任何排序都成立。于是，路径积分表达式自动计入了 $T$ 乘积的排序，从而给出

$$⟨x_f,t_f|T[\hat{x}(t_n)\dots \hat{x}(t_1)]|x_i,t_i⟩=\int \mathcal{D}xx(t_1)\dots x(t_n)e^{iS}.\text{\hspace{1em}(1.118)}$$

建议读者就 $n=2$ 的情形显式验证这一结果。

为了高效地得到 $T$ 乘积的矩阵元，定义生成泛函(generating functional) $Z[J]$ 是方便的。我们在拉格朗日量中让外场 $J(t)$（也称为源(source)）与坐标 $x(t)$ 以 $x(t)J(t)$ 的形式耦合，其中 $J(t)$ 定义在区间 $[t_i,t_f]$ 上。定义含源的作用量(action)为

$$S[x(t),J(t)]={\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\left[\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)+xJ\right].\text{\hspace{1em}(1.119)}$$

于是，在 $J(t)$ 存在时的跃迁振幅由下式给出：

$$⟨x_f,t_f|x_i,t_i{⟩}_J=\int \mathcal{D}x\exp \left[\mathrm{i}{\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)+xJ\right)\right].\text{\hspace{1em}(1.120)}$$

将上式对 $J(t)$（$t_i<t<t_f$）作泛函导数，可得

$$\frac{\delta }{\delta J(t)}{⟨x_f,t_f\mid x_i,t_i⟩}_J=\int \mathcal{D}x\mathrm{i}x(t)\exp \left[\mathrm{i}{\int }_{t_i}^{t_f}\mathrm{d}t\left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-V(x)+xJ\right)\right].\text{\hspace{1em}(1.121)}$$

更高阶的泛函导数很容易求得：每当 $\delta /\delta J(t)$ 作用于 $⟨x_f,t_f|x_i,t_i{⟩}_J$ 时，被积函数中就会出现一个因子 $\mathrm{i}x(t_k)$。这不过是海森堡算符 $\hat{x}(t)$ 的 $T$ 乘积在存在源 $J(t)$ 时的矩阵元。因此，若在计算最后令 $J(t)=0$，便得到

$$\begin{array}{rl}& ⟨x_f,t_f|T[x(t_n)\dots x(t_1)]|x_i,t_i⟩\\ & =(-\mathrm{i}{)}^n\frac{{\delta }^n}{\delta J(t_1)\dots \delta J(t_n)}\int \mathcal{D}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}S[x(t),J(t)]}{|}_{J=0}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.122)}$$

在物理应用中常常需要求一般态之间、特别是基态之间的跃迁概率振幅，

而不是坐标本征态之间的跃迁概率振幅。设所考虑的系统在 $t_i$ 时处于基态 $|0⟩$，并计算在较晚时刻 $t_f$ 系统仍处于基态的概率振幅。设 $J(t)$ 仅在区间 $[a,b]\subset [t_i,t_f]$ 上非零（这一假设的理由稍后便会清楚）。存在 $J(t)$ 时的跃迁振幅可由哈密顿算符 $H^J=H-x(t)J(t)$ 以及该哈密顿算符的幺正算符 $U^J(t_f,t_i)$ 求得。坐标本征态之间的跃迁概率振幅为

$$\begin{array}{rl}⟨x_f,t_f|x_i,t_i{⟩}_J& =⟨x_f|U^J(t_f,t_i)|x_i⟩\\ & =⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}H\left(t_f-b\right)}{U}^J(b,a){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}H\left(a-t_i\right)}|x_i⟩,\end{array}\text{\hspace{1em}(1.123)}$$

这里用到了在区间 $[a,b]$ 之外 $H^J=H$ 这一事实。将能量本征向量的完备性关系 ${\sum }_n|n⟩⟨n|=1$ 插入该式，便得到

$$\begin{array}{rl}⟨x_f,t_f|x_i,t_i{⟩}_J& =\sum _{m,n}⟨x_f|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}H(t_f-b)}|m⟩⟨m|U^J(b,a)|n⟩⟨n|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}H(a-t_i)}|x_i⟩\\ & =\sum _{m,n}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_m\left(t_f-b\right)}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{E}_n\left(a-t_i\right)}⟨x_f|m⟩⟨n|x_i⟩⟨m|U^J(b,a)|n⟩.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.124)}$$

现在让我们对时间变量作 Wick 转动 $t\to -\mathrm{i}\tau$，在此变换下指数函数变为 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}Et}\to {\mathrm{e}}^{-E\tau }$。于是极限 ${\tau }_f\to \infty$、${\tau }_i\to -\infty$ 只挑出基态 $m=n=0$。或者，我们也可以在量子哈密顿算符中引入一个小的虚项 $-\mathrm{i}\epsilon x^2$，使特征值带有一个小的负虚部。这样，在 ${\tau }_f\to \infty$、${\tau }_i\to -\infty$ 下，对 $m$ 与 $n$ 的求和中就只剩下基态。

总之，我们已经证明了

$$\underset{\begin{array}{c}{t}_f\to \infty \\ t_i\to -\infty \end{array}}{\lim }⟨x_f,t_f|x_i,t_i{⟩}_J=⟨x_f|0⟩⟨0|x_i⟩Z[J]\text{\hspace{1em}(1.125)}$$

其中我们定义了生成泛函

$$Z[J]=⟨0|U^J(b,a)|0⟩=\underset{\begin{array}{c}{t}_f\to \infty \\ t_i\to -\infty \end{array}}{\lim }⟨0|U^J(t_f,t_i)|0⟩.\text{\hspace{1em}(1.126)}$$

生成泛函也可以表示为

$$Z[J]=\underset{\begin{array}{c}{t}_f\to \infty \\ t_i\to -\infty \end{array}}{\lim }\frac{⟨x_f,t_f|x_i,t_i{⟩}_J}{⟨x_f|0⟩⟨0|x_i⟩}.\text{\hspace{1em}(1.127)}$$

注意，分母只是一个与 $Z[J]$ 无关的常数。现在我们已经得到了 $Z[J]$ 的路径积分表示，

$$Z[J]=\mathcal{N}\int \mathcal{D}x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}S[x,J]}\text{\hspace{1em}(1.128)}$$

其中路径积分是对端点 $x_i$ 与 $x_f$ 任意固定的路径进行的。归一化常数 $\mathcal{N}$ 的选取使得 $Z[0]=1$，即

$${\mathcal{N}}^{-1}=\int \mathcal{D}x{e}^{iS[x,0]}.$$

容易证明，$Z[J]$ 生成基态之间 $T$ 乘积的矩阵元：

$$⟨0|T[x(t_1)\dots x(t_n)]|0⟩=(-\mathrm{i}{)}^n\frac{{\delta }^n}{\delta J(t_1)\cdots \delta J(t_n)}Z[J]{|}_{J=0}.\text{\hspace{1em}(1.129)}$$

尾注

来源与版本

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Footnotes

1. 为简化记号，我们再次省略了 S 和 H。注意，$|x_i,t_i⟩$ 是一个瞬时特征向量，因而由测量位置时的时刻 $t_i$ 参数化。不要把它与薛定谔绘景中波函数的动力学时间依赖相混淆。 ↩

2. 阶跃函数(Heaviside function)定义为

   $$\theta (x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ 1& x\ge 0.\end{array}$$ ↩