实射影直线 (real projective line)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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图 7.1：实射影直线(real projective line) $\mathbf{R}{P}^1$

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Figure 7.1: The real projective line $\mathbf{R}{P}^1$

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每条这样的直线都与单位圆交于一对对跖点。因此，所有这类直线可以用一个半圆参数化，并把半圆两端视为同一点。这个空间称为实射影直线(real projective line) $\mathbf{R}{P}^1$。在更高维中，${\mathbf{R}}^n$ 内过原点的直线所成的空间称为实射影空间(real projective space) $\mathbf{R}{P}^{n-1}$；它可以表示为 ${\mathbf{R}}^n$ 中将对跖点视为同一点的单位球面。回顾第 6.2.3 节，$SO(3)$ 可与 $\mathbf{R}{P}^3$ 等同。

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Each such line intersects the unit circle at two antipodal points. Thus the set of lines can be parametrized by a semicircle with its two endpoints identified. This space is called the real projective line $\mathbf{R}{P}^1$. In higher dimensions, the space of lines through the origin in ${\mathbf{R}}^n$ is the real projective space $\mathbf{R}{P}^{n-1}$; it can be represented by the unit sphere in ${\mathbf{R}}^n$ with antipodal points identified. In particular, recall from Section 6.2.3 that $SO(3)$ is identified with $\mathbf{R}{P}^3$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [第 6.2.3 节](../chapter-06/02-spin-groups-in-three-and-four-dimensions#section-6-2-3)
• [Section 6.2.3](../chapter-06/02-spin-groups-in-three-and-four-dimensions#section-6-2-3)

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