辛形式 (Symplectic form)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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定义（辛形式）

向量空间 $V$ 上的辛形式 $\omega$ 是一个双线性映射

$$\omega :V\times V\to \mathbf{R}$$

并满足以下条件：

• $\omega$ 反对称，即 $\omega (v,v^{\prime })=-\omega (v^{\prime },v)$。
• $\omega$ 非退化，即若 $v\ne 0$，则 $\omega (v,\cdot )\in V^{\ast }$ 非零。带有辛形式 $\omega$ 的向量空间 $V$ 称为辛向量空间。以辛形式取代内积而得到的几何称为辛几何。这里没有长度的概念，因为反对称性意味着 $\omega (v,v)=0$。与正交群相对应的群称为辛群，由保持 $\omega$ 的线性变换组成；我们将在第 16 章详细研究它。

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Definition (Symplectic form)

A symplectic form $\omega$ on a vector space $V$ is a bilinear map

$$\omega :V\times V\to \mathbf{R}$$

such that

• $\omega$ is antisymmetric: $\omega (v,v^{\prime })=-\omega (v^{\prime },v)$.
• $\omega$ is nondegenerate: if $v\ne 0$, then $\omega (v,\cdot )\in V^{\ast }$ is nonzero.A vector space $V$ with a symplectic form $\omega$ is called a symplectic vector space. The geometry obtained by replacing an inner product with a symplectic form is called symplectic geometry. There is no notion of length in this geometry, since antisymmetry gives $\omega (v,v)=0$. The symplectic group, analogous to the orthogonal group, consists of the linear transformations preserving $\omega$; we will study it in detail in chapter 16.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• [第 16 章](../chapter-16/index#section-16)
• [chapter 16](../chapter-16/index#section-16)

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