14.3 辛几何

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 对偶空间 · 正交群

我们在第 4 章看到，给定向量空间 $V, a$ 的一个基 $e_{j}$ ，则 $V^{*}$ 的对偶基 $e_{j}^{*}$ 可通过取 $e_{j}^{*} = v_{j}$ 得到，其中 $v_{j}$ 是坐标函数。如果一开始给定的是坐标函数 $v_{j},$ ，则可以通过取由关于 $v_{j}$ 求导所给出的一阶线性微分算符作为基向量，来构造 $V = (V^{*})^{*}$ 的一个对偶基，换言之，通过取

e_{j} = \frac{\partial}{\partial v _{j}}

$V$ 的元素随后与这些算符的线性组合等同起来。实际上，就是将向量 $v$ 与沿该向量方向的方向导数等同起来

v \leftrightarrow v \cdot \nabla

我们也在第4章看到， $V$ 上的一个内积 $(\cdot, \cdot)$ 通过下式给出 $V$ 与 $V^{*}$ 的同构：

v \in V \leftrightarrow l_{v} (\cdot) = (v, \cdot) \in V^{*} (14.5)

这样的内积是欧几里得几何中的基本结构，它给出了向量长度以及两个向量之间夹角的概念，同时也给出了一个群，即保持该内积的线性变换构成的正交群。它是 $V$ 上的对称、非退化双线性形式。

相空间 $M$ 通常并不附带内积的选取。相反，我们已经看到，泊松括号给出的不是对称双线性形式，而是定义在对偶空间 $M$ 上的反对称双线性形式 $Ω,$ 。我们将定义内积的一种类似物，其中对称性被反对称性取代：

定义（辛形式）

向量空间 $V$ 上的辛形式 $ω$ 是一个双线性映射
$ω : V \times V \to R$

使得

• $ω$ 是反对称的： $ω (v, v^{'}) = - ω (v^{'}, v)$

$ω$ 是非退化的： $i f v \neq = 0$ ，则 $ω (v, \cdot) \in V^{*}$ 非零。

带有辛形式 $ω$ 的向量空间 $V$ 称为辛向量空间。将内积替换为辛形式后，与欧几里得几何相对应的几何称为辛几何。在这种几何中，没有长度的概念（因为反对称性意味着 $ω (v, v) = 0)$ ）。存在正交群的类似物，称为辛群，它由保持 $ω$ 的线性变换组成，我们将在第 16 章详细研究这个群。

正如内积给出 $V$ 与 $V^{*}$ 的一种等同，辛形式也可以以类似方式使用，给出 $M$ 与 $M .$ 的一种等同。利用 $M$ 上的辛形式 Ω，我们可以通过将基向量等同为

q_{j} \in M \leftrightarrow Ω (\cdot, q_{j}) = - Ω (q_{j}, \cdot) = - \frac{\partial}{\partial p _{j}} \in M

p_{j} \in M \leftrightarrow Ω (\cdot, p_{j}) = - Ω (p_{j}, \cdot) = \frac{\partial}{\partial q _{j}} \in M

一般而言

u \in M \leftrightarrow Ω (\cdot, u) = - Ω (u, \cdot) \in M (14.6)

注意，与内积情形不同，必须对负号的约定作出选择，此处即如此处理。

回顾 9.5 节中关于双线性形式的讨论，向量空间 $V$ 上的双线性形式可以等同于 $V^{*} \otimes V^{*}$ 的一个元素。取 $V = M^{*}$ ，我们有 $V^{*} = (M^{*})^{*} = M$ ，而 $M^{*}$ 上的双线性形式 Ω 是 $M \otimes M$ 的一个元素，由下式给出

Ω = j = 1 \sum d (\frac{\partial}{\partial q _{j}} \otimes \frac{\partial}{\partial p _{j}} - \frac{\partial}{\partial p _{j}} \otimes \frac{\partial}{\partial q _{j}})

在14.6的识别下， $M$ 和 $M^{*}, Ω \in M \otimes M$ 对应于

ω = j = 1 \sum d (q_{j} \otimes p_{j} - p_{j} \otimes q_{j}) \in M^{*} \otimes M^{*} (14.7)

于是给出了 $M$ 与 $M$ 的另一种等同方式

v \in M \to ω (v, \cdot) \in M

在欧几里得几何的情形中，可以通过施密特正交化证明，总能找到一个基 $e_{j}$ ，使内积（它是 $V^{*} \otimes V^{*})$ 的一个对称元素）化为标准形式

j = 1 \sum n v_{j} \otimes v_{j}

用 $V^{*}$ 的基元素表示，坐标函数 $v_{j}$ 。辛几何中有一个类似的定理（证明可参见例如[8]的逻辑命题1.1），它表明总能找到辛向量空间 $V$ 的一组基，使得对偶基坐标函数成对出现 $q_{j}, p_{j}$ ，且辛形式 $ω$ 与我们基于泊松括号得到的、由方程14.7给出的辛形式相同。注意欧几里得几何与辛几何的一个区别是，辛向量空间总是偶数维的。

题外话。对于熟悉微分流形、向量场和微分形式的人，辛向量空间的概念可以推广为：

定义（辛流形）

辛流形 $M$ 是带有微分二形式 $ω (\cdot, \cdot)$ （称为辛二形式）的流形，满足以下条件

• $ω$ 是非退化的 $(i . e ., f or$ 一个处处非零的向量场 $X, ω (X, \cdot)$ 是一个处处非零的一次形式）。

$d ω = 0$ ，在这种情况下，称 $ω$ 是闭的。

流形 $N$ 的余切丛 $T^{*} N$ $(i . e .$ ，即 $N$ 上一点与该点处切空间上的一个线性函数组成的点对的空间）提供了一类辛流形，它推广了线性情形 $N = R^{d}$ ，并在物理上对应于一个在 $N$ 上运动的粒子。一个既不是线性情形也不是余切丛的简单例子是球面 $M = S^{2}$ ，其中 $ω$ 为面积二形式。达布定理指出，通过适当选取 $M,$ 上的局部坐标 $q_{j}, p_{j}$ ，辛二形式 $ω$ 在这些局部坐标中总可以写成

ω = j = 1 \sum d d q_{j} \land d p_{j}

不过，与线性情形不同，一般来说不存在使这一点成立的全局坐标选择。稍后，我们对量子化的讨论将关键地依赖于相空间上具有线性结构，因此不适用于一般的辛流形。

注意，这里并不假设 $M$ 具有度量 $(i . e .$ ，它可能不是黎曼流形）。辛二形式 $ω$ 是流形上的一种结构，类似于度量，但具有相反的对称性质。度量是每一点切空间上的对称非退化双线性形式，而辛形式是切空间上的反对称非退化双线性形式。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 163、164、165、166、167、168、169、170

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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