16 二次多项式与辛群

在第14章和第15章中，我们详细研究了海森堡李代数，将其作为相空间上线性函数的李代数。量子化之后，这样的函数将给出状态空间$H$上的算符$Q_j$和$P_j$。在本章中，我们将开始考察二次函数的情形，此时辛李代数成为关注的对象。

齐次二阶与一阶多项式之间存在非平凡的泊松括号，这反映了辛群通过自同构作用于海森堡群这一事实。这一现象的重要性只有在后续章节中才会变得清楚，届时将出现一些有趣的例子：来自辛李代数的可观测量，它们是 $Q_j$ 和 $P_j$ 的二次式，并且不仅作用于态，还非平凡地作用于 $Q_j$ 和 $P_j$ 可观测量。

李代数$\mathfrak{sp}(2d,\mathbf{R})$的元素$L$与相空间$M$上的二阶多项式${\mu }_L$的等同，正是辛群$Sp(2d,\mathbf{R})$在$M$上作用的矩映射。这些二次函数的量子化将提供对应于任意李子群$G\subset Sp(2d,\mathbf{R})$（任意在$M$上线性作用并保持辛形式的李群$G$）的量子可观测量。此类量子可观测量可能是也可能不是“对称性”，术语“对称性”通常意味着它们通过对a ${\mu }_L$的量子化而产生，使得对于哈密顿函数$h$有$\{{\mu }_L,h\}=0$。

应当提醒读者，此处的讨论在现阶段物理动机尚不十分充分，许多动机直到后续章节才出现，尤其是在量子场论的可观测量的情形中，这些可观测量将是场的二次式，并通过自同构作用于场本身。

English contents

本章目录

• 16.1 辛群
  • 16.1.1 $d=1$ 的辛群
  • 16.1.2 任意 d 的辛群
• 16.2 辛群与海森堡群的自同构
  • 16.2.1 伴随表示与内自同构
  • 16.2.2 辛群作为自同构群
• 16.3 任意 d 的情形
• 16.4 延伸阅读

上一章：15 哈密顿向量场与矩映射

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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