2.4 微分形式

有些张量比另一些更有意思。其中特别有趣的一类是全反对称的 $(0,p)$ 张量场，它们称为p-形式(p-form)。流形 M 上所有 p-形式构成的集合记作 ${\Lambda }^p(M)$。

我们此前已经见过一些形式。0-形式就是函数；而正如前面所见，1-形式不过是线性泛函的另一个名称。反对称性意味着，次数满足 $p>n=\dim (M)$ 的形式是不存在的。一个 p-形式有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$ 个不同的分量。${\Lambda }^n(M)$ 中的形式称为顶形式。

给定一个 p-形式 $\omega$ 和一个 q-形式 η，我们可以取它们的张量积 (2.24)，构造出一个 $(p+q)$ 阶张量。再对它作反对称化，就得到一个 $(p+q)$-形式。这一构造称为楔积(wedge product)，其定义为

$$(\omega \wedge \eta {)}_{{\mu }_1\dots {\mu }_p{\nu }_1\dots {\nu }_q}=\frac{(p+q)!}{p!q!}{\omega }_{[{\mu }_1\dots {\mu }_p}{\eta }_{{\nu }_1\dots {\nu }_q]}$$

其中下标中的 $\left[\dots \right]$ 表示对所有指标作反对称化。例如，给定 ω 与 $\eta \in {\Lambda }^1(M)$，我们可以构造出一个 2-形式

$$(\omega \wedge \eta {)}_{\mu \nu }={\omega }_{\mu }{\eta }_{\nu }-{\omega }_{\nu }{\eta }_{\mu }$$

对 1-形式而言，反对称性保证了 $\omega \wedge \omega =0$。一般地，若 $\omega \in {\Lambda }^p(M)$ 且 $\eta \in {\Lambda }^q(M)$，则可以证明

$$\omega \wedge \eta =(-1{)}^{pq}\eta \wedge \omega$$

这就是说，对任何奇次微分形式都有 $\omega \wedge \omega =0$。不过，偶次微分形式却可以与自身作楔积。（这一点你在 0-形式中已经知道，那里的楔积不过是函数的乘法。）

作为一个更具体的例子，取 $M={\mathbf{R}}^3$，并设 $\omega ={\omega }_{\mu }d{x}^{\mu }$ 与 $\eta ={\eta }_{\mu }d{x}^{\mu }$。于是有

$$\begin{array}{rl}& \omega \wedge \eta =({\omega }_{1}d{x}^1+{\omega }_{2}d{x}^2+{\omega }_{3}d{x}^3)\wedge ({\eta }_{1}d{x}^1+{\eta }_{2}d{x}^2+{\eta }_{3}d{x}^3)\\ & =({\omega }_1{\eta }_2-{\omega }_2{\eta }_1)d{x}^1\wedge d{x}^2+({\omega }_2{\eta }_3-{\omega }_3{\eta }_2)d{x}^2\wedge d{x}^3+({\omega }_3{\eta }_1-{\omega }_1{\eta }_3)d{x}^3\wedge d{x}^1\end{array}$$

注意，所得的分量恰好就是叉积作用于 ${\mathbf{R}}^3$ 中向量时出现的那些分量。这并非巧合：我们通常所认为的向量之间的叉积，其实正是微分形式之间的楔积。至于如何从前者映射到后者，要等到第 3 节才能理解。

还可以证明，楔积是结合的，即

$$\omega \wedge (\eta \wedge \lambda )=(\omega \wedge \eta )\wedge \lambda$$

于是，在任何这样的乘积中我们都可以省去括号。

给定 ${\Lambda }^1(M)$ 的一个基 $\{f^{\mu }\}$，就可以用楔积 $\{f^{{\mu }_1}\wedge ...\wedge f^{{\mu }_p}\}$ 构造出 ${\Lambda }^p(M)$ 的一个基。我们通常使用坐标基 $\{d{x}^{\mu }\}$。这意味着，任何 p-形式 ω 都可以局部地写成

$$\omega =\frac{1}{p!}{\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_p}d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_p}\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

尽管局部地看，任何 $p\cdot$-形式都可以写成 (2.25) 的形式，但这一点在整体上未必成立。这一问题以及与之相关的问题，将在 2.4.3 节 中引起我们的兴趣。

2.4.1 外微分

在2.3.1 节中我们已经学过如何由函数$f.$构造出一个1-形式$df$。在坐标基下，这个1-形式的分量为(2.17)，

$$df=\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}d{x}^{\mu }$$

我们可以把这个定义推广到更高次的形式。外微分是一个映射

$$d:{\Lambda }^p(M)\to {\Lambda }^{p+1}(M)$$

在局部坐标(2.25)下，外微分的作用为

$$(d\omega )=\frac{1}{p!}\frac{\partial {\omega }_{{\mu }_1\dots {\mu }_p}}{\partial x^{\nu }}d{x}^{\nu }\wedge d{x}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{{\mu }_p}\text{\hspace{1em}(2.26)}$$

等价地，我们有

$$(d\omega {)}_{{\mu }_1\dots {\mu }_{p+1}}=(p+1){\partial }_{[{\mu }_1}{\omega }_{{\mu }_2\dots {\mu }_{p+1}]}\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

重要的是，如果我们随后再用外微分作用一次，就得到

$$d(d\omega )=0$$

因为其中的导数经过了反对称化，因而为零。这对任何p-形式都成立，这一事实有时被表述为

$$d^2=0$$

可以证明，外微分还满足若干其他性质，

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge$ dη，其中$\omega \in {\Lambda }^p(M)$

$d({\phi }^{\ast }\omega )={\phi }^{\ast }(d\omega )$ 其中${\phi }^{\ast }$是与流形之间的映射相联系的拉回，$\phi :M\to N$

• 由于外微分与拉回可交换，它也与李导数可交换。这就保证我们有$d({\mathcal{L}}_X\omega )={\mathcal{L}}_X(d\omega )$

若一个 p-形式 $\omega$ 处处满足 $d\omega =0$，则称它是闭的(closed)。若存在某个 η 使得 $\omega =d\eta$ 处处成立，则称它是恰当的(exact)。由于 $d^2=0$，恰当形式必然是闭的。反过来何时成立，是一个有趣的问题：我们将在2.4.3 节中进一步讨论。

例子

假设我们有一个1-形式 $\omega ={\omega }_{\mu }d{x}^{\mu }$，外微分给出一个2-形式

$$(d\omega {)}_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }\Rightarrow d\omega =\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu })d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }$$

作为这一例子的一个具体实例，假设我们让这个1-形式定义在 ${\mathbf{R}}^3$ 上，并取

$$\omega ={\omega }_{1}d{x}^1+{\omega }_{2}d{x}^2+{\omega }_{3}d{x}^3$$

由于这是一个场，每个分量 ${\omega }_{\mu }$ 都是 $x^1,x^2$ 和 $x^3$ 的函数。外微分由下式给出

$$\begin{array}{rl}d\omega & ={\partial }_2{\omega }_{1}d{x}^2\wedge d{x}^1+{\partial }_3{\omega }_{1}d{x}^3\wedge d{x}^1+{\partial }_1{\omega }_{2}d{x}^1\wedge d{x}^2\\ & +{\partial }_3{\omega }_{2}d{x}^3\wedge d{x}^2+{\partial }_1{\omega }_{3}d{x}^1\wedge d{x}^3+{\partial }_2{\omega }_{3}d{x}^2\wedge d{x}^3\\ & =({\partial }_1{\omega }_2-{\partial }_2{\omega }_1)d{x}^1\wedge d{x}^2+({\partial }_2{\omega }_3-{\partial }_3{\omega }_2)d{x}^2\wedge d{x}^3+({\partial }_3{\omega }_1-{\partial }_1{\omega }_3)d{x}^3\wedge d{x}^1\end{array}\text{\hspace{1em}(2.28)}$$

注意，这里不会出现像 ${\partial }_1{\omega }_1$ 这样的项，因为这一项会带有一个 $d{x}^1$ $\wedge d{x}^1=0$

从前（在本课程之前），我们习惯把 ${\mathbf{R}}^3$ 中的向量场写成 $\omega =$ $({\omega }^1,{\omega }^2,{\omega }^3)$，并计算旋度 $\nabla \times \omega$。但旋度的各个分量恰好就是 dω 中出现的那些分量。事实上，我们那个“向量” ω 其实是一个1-形式，而旋度把它变成了一个2-形式。一个令人愉快的事实是：在 ${\mathbf{R}}^3$ 中，向量、1-形式和2-形式都只有三个分量，这使我们能在先前的课程中把它们混为一谈。（事实上，它们之间存在一个自然的映射，我们将在第 3 节中遇到。）

现在假设我们改为从 ${\mathbf{R}}^3$ 中的一个2-形式 B 出发，把它写成

$$B=B_{1}d{x}^2\wedge d{x}^3+B_{2}d{x}^3\wedge d{x}^1+B_{3}d{x}^1\wedge d{x}^2$$

此时取外微分便得到

$$\begin{array}{rl}& dB={\partial }_1{B}_{1}d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3+{\partial }_2{B}_{2}d{x}^2\wedge d{x}^3\wedge d{x}^1+{\partial }_3{B}_{3}d{x}^3\wedge d{x}^1\wedge d{x}^2\\ & =({\partial }_1{B}_1+{\partial }_2{B}_2+{\partial }_3{B}_3)d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3\end{array}\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

这一次只有一个分量，但它同样是我们熟悉的东西。如果我们用老派的向量记号 $\mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3)$ 写出这个2-形式原来的三个分量，那么 dB 的这唯一一个分量就是我们以前所说的 $\nabla \cdot \mathbf{B}$。

再论李导数

在 $p\cdot$ 形式上，我们还能构造出另一种运算。给定一个向量场 $X\in \mathfrak{X}(M)$，我们可以构造内积运算(interior product)，即一个映射 ${\iota }_X:{\Lambda }^p(\mathcal{M})\to {\Lambda }^{p-1}(\mathcal{M})$。若 $\omega \in {\Lambda }^p(M)$，我们通过下式定义 ${\iota }_X\omega \in {\Lambda }^{p-1}(M)$：

$${\iota }_X\omega (Y_1,\dots ,Y_{p-1})=\omega (X,Y_1,\dots ,Y_{p-1})\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

换句话说，我们只是把 X 放进 ω 的第一个自变量中。作用在函数 $f,$ 上时，我们直接定义 ${\iota }_{X}f=0$。

形式的反对称性意味着 ${\iota }_X{\iota }_Y=-{\iota }_Y{\iota }_X$。此外，你还可以验证

$${\iota }_X(\omega \wedge \eta )={\iota }_X\omega \wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge {\iota }_X\eta$$

其中 $\omega \in {\Lambda }^p(M)$。

考虑一个1-形式 ω。用 ${\iota }_X$ 与 d 作用而重新得到一个1-形式，有两种不同的方式，即

$${\iota }_{X}d\omega ={\iota }_X\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu })d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }=X^{\mu }{\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }d{x}^{\nu }-X^{\nu }{\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }d{x}^{\mu }$$

以及

$$d{\iota }_X\omega =d({\omega }_{\mu }{X}^{\mu })=X^{\mu }{\partial }_{\nu }{\omega }_{\mu }d{x}^{\nu }+{\omega }_{\mu }{\partial }_{\nu }{X}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

把两者相加便得到

$$(d{\iota }_X+{\iota }_{X}d)\omega =(X^{\mu }{\partial }_{\mu }{\omega }_{\nu }+{\omega }_{\mu }{\partial }_{\nu }{X}^{\mu })d{x}^{\nu }$$

但这恰好就是我们在前面计算 1-形式 (2.22) 的李导数时所看到的同一个表达式。由此可知

$${\mathcal{L}}_X\omega =(d{\iota }_X+{\iota }_{X}d)\omega \text{\hspace{1em}(2.31)}$$

这个表达式有时被称为嘉当神奇公式(Cartan’s magic formula)。类似的计算表明，(2.31) 对任意 p-形式 $\omega$ 都成立

2.4.2 你熟悉且喜爱的形式

你已经遇到过许多微分形式的例子，只是很可能从未这样称呼过它们。

电磁场

电磁规范场 $A_{\mu }=\left(\varphi ,\mathbf{A}\right)$ 实际上应当看作时空 ${\mathbf{R}}^4$ 上某个1-形式的分量。（这里我取了 $c=1.)$ 我们记

$$A=A_{\mu }(x)d{x}^{\mu }$$

对它取外微分，就得到一个2-形式 $F=dA$，即

$$F=\frac{1}{2}{F}_{\mu \nu }d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }=\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu })d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }$$

但这恰恰就是我们在电磁学课程中遇到的场强 $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$。它的分量就是电场和磁场，排列成

$$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_1& -E_2& -E_3\\ E_1& 0& B_3& -B_2\\ E_2& -B_3& 0& B_1\\ E_3& B_2& -B_1& 0\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

由构造方式可知，我们还有 $dF=d^{2}A=0$。在这一语境下，它有时被称为比安基恒等式(Bianchi identity)；它给出四个麦克斯韦方程中的两个。用老派的矢量微积分记号写出来，就是 $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ 和 $\nabla \times \mathbf{E}+\partial \mathbf{B}/\partial t=0$。要得到另外两个方程，我们还需要一点额外的结构，这一点将在本章后面看到。

规范场 A 并不是唯一的。给定任意函数 α，我们总可以通过规范变换把它平移

$$A\to A+d\alpha \Rightarrow A_{\mu }\to A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\alpha$$

这样，场强保持不变，因为 $F\to F+d(d\alpha )=F$

相空间与哈密顿方程

在经典力学中，相空间是一个流形 M，由坐标 $(q^i,p_j)$ 参数化，其中 $q^i$ 是粒子的位置，$p_j$ 是动量。回忆我们在经典动力学讲座中所讲的：哈密顿量 $H(q,p)$ 是 M 上的一个函数，而哈密顿方程为

$${\dot{q}}^i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\text{ and }{\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q^i}\text{\hspace{1em}(2.33)}$$

相空间还带有一种称为泊松括号(Poisson bracket)的结构，它定义在一对函数 f 与 g 上，即

$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q^j}\frac{\partial g}{\partial p_j}-\frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial g}{\partial q^j}$$

于是，任意函数 f 的时间演化都可以写成

$$\dot{f}=\{f,H\}$$

若取 $f=q^i$ 或 $f=p_i$，它便给出哈密顿方程。

这一整套叙述背后的数学结构是微分形式。其核心思想是：我们有一个流形 M 以及 M 上的一个函数 H，想要一套机制把函数 H 变成一个向量场 $X_H$。粒子随后在相空间中沿着由 $X_H$ 生成的积分曲线运动。

为此，我们在一个偶数维流形 M 上引入一个辛2-形式 ω。这个2-形式必须是闭的，即 $d\omega =0$，并且是非退化的，也就是说最高次形式 $\omega \wedge \cdots \wedge \omega \ne 0$。随着讨论的展开，我们将会明白为什么需要这些要求。装备了一个辛2-形式的流形 M 称为辛流形(symplectic manifold)。

任何2-形式都给出一个映射 $\omega :T_p(M)\to T_p^{\ast }(M)$。给定一个向量场 $X\in \mathfrak{X}(M)$，我们只需与 ω 取内积运算，就得到一个1-形式 ${\iota }_X\omega$。然而我们想要的是相反的方向：给定一个函数 H，我们总能构造出一个1-形式 dH，并希望把它换成一个向量场。只要映射 ω：$T_p(M)\to T_p^{\ast }(M)$ 实际上是同构，从而逆映射存在，我们就能做到这一点。事实证明，只要 $\omega$ 非退化，情况便是如此。此时，我们可以通过求解方程来定义向量场 $X_H$

$${\iota }_{X_H}\omega =-dH\text{\hspace{1em}(2.34)}$$

若在流形上引入坐标 $x^{\mu }$，则该方程的分量形式为

$$X_H^{\mu }{\omega }_{\mu \nu }=-{\partial }_{\nu }H$$

我们把其逆记为 ${\omega }^{\mu \nu }=-{\omega }^{\nu \mu }$，使得 ${\omega }^{\mu \nu }{\omega }_{\nu \rho }={\delta }_{\rho }^{\mu }$。于是向量场的分量为

$$X_H^{\mu }=-{\omega }^{\nu \mu }{\partial }_{\nu }H={\omega }^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }H$$

由 $X_H$ 生成的积分曲线满足微分方程 式 (2.9)

$$\frac{d{x}^{\mu }}{dt}=X_H^{\mu }={\omega }^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }H$$

这就是哈密顿方程的一般形式。若令 $x^{\mu }=(q^i,p_j)$，并选取具有分块对角形式 ${\omega }^{\mu \nu }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{01}{-10}\right)$ 的辛形式，它们就化为我们先前得到的形式 (2.33)。

为了定义泊松结构，我们首先注意到，可以重复映射 (2.34)，把任意函数 f 变成一个满足 ${\iota }_{X_f}\omega =-df$ 的向量场 $X_f$。但随后我们又能把这些向量场代回原来的2-形式 $\omega .$ 中。这样就得到了一个泊松括号，

$$\{f,g\}=\omega (X_g,X_f)=-\omega (X_f,X_g)$$

或者，写成分量形式，

$$\{f,g\}={\omega }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }f{\partial }_{\nu }g$$

还有许多其他方式可以把这一泊松括号结构写成不变形式。例如，回溯各个定义，我们得到

$$\{f,g\}=-{\iota }_{X_f}\omega (X_g)=df(X_g)=X_g(f)$$

于是，用泊松括号结构写出的运动方程为

$$\dot{f}=\{f,H\}=X_H(f)={\mathcal{L}}_{X_H}f$$

它告诉我们，沿 $X_H$ 的李导数生成时间演化。

我们还没有解释为什么辛2-形式必须是闭的，即 $d\omega =0$。你可以验证，正是这一点保证了泊松括号满足雅可比恒等式。换个角度看，它保证了辛形式本身在哈密顿流下不变，即 ${\mathcal{L}}_{X_H}\omega =0$。为看出这一点，我们利用 (2.31)

$${\mathcal{L}}_{X_H}\omega =(d{\iota }_{X_H}+{\iota }_{X_H}d)\omega ={\iota }_{X_H}d\omega$$

第二个等号来自 $d{\iota }_{X_H}\omega =-d(dH)=0$ 这一事实。如果我们要求 $d\omega =0$，就得到 ${\mathcal{L}}_{X_H}\omega =0$，正如所断言的那样。

热力学

热力学系统的态空间(state space)是一个流形 M。对于理想气体，这是一个二维流形，其坐标可以由例如压强 p 和体积 V 给出。更复杂的系统可以有更高维的态空间，但维数总是偶数，因为与经典力学中一样，热力学变量总是成共轭对出现。

我们初学热力学定律时，不得不编造出一些奇怪的新记号 đ，而它此后再也没有露过面。例如，热力学第一定律可以写成

$$dE=\vec{d}Q+\vec{d}W$$

这里 dE 是系统能量的无穷小变化。如上所述，热力学第一定律指出，这一变化可分解为流入系统的热量 $\overrightarrow{dQ}$ 与对系统所做的功 đW。

为什么要用这种愚蠢的记号呢？因为能量 $E(p,q)$ 是态空间 M 上的函数，这意味着我们可以把能量的变化写成 $\begin{array}{r}dE=\frac{\partial E}{\partial p}dp+\frac{\partial E}{\partial V}dV\end{array}$。但不存在这样的函数 $Q(p,q)$ 或 $W(p,q)$，相应地，đQ 和 đW 不是恰当微分。事实上，我们有 $\#W=-pdV$；而后来在引入第二定律之后，我们得知 $\mathbf{\Psi \Psi \Psi }dQ=TdS$，其中 T 是温度，S 是熵，二者都是 M 上的函数。

用微分形式的语言来说，这就自然得多了。热力学第一定律中的每一项都是1-形式。但热量的传递 đQ 与功 đW 都不是恰当1-形式，因此不能写成 d(某物) 的形式。相反，dE 是一个恰当1-形式。这正是 đ 记号真正要告诉我们的：它是在我们还没有微分几何概念之前，用来表示非恰当1-形式的方式。

热力学第一定律的真正目的在于定义能量泛函 E。这一陈述在 $18^{\mathrm{th}}$ 世纪的版本大致是：“改变一个孤立系统所需的功与功是如何施加的无关。”更现代的表述则是：“功与热量之和是一个恰当1-形式。”

2.4.3 德拉姆上同调群初探

外微分是一个平方为零的映射，即 $d^2=0$。事实证明，用这类映射可以玩出许多花样。下面我们就来领略其中的一点趣味。

先重温一下我们已经见过的定义：若处处有 $d\omega =0$，则称一个p-形式是闭的。若对某个 η 处处有 $\omega =d\eta$，则称一个 p-形式是恰当的。由于 $d^2=0$，恰当蕴含闭。然而，反过来却未必成立。事实证明，闭形式不能成为恰当形式的方式，恰好反映了底流形的拓扑学中一些有趣的事实。

我们以前也遇到过这类问题。在电磁学中，磁场 B 满足 $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$。我们于是论证说，这意味着可以把磁场写成 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$。用形式的语言来表达，这要恰当得多。正如我们在上一节所见，磁场实际上是一个2-形式

$$B=B_{1}d{x}^2\wedge d{x}^3+B_{2}d{x}^3\wedge d{x}^1+B_{3}d{x}^1\wedge d{x}^2$$

我们在 (2.29) 中计算过外微分，结果是

$$dB=\left({\partial }_1{B}_1+{\partial }_2{B}_2+{\partial }_3{B}_3\right)d{x}^1\wedge d{x}^2\wedge d{x}^3$$

我们看到，麦克斯韦方程 $\nabla \cdot \mathbf{B}=0$ 实际上说的就是 B 是一个闭2-形式，即满足 $dB=0$。我们还在 (2.28) 中看到，若对某个1-形式 $A_i$ 写成 $B=dA$，则其分量由 $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ 给出。显然，写成 $B=dA$ 就能保证 $dB=0$。但反过来何时成立呢？我们有下面这个命题（此处不予证明）

定理（庞加莱引理(Poincaré lemma)）：在 $M={\mathbf{R}}^n$ 上，闭蕴含恰当。

既然我们已经花了很多时间把流形映射到 ${\mathbf{R}}^n$，这对一般的流形 M 也有推论。它意味着：若 ω 是一个闭p-形式，那么在任意邻域 $\mathcal{O}\subset M$ 内，总可以找到 $\eta \in {\Lambda }^{p-1}(M)$，使得在 $\mathcal{O}.$ 上有 $\omega =d\eta$。问题在于，未必能在整个流形上找到这样的 η。

一个例子

考虑一维流形 $M=\mathbf{R}$。我们可以取一个1-形式 $\omega =f(x)dx$。由于它是顶形式，所以总是闭的。它同时也是恰当的。我们引入函数

$$g(x)={\int }_0^{x}d{x}^{\prime }f(x^{\prime })$$

于是 $\omega =dg$。

现在考虑拓扑上更有趣的一维流形 ${\mathbf{S}}^1$，我们可以把它看作相位 $e^{i\theta }\in \mathbf{C}$。我们可以在 ${\mathbf{S}}^1$ 上引入形式 $\omega =d\theta$。它的写法使它看起来像是一个恰当形式，但这只是一种假象，因为正如我们在2.1 节中强调过的，θ 并不是 ${\mathbf{S}}^1$ 上处处都好的坐标，因为它不是单值的。事实上，很容易看出，在 ${\mathbf{S}}^1$ 上不存在单值函数 $g(\theta )$ 使得 $\omega =dg$。所以在 ${\mathbf{S}}^1$ 上，我们可以构造一个形式，它在局部可以写成 $d\theta$，但在整体上不能写成 d(某物)。于是我们就得到了一个闭的但不恰当的形式。

另一个例子

在 $M={\mathbf{R}}^2$ 上，庞加莱引理保证所有闭形式都是恰当的。然而，如果我们挖去一个点，转而考虑 ${\mathbf{R}}^2-\{0,0\}$，情况就变了。考虑由下式定义的1-形式

$$\omega =-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$$

由于在原点处发散，它不是 ${\mathbf{R}}^2$ 上的光滑1-形式。但把这一点挖去之后，$\omega$ 就变得可以接受了。我们可以验证 $\omega$ 是闭的，

$$d\omega =-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)dy\wedge dx+\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)dx\wedge dy=0$$

其中 = 0 可由一点代数运算得到。如果存在一个在 ${\mathbf{R}}^2-\{0,0\}$ 上处处有定义的函数 $f,$，使得 $\omega =df$，那么 $\omega$ 就是恰当的，而这也就意味着

$$\omega =\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{y}{x^2+y^2}\text{and}\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}$$

我们当然可以积分这些方程，结果是

$$f(x,y)={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\text{常数}$$

但它在 ${\mathbf{R}}^2-\{0,0\}$ 上并非处处都是光滑函数。这意味着，事实上我们无法对 ${\mathbf{R}}^2-\{0,0\}$ 上某个定义良好的函数写出 $\omega =df$。由此可见，挖去一个点会造成很大的差别：此时闭已不再蕴含恰当。

${\mathbf{R}}^3$ 上也有类似的情形。事实上，尽管$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$这一麦克斯韦方程禁止磁单极子存在，它们正是以这种方式重新潜入物理学的。关于这一点，你可以在规范理论的讲座中学到更多。

贝蒂数

我们把流形 M 上所有闭 p-形式构成的集合记作 $Z^p(M)$。等价地，$Z^p(M)$ 就是映射 d $:{\Lambda }^p(M)\to {\Lambda }^{p+1}(M)$ 的核。

我们把流形 M 上所有恰当 p-形式构成的集合记作 $B^p(M)$。等价地，$B^p(M)$ 就是 $d:{\Lambda }^{p-1}(M)\to {\Lambda }^p(M)$ 的值域。

第 $p^{\mathrm{th}}$ 德拉姆上同调群(de Rham cohomology group)定义为

$$H^p(M)=Z^p(M)/B^p(M)$$

这里的商是一个等价类。若对某个 $\eta \in B^p(M)$ 有 $\omega ={\omega }^{\prime }+\eta$，则称两个闭形式 $\omega ,{\omega }^{\prime }\in Z^p(M)$ 等价。我们说 $\omega$ 与 ${\omega }^{\prime }$ 位于同一个等价类 [ω] 中。上同调群 $H^p(M)$ 就是这些等价类构成的集合；换言之，它由闭形式模恰当形式构成。

流形 M 的贝蒂数(Betti number) $B_p$ 定义为

$$B_p=\dim H^p(M)$$

可以证明这些数总是有限的。任何连通流形的第 0 个贝蒂数都是 $B_0=1$。这可以追溯到常函数的存在：常函数显然是闭的，但由于不存在 $p=-1$ 的形式，它们不是恰当的。只有当流形具有某种有趣的拓扑时，更高阶的贝蒂数才不为零。最后，欧拉示性数定义为贝蒂数的交错和，

$$\chi (M)=\sum _p(-1{)}^p{B}_p\text{\hspace{1em}(2.35)}$$

下面举几个简单的例子。我们已经看到，圆周 ${\mathbf{S}}^1$ 上存在一个闭非恰当1-形式。这意味着 $B_1=1$ 且 $\chi =0$。球面 ${\mathbf{S}}^n$ 只有 $B_n=1$ 和 $\chi =1+(-1{)}^n$。环面 ${\mathbf{T}}^n$ 则有 $B_p=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$ 和 $\chi =0$。

2.4.4 积分

我们已经学会了如何借助向量场 X 在流形上求导。现在该学习如何积分了。结果表明，我们在流形上积分所积的对象正是微分形式(form)。

在流形上积分

首先，我们需要确定自己的方位。dim $(M)=n$ 维流形上的一个体积形式(volume form)，或者说一个定向(orientation)，就是一个处处不为零的顶形式 v。任何顶形式都只有一个分量，并且可以局部地写成

$$v=v(x)d{x}^1\wedge \dots \wedge d{x}^n$$

其中我们要求 $v(x)\ne 0$。如果这样的顶形式在流形上处处存在，就称 M 是可定向的(orientable)。

如果处处有 $v(x)>0$，就称该定向是右手的(right-handed)；如果处处有 $v(x)<0$，就称它是左手的(left-handed)。给定一个体积形式 v，我们总可以通过乘以一个函数来构造另一个体积形式，即 $\tilde{v}=fv$，其中处处有 $f(x)>0$ 或处处有 $f(x)<0$。

仅仅在局部写出一个满足 $v(x)\ne 0$ 的体积形式是不够的。我们还必须保证能够把这些体积形式在流形上拼接起来，而手性不发生改变。假设我们有两套坐标 $x^{\mu }$ 和 ${\tilde{x}}^{\mu }$，它们在某区域上重叠。在新坐标下，体积形式由下式给出

$$v=v(x)\frac{\partial x^1}{\partial {\tilde{x}}^{{\mu }_1}}d{\tilde{x}}^{{\mu }_1}\wedge \cdots \wedge \frac{\partial x^n}{\partial {\tilde{x}}^{{\mu }_n}}d{\tilde{x}}^{{\mu }_n}=v(x)\det \left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}\right)d{\tilde{x}}^1\wedge \cdots \wedge d{\tilde{x}}^n$$

只要下式成立，它就具有相同的定向

$$\det \left(\frac{\partial x^{\mu }}{\partial {\tilde{x}}^{\nu }}\right)>0\text{\hspace{1em}(2.36)}$$

只要重叠的坐标卡满足(2.36)，不可定向流形(non-orientable manifold)就无法被这样的坐标卡覆盖。例子包括莫比乌斯带以及 n 为偶数时的实射影空间${\mathbf{RP}}^n$。（相比之下，n 为奇数时${\mathbf{RP}}^n$是可定向的，而对所有$n.)$，${\mathbf{CP}}^n$都是可定向的。在这些讲义中，我们只讨论可定向流形。

给定 M 上的一个体积形式 v，我们就可以在流形上对任意函数$f:M\to \mathbf{R}$积分。在坐标卡$\varphi :\mathcal{O}\to U$中，取坐标$x^{\mu }$，我们有

$${\int }_{\mathcal{O}}fv={\int }_{U}d{x}_1\dots d{x}_{n}f(x)v(x)$$

等式右端不过是在${\mathbf{R}}^n$的某一部分上做普通的积分。体积形式起着测度的作用，它告诉我们积分中各个部分应当赋予多大的权重。要在整个流形上积分，我们就把流形划分成若干区域，每个区域都由单个坐标卡覆盖，然后对每个区域分别积分，再把结果相加。

在子流形上积分

我们不必在整个流形 M 上积分，也可以在某些低维的子流形上积分。

若存在映射 $\varphi :\Sigma \to M$，它是一一的（这保证 Σ 在 M 中不自交），并且 ${\varphi }_{\ast }:T_p(\Sigma )\to T_{\varphi (p)}(M)$ 也是一一的，则称维数为 $k<n$ 的流形 Σ 是 M 的子流形(submanifold)。

于是我们可以把 M 上的一个 k-形式 ω 在 k 维子流形 Σ 上积分。做法是把该 k-形式拉回到 Σ 上，并写成

$${\int }_{\varphi (\Sigma )}\omega ={\int }_{\Sigma }{\varphi }^{\ast }\omega$$

例如，假设 M 上有一个 1-形式 A。若 C 是一维流形，我们就可以引入映射 $\sigma :C\to M$，它定义了一条不自交的一维曲线 $\sigma (C)$，而后者是 M 的子流形。然后我们便可以把 A 拉回到这条曲线上并积分，得到

$${\int }_{\sigma (C)}A={\int }_C{\sigma }^{\ast }A$$

用坐标写出来，这大概会显得更熟悉。若该曲线在 M 中描出一条路径 $x^{\mu }(\tau )$，则我们有

$${\int }_C{\sigma }^{\ast }A=\int d\tau A_{\mu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$$

而这恰恰就是粒子的世界线与电磁场耦合的方式，正如我们先前在(1.20)中所见。

2.4.5 斯托克斯定理

到目前为止，我们只考虑了光滑流形。有一个稍作推广的概念会很有用。我们以与流形相同的方式定义带边流形(manifold with boundary)，只是要求坐标卡映射为 $\varphi :\mathcal{O}\to U$，其中 U 是 ${\mathbf{R}}^{n+}:=:\{\{x^1,\dots ,x^n\}$ 的开子集，且满足 $x^n\ge 0\}$。该边界具有余维 1，记作 ∂M：它是坐标为 $x^n=0$ 的子流形。

考虑一个带边界 ∂M 的流形 M。若流形的维数为 $\dim (M)=n$，则对任意 $(n-1)$ 形式 ω，我们有如下简单结果

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_{\partial M}\omega \text{\hspace{1em}(2.37)}$$

这就是斯托克斯定理。

这里我们不证明斯托克斯定理。其证明相当繁琐，而且与你过去称为斯托克斯定理（或散度定理）的其他结论的证明并无太大差别。（例如可参见向量微积分的讲义。）然而，(2.37) 的妙处在于，它把许多结果统一成一个简洁的公式。要看出这一点，我们只需看几个例子。

一切积分定理之母

首先，取 $n=1$，并令 M 为区间 I。我们在该区间上引入$x\in [a,b]$作为坐标。此时0-形式$\omega =\omega (x)$不过是一个函数，且 $d\omega =(d\omega /dx)dx$。在这种情况下，斯托克斯定理的两边可以分别算出，得到

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_a^b\frac{d\omega }{dx}dx\mathrm{and}{\int }_{\partial M}\omega =\omega (b)-\omega (a)$$

将两者相等，我们就看到斯托克斯定理不过是微积分基本定理的另一种表述。

接下来，我们取 $M\subset {\mathbf{R}}^2$ 为一个带边流形。我们引入一个带坐标的1-形式

$$\omega ={\omega }_{1}d{x}^1+{\omega }_{2}d{x}^2\Rightarrow d\omega =\left(\frac{\partial {\omega }_2}{\partial x^1}-\frac{\partial {\omega }_1}{\partial x^2}\right)d{x}^1\wedge d{x}^2$$

在这种情况下，斯托克斯定理中的各个要素为

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_M\left(\frac{\partial {\omega }_2}{\partial x^1}-\frac{\partial {\omega }_1}{\partial x^2}\right)d{x}^{1}d{x}^2\mathrm{and}{\int }_{\partial M}\omega ={\int }_{\partial M}{\omega }_{1}d{x}^1+{\omega }_{2}d{x}^2$$

将两者相等，就得到通常所说的平面上的格林定理。

最后，考虑 $M\subset {\mathbf{R}}^3$ 为一个带边流形，并取一个2-形式

$$\omega ={\omega }_{1}d{x}^2\wedge d{x}^3+{\omega }_{2}d{x}^3\wedge d{x}^1+{\omega }_{3}d{x}^1\wedge d{x}^2$$

斯托克斯定理的右端为

$${\int }_{\partial M}{\omega }_{1}d{x}^{2}d{x}^3+{\omega }_{2}d{x}^{3}d{x}^1+{\omega }_{3}d{x}^{1}d{x}^2$$

同时，我们在(2.29)中计算了2-形式的外微分。于是斯托克斯定理的左端给出

$${\int }_{M}d\omega ={\int }_M\left({\partial }_1{\omega }_1+{\partial }_2{\omega }_2+{\partial }_3{\omega }_3\right)d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3$$

这一次，将两者相等，就得到散度定理。

我们看到，如(2.37)所写出的斯托克斯定理是积分定理之母，它把许多著名结果打包进一个公式之中。我们将在3.2.4 节中重新讨论这一点，在那里把斯托克斯定理与散度定理的一种更显明的形式联系起来。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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