3.4 向量子空间与商空间

English

向量空间 $V$ 的向量子空间(vector subspace) $W$ 是一个子集，其本身在 $V$ 上定义的向量加法和标量乘法运算下构成一个向量空间。判断一个子集是否为子空间有一个简单的准则：

子集 $W$ 是 $V$ 的子空间，当且仅当 $u+av\in W$ 对所有 $a\in \mathbb{K}$ 和所有 $u,v\in W$ 成立

对于，令$a=1$表明$W$对向量加法封闭，而$u=0$则意味着它关于标量乘法封闭。关于这两种运算的封闭性足以证明$W$是一个向量子空间：零向量$0\in W$，因为对任意$v\in W$都有$0=0v\in W$；逆向量$-u=(-1)u\in W$对每个$u\in W$都存在，并且其余向量空间公理(VS1)–(VS5)在$W$中均得到满足，因为它们是从$V$继承而来的。

例 3.11

设 $U=\{(u_1,u_2,\dots ,u_m,0,\dots ,0)\}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为末 $n-m$ 个分量全为零的 $n$ 维向量组成的子集。$U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个向量子空间，因为

$$\begin{array}{c}(u_1,\dots ,u_m,0,\dots ,0)+a(v_1,\dots ,v_m,0,\dots ,0)\\ =(u_1+a{v}_1,\dots ,u_m+a{v}_m,0,\dots ,0)\in U.\end{array}$$

该子空间通过同构与${\mathbb{R}}^m$同构

$$T:(u_1,\dots ,u_m,0,\dots ,0)\mapsto (u_1,\dots ,u_m).$$

随文练习

证明对于每个 $n>0$，${\mathbb{R}}^n$ 同构于 ${\mathbb{R}}^{\infty }$ 的一个子空间

例 3.12

设 $V$ 为域 $\mathbb{K}$ 上的向量空间，$u\in V$ 为任意向量。集合 $U=\{cu\mid c\in \mathbb{K}\}$ 是 $V$ 的子空间，因为对任意一对标量 $c,c^{\prime }\in \mathbb{K}$

$$cu+a(c^{\prime }u)=cu+(a{c}^{\prime })u=(c+a{c}^{\prime })u\in U.$$

随文练习

证明集合 $\{(x,y,z)|x+2y+3z=0\}$ 构成 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间，而子集 $\{(x,y,z)|x+2y+3z=1\}$ 则不构成。

例 3.13

在${\mathbb{R}}^n$上所有连续实值函数的集合，记作$\mathcal{C}({\mathbb{R}}^n)$，是例3.8中定义的$\mathcal{F}({\mathbb{R}}^n)$的子空间，因为如果$f$和$g$是${\mathbb{R}}^n$上的任意一对连续函数，那么任何线性组合$f+ag$也是连续的，其中$a\in \mathbb{R}$

随文练习

证明例 3.10 中定义的所有实多项式构成的向量空间 $\mathcal{P}(x)$ 是 $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ 的向量子空间。

给定向量空间 $V$ 的两个向量子空间 $U$ 与 $W$，它们的集合论交集 $U\cap W$ 构成 $V$ 的向量子空间，因为若 $u,w\in U\cap W$，则任意线性组合 $u+aw$ 分别属于每个子空间 $U$ 与 $W$。该论证可轻易推广以证明任意一族子空间的交集 ${\bigcap }_{i\in I}{U}_i$ 是 $V$ 的子空间。

互补子空间与商空间

虽然任意一对子空间 $U$ 与 $W$ 的交集是 $V$ 的向量子空间，但它们的集合论并集 $U\cup V$ 却并非如此——例如，考虑两个子空间 $\{(c,0)|c\in \mathbb{R}\}$ 与 $\{(0,c)|c\in \mathbb{R}\}$ 属于 ${\mathbb{R}}^2$ 的并集。相反，我们可以将任意一对子空间的和 $U+W$ 定义为包含 $U\cup W$ 的“最小”向量空间，

$$U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}.$$

这是一个向量子空间，因为若 $u=u_1+w_1$ 和 $v=u_2+w_2$ 属于 $U+W$，则

$$u+av=\left(u_1+w_1\right)+a\left(u_2+w_2\right)=\left(u_1+a{u}_2\right)+\left(w_1+a{w}_2\right)\in U+W.$$

若 $V$ 的两个子空间 $U$ 与 $W$ 满足：每个向量 $v\in V$ 都有唯一分解 $v=u+w$，其中 $u\in U$ 且 $w\in W$，则称它们互补(complementary subspaces)。此时称 $V$ 是子空间 $U$ 与 $W$ 的直和(direct sum)，记作 $V=U\oplus W$

定理 3.1

$U$ 和 $W$ 是 $V$ 的互补子空间，当且仅当 (i) $V=U+W$ 且 $(ii)U\cap W=\{0\}$

证明

若 $U$ 与 $W$ 是互补子空间，则 (i) 是显然的；并且若存在非零向量 $u\in U\cap V$，则零向量将具有不同的分解 $0=$ $0+0$ 与 $0=u+(-u)$。反之，若 (i) 与 (ii) 成立，则分解 $v=u+w$ 是唯一的，因为若 $v=u^{\prime }+w^{\prime }\mathtt{then}u-u^{\prime }=w-w^{\prime }\in U\cap W$。因此 $\begin{array}{r}u-u^{\prime }=w-w^{\prime }=0,\end{array}$ $\mathrm{so}u=u^{\prime }$ 与 $w=w^{\prime }$

例 3.14

设 ${\mathbb{R}}_1$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中由形如 $\{(x_1,0,0,\dots ,0)|x_1\in \mathbb{R}\}$ 的向量组成的子空间，而 $S_1$ 为子空间

$$S_1=\{(0,x_2,x_3,\dots ,x_n)|(x_i\in \mathbb{R})\}.$$

于是 ${\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}_1\oplus S_1$ 。以类似方式继续，$S_1$ 可以写成 ${\mathbb{R}}_2=$ $\{(0,x_2,0,\dots ,0)\}$ 与一个子空间 $S_2$ 的直和。我们最终得到直和分解

$${\mathbb{R}}^n={\mathbb{R}}_1\oplus {\mathbb{R}}_2\oplus \cdots \oplus {\mathbb{R}}_n\cong \mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}.$$

若 $U$ 与 $W$ 是任意向量空间，则可以通过一种构造性方式定义它们的直和，有时称为它们的外直和(external direct sum)，即令

$$U\oplus W=U\times W=\{(u,w)|u\in U,w\in W\}$$

其向量加法与标量乘法定义为

$$(u,w)+(u^{\prime },w^{\prime })=(u+u^{\prime },w+w^{\prime }),a(u,w)=(au,aw).$$

由 $\phi (u)=(u,0)$ 定义的映射 $\phi :U\to \hat{U}=\{(u,0)|u\in U\}\subset U\oplus W$ 显然是同构。因此我们可以将 $U$ 与子空间 $\hat{U}$ 等同起来，类似地 $W$ 也可与 $\hat{W}=\{(0,w)|w\in W\}$ 等同。借助这些等同，构造性的直和概念与“内部定义”的版本等价，因为 $U\oplus W=\hat{U}\oplus \hat{W}$

实数系 $R$ 可视为一个实向量空间，其中标量乘法就是实数的乘法——在此情形下，向量与标量无法区分。由于例 3.14 中定义的子空间 ${\mathbb{R}}_i$ 对每个 $i=1,\dots ,n$ 显然都同构于 $R$，该例中给出的分解可写为

$${\mathbb{R}}^n\cong \underset{n}{\underbrace{\mathbb{R}\oplus \mathbb{R}\oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}}.$$

对任意给定的向量子空间，总存在互补子空间。我们在此给出证明，以说明佐恩引理（定理1.6）的应用，但该证明略显技术性，若读者有意，亦可跳过而不致严重影响连贯性。

定理 3.2

给定子空间 $W\subseteq V$，总存在补子空间 $U\subseteq V$，使得 $V=U\oplus W.$

证明

给定 $V$ 的一个向量子空间 $W$，令 $\mathcal{U}$ 为所有向量子空间 $U\subseteq V$ 的集合，使得 $U\cap W=\{0\}$。集合 $\mathcal{U}$ 可以按集合包含关系偏序化，如例 1.5 所示。此外，若 $\{U_i\mid i\in I\}$ 是 $\mathcal{U}$ 的任意全序子集，使得对于每一对 $i,j\in I$，都有 $U_i\subseteq U_j$ 或 $U_j\subseteq U_i$，则它们的并集以

$$\tilde{U}=\bigcup _{i\in I}{U}_i.$$

集合 $\tilde{U}$ 是 $V$ 的向量子空间，因为若 $u\in \tilde{U}$ 且 $v\in \tilde{U}$，则全序族中存在一个成员 $U_i$，使得这两个向量都必须属于同一个成员 $U_i-$；若 $u\in U_j$ 且 $v\in U_k$，则令集合 $i=k$，若 $U_j\subseteq U_k$，否则令 $i=j$。因此，对所有 $a\in \mathbb{K}$ 都有 $u+av\in U_i\subseteq \tilde{U}$。由佐恩引理，我们得出结论：存在一个极大子空间 $U\in \mathcal{U}.$

还需证明 $U$ 与 $W$ 互补。假设不然；则存在一个向量 ${\upsilon }^{\prime }\in V$ 不能表示为 $v^{\prime }=u+w$ 的形式，其中 $u\in U,w\in W$ 。令 $U^{\prime }$ 为由下式定义的向量子空间

$$U^{\prime }=\{a{v}^{\prime }+u|u\in U\}=\{a{v}^{\prime }\}\oplus U.$$

它属于族 $\mathcal{U}$，因为若 $\cdot U^{\prime }\cap W\ne \{0\}$，则存在一个非零向量 $w^{\prime }=$ $a{v}^{\prime }+u$ 属于 $W.$。这意味着 $v^{\prime }=a^{-1}(w^{\prime }-u)$，与要求 $v^{\prime }$ 不能表示为来自 $U$ 和 $W$ 的向量之和相矛盾。因此我们有严格包含 $U\subset U^{\prime }$，这与 $U$ 的极大性相矛盾。于是 $U$ 是如所需与 $W_{;}$ 互补的子空间。 -

这个证明带有明显的非构造性色彩，这是诉诸佐恩引理的证明的典型特征。要得到与给定子空间 $W$ 互补的向量空间，一种更直接的途径是在 $V$ 上定义等价关系 $\mathrm{relation}{\equiv }_W$，通过

$$u{\equiv }_{W}v\text{ iff }u-v\in W.$$

检验等价性质很容易：

自反：对所有 $u\in V$，有 $u-u=0\in W$

对称：$u-v\in W⟹v-u=-(u-v)\in W,$

遍历的：$u-v\in W\mathrm{and}v-w\in W⟹u-w=(u-v)+(v-w)\in W.$

$u$ 所属的等价类记作 $u+W$，其中

$$u+W=\{u+w\mid w\in W\},$$

并称为 $W$ 的一个陪集(coset)。此定义与 2.5 节中关于阿贝尔群情形所给出的定义本质相同。通过设定，可以构造陪集的和并用标量乘以它们，

$$(u+W)+(v+W)=(u+v)+W,a(u+W)=(au)+W.$$

为保持一致性，必须证明这些定义与陪集代表元的选取无关。例如，若 $u{\equiv }_W{u}^{\prime }$ 且 $\mathbf{v}{\equiv }_{\mathbf{W}}{\mathbf{v}}^{\prime }$，则 $(u^{\prime }+v^{\prime }){\equiv }_W(u+v)$，因为

$$(u^{\prime }+v^{\prime })-(u+v)=(u^{\prime }-u)+(v^{\prime }-v)\in W.$$

因此

$$(u^{\prime }+W)+(v^{\prime }+W)=(u^{\prime }+v^{\prime })+W=(u+v)+W=(u+W)+(v+W).$$

类似地，$\mathbf{a}{\mathbf{u}}^{\prime }{\equiv }_W$ $au$，因为 $a{u}^{\prime }-au=a(u^{\prime }-u)\in W$ 且

$$a(u^{\prime }+W)=(a{u}^{\prime })+W=(au)+W=a(u+W).$$

证明该陪集集合关于这些运算构成向量空间这一任务虽然繁琐，却并不困难。例如，分配律（VS2）可由下式推出

$$\begin{array}{rl}a((u+W)+(v+W))& =a((u+v)+W)\\ & =a(u+v)+W\\ & =(au+av)+W\\ & =((au)+W)+((av)+W)\\ & =a(u+W)+a(v+W).\end{array}$$

其余公理以类似方式成立，留作练习。$W$ 的陪集构成的向量空间称为 $V$ 对 $W$ 的商空间(quotient space)，记作 $V/W$

为了直观地理解商空间，设 $U$ 是 $V$ 的任意一个与 $W.$ 互补的子空间。$V/W$ 的每个元素都可以唯一地写成陪集 $u+W$ 的形式，其中 $u\in U$ 。因为，若 $v+W$ 是任意一个陪集，令 $v=u+w$ 为 $v$ 分解为分别来自 $U$ 和 $W$ 的向量的唯一分解，则由 $v{\equiv }_{W}u$ 可得 $\mathbf{v}+\mathbf{W}=\mathbf{u}+\mathbf{W}$ 。由 $T(u)=u+W$ 定义的映射 $T:U\to V/W$ 描述了 $U$ 与 $V/W$ 之间的一个同构。因为，若 $u+W=u^{\prime }+W$ ，其中 $u$, $u^{\prime }\in U$ ，则 $u-u^{\prime }\in W\cap U$ ，于是由 $U$ 和 $W$ 是互补子空间可得 $u=u^{\prime }$ 。

随文练习

请补全细节，以证明映射 $T:U\to V/W$ 是线性的、一一的且满射的，从而 $U\cong V/W$

这一论证还表明，给定子空间 $W$ 的所有补空间彼此同构。商空间 $V/W$ 是构造 $W.$ 的“典范补空间”的一种方法。

例 3.15

虽然 $V/W$ 在某种意义上是 $W$ 的补，但它并不是 $V$ 的子空间，而且事实上也没有自然的方式将它等同于任何与 $W$ 互补的子空间。例如，设 $W=\{(x,y,0)|x,y\in \mathbb{R}\}$ 为子空间 $z=0\mathrm{of}{\mathbb{R}}^3$。它的陪集是平行于 $x$–$y$ 平面的平面 $z=a$，而正是这些平面构成了 $V/W$ 的“向量”。子空间 $U=\{(0,0,z)|z\in \mathbb{R}\}$ 显然与 $W$ 互补，并且通过映射同构于 $V/W$

$$(0,0,a)\mapsto (0,0,a)+W=\{(x,y,a)|x,y\in \mathbb{R}\}.$$

然而，不存在将 $V/W$ 与诸如 $U$ 这样的补子空间自然等同的方式。例如，空间 $U^{\prime }=\{(0,2z,z)|z\in \mathbb{R}\}$ 也是 $W$ 的补空间，因为 $U^{\prime }\cap W=\{0\}$，且每个向量 $(a,b,c)\in {\mathbb{R}}^3$ 都有分解

$$(a,b,c)=(a,b-2c,0)+(0,2c,c),(a,b-2c,0)\in W,(0,2c,c)\in U^{\prime }.$$

同样，$U^{\prime }\cong V/W$ 在该映射下

$$(0,2c,c)\mapsto (0,2c,c)+W=(0,0,c)+W.$$

注意 $(a,b,c)$ 的 ${}^{\circ }\mathsf{W}-\mathsf{componen}{\mathsf{t}}^{\circ }$ 如何依赖于补子空间的选择；$(a,b,0)$ 关于 $U,$，以及 $(a,b-2c,0)$ 关于 $U^{\prime }$

线性映射的像与核

线性映射 $T:V\to W$ 的像(image)定义为集合

$$\mathrm{im}T=T(V)=\{w\mid w=Tv\}\subseteq W.$$

集合 $\mathrm{im}T$ 是 $W$ 的子空间，因为若 $w$, $w^{\prime }\in$ $\mathrm{im}T$，则

$$w+a{w}^{\prime }=Tv+aT{v}^{\prime }=T(v+a{v}^{\prime })\in \mathrm{im}T.$$

映射$T$的核(kernel)定义为集合

$$\ker T=T^{-1}(0)=\{v\in V\mid Tv=0\}\subseteq V.$$

这也是 $V$ 的一个子空间，因为如果 $v,v^{\prime }\in \ker T$，那么 $T(v+a{v}^{\prime })=Tv+aT{v}^{\prime }=$ $0+0=0$。这两个空间通过恒等式相联系

$$\mathrm{im}T\cong V/\ker T.\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

证明

定义映射 $\tilde{T}:V/\ker T\to \mathrm{im}T$ 为

$$\tilde{T}(v+\ker T)=Tv.$$

这个映射是良定义的，因为它不依赖于陪集代表元$v$的选择，

$$\begin{array}{rl}v+\ker T=v^{\prime }+\ker T& ⟹v-v^{\prime }\in \ker T\\ & ⟹T(v-v^{\prime })=0\\ & ⟹Tv=T{v}^{\prime }\end{array}$$

并且显然是线性的。它是满射且单射的，因为 $\mathrm{im}T$ 的每个元素都具有 $Tv=\tilde{T}(v+\ker T)$ 的形式，并且

$$\begin{array}{c}\tilde{T}(v+\ker T)=\tilde{T}(v^{\prime }+\ker T)⟹Tv=T{v}^{\prime }\\ ⟹v-v^{\prime }\in \ker T\\ ⟹v+\ker T=v^{\prime }+\ker T.\end{array}$$

因此，$\tilde{T}$ 是向量空间同构，这证明了式 (3.3)。

例 3.16

设 $V={\mathbb{R}}^3$ 和 $W={\mathbb{R}}^2$，并定义映射 $T:V\to W$ 为

$$T(x,y,z)=(x+y+z,2x+2y+2z).$$

子空间 $\mathrm{im}T\mathrm{of}{\mathbb{R}}^2$ 由所有形如 $(a,2a)$ 的向量构成的集合组成，其中 $a\in \mathbb{R}$，而 $\ker T$ 是所有满足 $x+y+z=0.$ 的向量 $(x,y,z)\in V$ 的子集——请验证这些确实构成 $V$ 的一个子空间。若 $\mathbf{v}=(x,y,z)$ 且 $a=x+y+z$，则 $v-ae\in \ker T$，其中 $e=(1,0,0)\in V$，因为

$$T(v-ae)=T(x,y,z)-T(x+y+z,0,0)=(0,0).$$

此外，$a$ 是具有此性质的唯一值，因为若 ${\mathbf{a}}^{\prime }\ne \mathbf{a}$ 则 $\mathbf{v}-{\mathbf{a}}^{\prime }\mathbf{e}\notin \ker T$。因此，$\ker T$ 的每个陪集都有形式为 $ae$ 的唯一代表，并且可以唯一地写成 $ae+\ker T$ 的形式。上述证明中定义的同构 $\tilde{T}$ 由下式给出

$$\tilde{T}(ae+\ker T)=(a,2a)=a(1,2).$$

习题

习题 3.5

若 $L$、$M$ 和 $N$ 是 $V$ 的向量子空间，证明

$$L\cap (M+(L\cap N))=L\cap M+L\cap N$$

但一般来说，并非如此

$$L\cap (M+N)=L\cap M+L\cap N.$$

习题 3.6

设 $V=U\oplus W$，并设 $v=u+w$ 为向量 $v$ 分解为来自 $u\in U$ 与 $w\in W$ 的向量之和的唯一分解。定义投影映射 $P_U:V\to U$ 与 $P_W:V\to$ $W$ 为

$$P_U(v)=u,P_W(v)=w.$$

证明

(a) $P_U^2=P_U$ 与 $P_W^2=P_W$

(b) 证明：若 $P:V\to V$ 是满足 $P^2=P$ 的算符，称为幂等算符(idempotent operator)，则存在子空间 $U$，使得 $P=P_U.[Hint;$ 令 $U=\{u|Pu=u\}$ 和 $\mathcal{W}=\{w|Pw=0\}$，并证明它们是互补子空间，使得 $P=P_U$ 和 $P_{\mathcal{W}}={\mathrm{id}}_V-P.]$