3.1 环与域

English

一个 环(ring) $R$ 是一个集合，带有两种复合运算，分别称为加法和乘法，记作 $a+b$ 和 $ab$。要求 $R$ 关于 $+$ 构成阿贝尔群，其恒等元为 $0$，逆元记作 $-a$。关于乘法，$R$ 应为交换半群，因而恒等元和逆元未必存在。具体而言，环的要求如下：

(R1) 加法满足结合律，$(a+b)+c=a+(b+c)$

(R2) 加法是可交换的，$a+b=b+a.$

(R3) 存在一个元素 0，使得 $a+0=a$ 对所有 $a\in R$ 成立。

(R4) 对每个 $a\in R$，存在一个元素 $-a$，使得 $a-a\equiv a+(-a)=0.$

(R5) 乘法满足结合律，$(ab)c=a(bc)$

(R6) 乘法是可交换的，$ab=ba.$

（R7）分配律成立，$a(b+c)=ab+ac$。由（R6），这也蕴含 $(a+b)c=ac+bc$。它是联系加法与乘法这两种复合法则的关键关系。

如第 2 章所示，加法单位元 0 是唯一的。由这些公理我们还得到：$0a=0$ 对所有 $a\in R.$ 成立，因为根据 (R1)、$R$(3)、(R4) 和 (R7)

$$0a=0a+0=0a+0a-0a=(0+0)a-0a=0a-0a=0.$$

例 3.1

整数 $\mathbb{Z}$ 关于通常的加法和乘法运算构成一个环。这个环具有（乘法）单位元 1，满足对所有 $a\in \mathbb{Z}$ 都有 $1a=a1=a$。由所有偶数组成的集合 $2\mathbb{Z}$ 也构成一个环，但此时没有单位元。

例 3.2

所有 $n\times n$ 实矩阵的集合 $M_n$ 关于矩阵加法 $\mathsf{A}+\mathsf{B}$ 和按通常方式定义的矩阵乘积 $AB$ 构成一个环。这是一个带单位元 $I$（单位矩阵）的环。

例 3.3

集合 $S$ 上所有实值函数的集合，记作 $\mathcal{F}(S)$，构成一个带单位元的环。函数 $f+g$ $fg$ 的加法与乘法按通常方式定义，

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x),(fg)(x)=f(x)g(x).$$

0 元素是零函数，它在每个 $x\in S$ 上的值都是数零，而恒等元则是在每个 $x\in S$ 上取值 1 的函数

这些环的例子在乘法下都不能构成群，因为即使它们有乘法单位元 1，零元素 0 也几乎从不具有逆元。

随文练习

证明：若环 $R$（含单位元）中存在 $0^{-1}$，则 $0=1$，且 $R$ 必为仅由一个元素 0 构成的平凡环。

一个 域(field) $\mathbb{K}$ 是一个带有乘法单位元 1 的环，其中每个元素 $a\ne 0$ 都有一个逆元 $a^{-1}\in \mathbb{K}$，使得 $a{a}^{-1}=1$。用“环”和“域”这两个词来描述这些代数实体，其原因并不完全清楚。然而，“域”这个词或许有些不幸，因为它与物理学中常用的“电磁场”之类的表达毫无关系。

例 3.4

实数 $R$ 和复数 $C$ 在通常的加法和乘法规则下都构成域。这些基本上是本书中唯一关注的域。我们将经常使用符号 $\mathbb{K}$ 来指代一个域，它可以是 $R$ 或 $C$。

习题

习题 3.1

证明整数模素数 $p$ 构成一个有限域。

习题 3.2

证明所有形如 $a+b\sqrt{2},$ 的实数组成的集合是一个域，其中 $a$ 和 $b$ 是有理数。如果 $a$ 和 $b$ 限制为整数，证明这个集合是一个环，但不是域。