8.2 r-向量的基表示

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设 $\left\{{\mathbf{e}}_i\right\}$ 为 $V$ 的任意基，其对偶基为 $\{{\epsilon }^j\}$，则在式 (8.2) 中令 ${\omega }^1={\epsilon }^{i_1},{\omega }^1={\epsilon }^{i_1},...,{\omega }^r={\epsilon }^{i_r}$，便得到任意类型为 ($r$, 0) 的张量 $T$ 的分量所满足的方程。

$$(\mathcal{A}T{)}^{i_1{i}_2\dots i_r}=T^{[i_1{i}_2\dots i_r]}\equiv \frac{1}{r!}\sum _{\sigma }(-1{)}^{\sigma }{T}^{i_{\sigma (1)}{i}_{\sigma (2)}\dots i_{\sigma (r)}}.$$

由反对称化算子的性质，任意一组指标的方括号满足

$$\begin{array}{l}{T}^{[i_1{i}_2\dots i_r]}=(-1{)}^{\pi }{T}^{[i_{\pi (1)}{i}_{\pi (2)}\dots i_{\pi (r)}]},\text{ for any permutation }\pi \\ T^{[[i_1{i}_2\dots i_r]]}=T^{[i_1{i}_2\dots i_r]}.\end{array}$$

若 $A$ 是一个 $r$-向量，则 $AA=A$，或者按分量，

$$A^{i_1{i}_2\dots i_r}=A^{[i_1{i}_2\dots i_r]}.$$

类似的陈述适用于协变型的张量，例如

$$\begin{array}{rl}& T_{[ij]}=\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji}),\\ & T_{[ijk]}=\frac{1}{6}(T_{ijk}+T_{jki}+T_{kij}-T_{ikj}-T_{jik}-T_{kji}).\end{array}$$

定理 8.1 可以用分量表示为

$$T^{\left[\left[i_1{i}_2\dots i_r\right]S^{j_{r+1}{j}_{r+2}\dots j_{r+s}}\right]}=T^{[i_1{i}_2\dots i_r}{S}^{j_{r+1}{j}_{r+2}\dots j_{r+s}}],$$

或者，稍作推广，出现在方括号内任意位置的方括号总是可以消去，

$$T^{[i_1\dots [i_k\dots i_{k+l}]\dots i_r]}=T^{[i_1\dots i_k\dots i_{k+l}\dots i_r]}.$$

由其分量的反对称性，每个 $r$-向量 $A$ 都可以写成

$$\begin{array}{c}A=A^{i_1{i}_2\dots i_r}{e}_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes \cdots \otimes e_{i_r}\\ =A^{i_1{i}_2\dots i_r}{e}_{i_1{i}_2\dots i_r}\end{array}\text{\hspace{1em}(8.3)}$$

其中

$$e_{i_1{i}_2\dots i_r}=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma }(-1{)}^{\sigma }{e}_{i_{\sigma (1)}}\otimes e_{i_{\sigma (2)a}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{\sigma (r)a}}.\text{\hspace{1em}(8.4)}$$

例如

$$\begin{array}{c}{e}_{12}=\frac{1}{2}(e_1\otimes e_2-e_2\otimes e_1),\\ e_{123}=\frac{1}{6}(e_1\otimes e_2\otimes e_3-e_1\otimes e_3\otimes e_2+e_2\otimes e_3\otimes e_1\\ -e_2\otimes e_1\otimes e_3+e_3\otimes e_1\otimes e_2-e_3\otimes e_2\otimes e_1),\text{etc.}\end{array}$$

$r$-向量 $e_{i_1\dots i_r}$ 具有该性质

$$e_{i_1\dots i_r}=\{\begin{array}{ll}0& \text{ if any pair of indices are equal, }\\ (-1{)}^{\pi }{e}_{i_{\pi (1)}\dots i_{\pi (r)}}& \text{for any permutation }\pi \text{ of }1,2,\dots ,r.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.5)}$$

因此，展开式 式 (8.3) 可以化为其中每一项都具有 $i_1<i_2<\cdots <i_r$ 的形式。

$$A=r!\underset{i_1<i_2<\cdots <i_r}{\underbrace{\sum \cdots \sum }}{A}^{i_1{i}_2\dots i_r}{e}_{i_1{i}_2\dots i_r}.\text{\hspace{1em}(8.6)}$$

因此，${\Lambda }^r(V)$ 由该集合张成

$$E_r=\{e_{i_1{i}_2\dots i_r}\mid i_1<i_2<\cdots <i_r\}.$$

此外，这个集合是线性无关的，因为如果存在一个线性关系

$$0=\underset{i_1<i_2<\cdots <i_r}{\underbrace{\sum \cdots \sum }}{B}^{i_1{i}_2\dots i_r}{e}_{i_1{i}_2\dots i_r},$$

将此多重线性函数应用于满足 $j_1<j_2\cdots <j_r$ 的变元 ${\epsilon }^{j_1},{\epsilon }^{j_2},\dots ,{\epsilon }^{j_r}$，得到

$$0=\underset{i_1<i_2<\cdots <i_r}{\underbrace{\sum \cdots \sum }}{B}^{i_1{i}_2\dots i_r}{\delta }_{i_1}^{j_1}{\delta }_{i_2}^{j_2}\dots {\delta }_{i_r}^{j_r}=B^{j_1{j}_2\dots j_r}.$$

因此$E_r$构成${\Lambda }^r(V)$的一组基

向量空间 ${\Lambda }^r(V)$ 的维数是出现在前 $n$ 个整数 $\{1,2,\dots ,n\}$ 中的子集 $\{i_1<i_2<\cdots <i_r\}$ 的个数

$$\dim {\Lambda }^r(V)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{n!}{r!(n-r)!}.$$

特别地，$\dim$ ${\Lambda }^n(V)=1$，而对所有 $k>0$ 有 $\dim$ ${\Lambda }^{(n+k)}(V)=0$。后者可由以下事实推出：若 $r>n$，则所有 $r$-向量 $e_{i_1{i}_2\dots i_r}$ 均为零，因为必有一对指标相等。

一个类似的论证表明，$r$-形式的集合

$${\mathcal{E}}_r=\{{\epsilon }^{i_1\dots i_r}|i_i<\cdots <i_r\},\text{\hspace{1em}(8.7)}$$

其中

$${\epsilon }^{i_1\dots i_r}=\frac{1}{r!}\sum _{\pi }(-1{)}^{\pi }{\epsilon }^{i_{\pi (1)}}\otimes {\epsilon }^{i_{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes {\epsilon }^{i_{\pi (r)}},\text{\hspace{1em}(8.8)}$$

是 ${\Lambda }^{\ast r}(V)$ 的一个基，且 $r$-形式空间的维数也是 ${}^n$。