8.3 外积

Λ (V) = Λ^{0} (V) \oplus Λ^{1} (V) \oplus Λ^{2} (V) \oplus \dots \oplus Λ^{n} (V) .

$Λ (V)$ 的元素称为多重向量(multivector)，记作

A = A_{0} + A_{1} + \dots + A_{n} where A_{r} \in Λ^{r} (V) .

如 6.4 节所示，

dim (Λ (V)) = r = 0 \sum n (r n) = 2^{n} .

对任意 $r$ -向量 $A$ 与 $s$ -向量 $B$ ，我们定义它们的外积(exterior product) 或楔积(wedge product) $A \land B$ 为 ( $r$ $s$ )-向量

A \land B = A (A \otimes B), (8.9)

并通过线性性延拓到整个 $Λ (V)$ ，

(a A + b B) \land C = a A \land C + b B \land C, A \land (a B + b C) = a A \land B + b A \land C .

0-向量（即标量） $a$ 与 $r$ -向量 $A$ 的楔积就是标量乘法，因为

a \land A = A (a \otimes A) = A (a A) = a A A = a A .

对于一般多重向量 $(\sum_{a} A_{a})$ 和 $(\sum_{b} B_{b})$ )，我们有

(a \sum A_{a}) \land (b \sum B_{b}) = a \sum b \sum A_{a} \land B_{b} .

结合律由定理 8.1 以及张量积的结合律成立，

A \land (B \land C) = A (A \otimes A (B \otimes C)) = A (A \otimes (B \otimes C)) = A ((A \otimes B) \otimes C) = A (A (A \otimes B) \otimes C) = (A \land B) \land C .

因此，带有楔积的空间 $Λ (V)$ 是一个结合代数，称为 $V$ 上的外代数(exterior algebra)。书写诸如 $A \land B \land C$ 这样的表达式没有歧义。由于外积具有性质

\land : Λ^{r} (V) \times Λ^{s} (V) \to Λ^{r + s} (V),

它被称为分次积(graded product)，而外代数 $Λ (V)$ 被称为分次代数(graded algebra)。

例 8.1

若 $u$ 与 $v$ 是向量，则它们的外积具有性质
$(u \land v) (ω, ρ) = A (u \otimes v) (ω, ρ) = A (u \otimes v) (ω, ρ) = \frac{1}{2} (u (ω) v (ρ) - u (ρ) v (ω)),$
因此

$u \land v = \frac{1}{2} (u \otimes v - v \otimes u) = - v \land u . (8.10)$
显然 $u \land u = 0$ 。在式（8.10）的推导中令 $ω = ε^{i}$ 和 $ρ = ε^{j}$ ，得到
$(u \land v)^{ij} = \frac{1}{2} (u^{i} v^{j} - u^{j} v^{i}) .$
在许多教科书中，外积 $A \land B$ 被定义为 $\frac{( r + s )!}{r ! s !} A (A \otimes B)$ ，在这种情况下，因子 $\frac{1}{2}$ 不会出现在这些公式中。

反交换性质式 (8.10) 易于推广，以证明对于 $1, 2, \dots, r,$ 的任意排列 $π$

$u_{π (1)} \land u_{π (2)} \land \dots \land u_{π (r)} = (- 1)^{π} u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} . (8.11)$
由式 (8.4) 定义的基 $r$ -向量 $e_{i_{1} \dots i_{r}}$ 显然可以写成

$e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land \dots \land e_{i_{r}}, (8.12)$
而置换性质式 (8.5) 等价于式 (8.11)。

对任意一对基元素 $e_{i_{1} \dots i_{r}} \in Λ^{r} (V)$ 与 $e_{j_{1} \dots j_{s}} \in Λ^{s} (V)$ ，由式 (8.12) 立即推出

$e_{i_{1} \dots i_{r}} \land e_{j_{1} \dots j_{s}} = e_{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}} . (8.13)$
这些表达式使我们能够给出任意多重向量的外积的唯一表达式，因为如果 $A$ 是一个 $r$ -向量，而 $B$ 是一个 $s$ -向量，
$A = r! i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \sum \dots i_{r} \sum A^{i_{1} \dots i_{r}} e_{i_{1} \dots i_{r}}, B = s! j_{1} < j_{2} < \dots < j_{s} \sum \dots j_{s} \sum B^{j_{1} \dots j_{s}} e_{j_{1} \dots j_{s}},$
那么

$A \land B = r! s! i_{1} < \dots < i_{r} \sum \dots \sum j_{1} < \dots < j_{s} \sum \dots \sum A^{i_{1} \dots i_{r}} B^{j_{1} \dots j_{s}} e_{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}} . (8.14)$
或者，楔积的公式可以写成
$A \land B = A^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} e_{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} \land B^{j_{1} j_{2} \dots j_{s}} e_{j_{1} j_{2} \dots j_{s}} = A^{i_{1} \dots i_{r}} B^{j_{1} \dots j_{s}} e_{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}} = A^{[i_{1} \dots i_{r}} B^{j_{1} \dots j_{s}]} e_{i_{1}} \otimes \dots \otimes e_{i_{r}} \otimes e_{j_{1}} \otimes \dots \otimes e_{j_{s}}$
利用式（8.4）。因此， $A \land B$ 的张量分量是

$(A \land B)^{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}} = A^{[i_{1} \dots i_{r}} B^{j_{1} \dots j_{s}]} . (8.15)$

例 8.2

如果 $u$ 和 $v$ 是 1-向量，那么
$(u \land v)^{ij} = u^{[i} v^{j]} = \frac{1}{2} (u^{i} v^{j} - u^{j} v^{i})$
如例 8.1 中那样。对于 1-向量 $u$ 与 2-向量 $A$ 的外积，利用斜对称性 $A^{j k} = - A^{k j}$ ，我们得到，
$(u \land A)^{ij k} = u^{[i} A^{j k]} = \frac{1}{6} (u^{i} A^{j k} - u^{i} A^{k j} + u^{j} A^{k i} - u^{j} A^{ik} + u^{k} A^{ij} - u^{k} A^{j i}) = \frac{1}{3} (u^{i} A^{j k} + u^{j} A^{k i} + u^{k} A^{ij}) .$
三个向量的楔积是
$u \land v \land w = \frac{1}{6} (u \otimes v \otimes w + v \otimes w \otimes u + w \otimes u \otimes v - u \otimes w \otimes v - w \otimes v \otimes u - v \otimes u \otimes w) .$
在分量中，
$(u \land v \land w)^{ij k} = u^{[i} v^{j} w^{k]} = \frac{1}{6} (u^{i} v^{j} w^{k} - u^{i} v^{k} w^{j} + u^{j} v^{k} w^{i} - u^{j} v^{i} w^{k} + u^{k} v^{i} w^{j} - u^{k} v^{j} w^{i}) .$
如此继续下去，任意 $r$ 个向量 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}$ 的楔积得到 $r$ -向量
$u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r} = \frac{1}{r !} π \sum (- 1)^{π} u_{π (1)} \otimes u_{π (2)} \otimes \dots \otimes u_{π (r)}$
其分量为
$(u_{1} \land u_{2} \land \dots \land u_{r})^{i_{1} i_{2} \dots i_{r}} = u_{1}^{[i_{1}} u_{2}^{i_{2}} \dots u_{r}^{i_{r}]} .$
向量的反交换规则 $u$ $\land v = - v \land u .$ 推广到 $r$ -向量 $A$ 与 $s$ -向量 $B$ 的情形为

$A \land B = (- 1)^{r s} B \land A . (8.16)$
这一结果已在 6.4 节式 (6.20) 中得到证明。它可由下式推出
$A \land B = A^{i_{1} \dots i_{r}} B^{j_{1} \dots j_{s}} e_{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}} = (- 1)^{r s} B^{j_{1} \dots j_{s}} A^{i_{1} \dots i_{r}} e_{j_{1} \dots j_{s} i_{1} \dots i_{r}}$
由于需要 $r s$ 次交换才能将指标 $j_{1}, \dots, j_{r}$ 置于指标 $i_{1}, \dots, i_{s}$ 之前

若 $u$ 为偶数，则 $A$ 与所有多重向量交换，而一对奇次多重向量总是反交换。例如，若 $u$ 是 1-向量且 $\land A = A \land u$ 是 2-向量，则
$(u \land A)^{ij k} = u^{[i} A^{j k]} = A^{[j k} u^{i]} = A^{[ij} u^{k]} = (A \land u)^{ij k} .$

多重形式(multiform) 的空间以完全类似的方式定义，

Λ^{*} (V) = Λ (V^{*}) = Λ_{0}^{*} (V) \oplus Λ_{1}^{*} (V) \oplus Λ_{2}^{*} (V) \oplus \dots \oplus Λ_{n}^{*} (V),

带有外积

α \land β = A (α \otimes β) (8.17)

与多重向量上的楔积具有相同的性质

α \land (β \land γ) = (α \land β) \land γ and α \land β = (- 1)^{r s} β \land α .

在式（8.7）中定义的基 $r$ -形式可以写成

ε^{i_{1} \dots i_{r}} = ε^{i_{1}} \land \dots \land ε^{i_{r}},

而一对形式的外积的分量表达式为

(α \land β)_{i_{1} \dots i_{r} j_{1} \dots j_{s}} = α_{[i_{1} \dots i_{r}} β_{j_{1} \dots j_{s}]} .

简单 $p$ -向量与子空间

一个简单 $p$ -向量是可以写成 1-向量的楔积的向量，

A = v_{1} \land v_{2} \land \dots \land v_{p}, v_{i} \in Λ^{1} (V) = V .

类似地，一个简单的 $p$ -形式 $α$ 是可分解为 1-形式的楔积的形式，

α = α^{1} \land α^{2} \land \dots \land α^{p}, α^{i} \in Λ^{* 1} (V) = V^{*} .

设 $W$ 是 $V$ 的 $p$ 维子空间。对 $W_{;}$ 的任意基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{p}$ ，定义 $p$ 向量 $E_{W} = e_{1} \land e_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land e_{p}$ 。若 $e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{p}^{'}$ 是第二个基，则对某组系数 $B_{i^{'}}^{i}$

e_{i^{'}}^{'} = i = 1 \sum p B_{i^{'}}^{i} e_{i},

而对应于这个基的 $p$ -向量是

E_{W}^{'} = e_{1}^{'} \land \dots \land e_{p}^{'} = \sum_{i_{1}} \dots \sum_{i_{p}} B_{1}^{i_{1}} B_{2}^{i_{2}} \dots B_{p}^{i_{p}} e_{i_{1}} \land e_{i_{2}} \land e_{i_{p}} = \sum_{π} (- 1)^{π} B_{1}^{i_{π} (1)} B_{2}^{i_{π} (2)} \dots B_{p}^{i_{π} (p)} e_{1} \land e_{2} \land \dots \land e_{p} = det [B_{j^{'}}^{i}] E_{W} .

因此，子空间 $W$ 在相差一个乘数因子的意义下唯一对应于一个简单 $p$ -向量 $E_{W}$

定理 8.2 · 简单多向量所确定的子空间 (The subspace determined by a simple multivector)

向量 $u$ 属于 $W$ ，当且仅当 $u$ $\land E_{W} = 0$

证明

该命题是定理 6.2 的直接推论。

习题

习题 8.1

将两个2-向量 $A = A^{ij} e_{ij}$ 与 $B = B^{k l} e_{k l}$ 的外积的分量表示为六项之和，
$(A \land B)^{ij k l} = \frac{1}{6} (A^{ij} B^{k l} + A^{ik} B^{l j} + \dots) .$
一个2-向量与一个4-向量的乘积需要多少项？证明一般而言，一个 $r$ -向量与一个 $s$ -向量的外积的分量可以表示为 $\frac{( r + s )!}{r ! s !} terms .$ 的和。

习题 8.2

设 $V$ 是一个四维向量空间，其基为 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}}$ ，且 $A$ $a$ 是 $V$ 上的 2-向量。

(a) 证明向量 $u$ 满足方程
$A \land u = 0$
当且仅当存在一个向量 $v$ 使得
$A = u \land v .$
[提示：选取一个基，使得 $e_{1} = u .]$

(b) 如果
$A = e_{2} \land e_{1} + a e_{1} \land e_{3} + e_{2} \land e_{3} + c e_{1} \land e_{4} + b e_{2} \land e_{4}$
明确写出方程 $A \land u = 0$ ，其中 $u = u^{1} e_{1} + u^{2} e_{2} + u^{3} e_{3} + u^{4} e_{4}$ ，并证明当且仅当 $i$ $c = ab$ 时它们有解。在这种情况下，找出两个向量 $u$ 和 $v$ ，使得 $A = u \land v .$

(c) 一般地证明四维向量 $A$ $\land A = 8 α e_{1} \land e_{2} \land e_{3} \land e_{4}$ ，其中
$α = A^{12} A^{34} + A^{23} A^{14} + A^{31} A^{24},$
和
$det [A^{ij}] = α^{2} .$
(d) 证明： $A$ 是两个向量 $A = u \land$ $v$ 的楔积，当且仅当 $A \land A = 0$

习题 8.3

证明嘉当引理：若 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}$ 是线性无关向量，且 $v_{1}, \dots, v_{p}$ 是向量，使得
$u_{1} \land v_{1} + u_{2} \land v_{2} + \dots + u_{p} \land v_{p} = 0,$
则存在一个对称的系数集合 $A_{ij} = A_{j i}$ ，使得
$v_{i} = j = 1 \sum p A_{i} j u_{j} .$
[提示：将 $u_{i}$ 扩充为整个向量空间 $V$ 的一组基。]

习题 8.4

若 $V$ 是 $n$ 维向量空间，且 $A$ 是一个 2-向量，证明存在 $V$ 的一组基 $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}$ ，使得
$A = e_{1} \land e_{2} + e_{3} \land e_{4} + \dots e_{2 r - 1} \land e_{2 r},$
对于某个数2 $r$ ，称为 $A$ 的秩。

(a) 证明秩仅依赖于2-向量 $A$ ，而不依赖于基的选择，通过证明 $A^{r} \neq = 0$ 和 $A^{r + 1} = 0$ ，其中
$A^{p} = p A \land A \land \dots \land A .$
(b) 若 $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}$ 是 $V$ 的任意一组基，且 $A = A^{ij} f_{i} \otimes f_{j}$ ，其中 $A^{ij} = - A^{j i}$ ，证明分量矩阵 $A = [A^{ij}]$ 的秩与上述定义的秩一致。

习题 8.5

设 $V$ 为一个 $n$ 维空间，而 $A$ 为任意一个 $(n - 1) - vector .$

(a) 证明由满足 $u$ $\land A = 0$ 的向量 $u$ 构成的子空间 $V_{A}$ 的维数为 $n - 1$

(b) 证明每个 ( $n$ 1)-向量 $A$ 都是可分解的，即 $A = v_{1} \land v_{2} \land \cdot \cdot \cdot \land v_{n - 1}$ ，其中 $v_{1}, \dots, v_{n - 1} \in V$ 。[提示：取 $V$ 的一个基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，使得前 $n - 1$ 个向量张成子空间 $V_{A}$ ，这由定理 3.7 总是可能的，并将 $A$ 按此基展开。]

Szekeres · 数学物理

章节

8.3 外积

简单 $p$ -向量与子空间

习题

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简单p-向量与子空间

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