8.1 r-向量与r-形式

English

一个 $(r,0)$ 型的张量被称为 反对称张量(antisymmetric tensor) $\mathrm{if},$ 作为一个多重线性函数，每当其任意一对自变量互换时，它改变符号，

$$A({\alpha }^1,\dots ,{\alpha }^i,\dots ,{\alpha }^j,\dots ,{\alpha }^r)=-A({\alpha }^1,\dots ,{\alpha }^j,\dots ,{\alpha }^i,\dots ,{\alpha }^r).\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

等价地，如果 $\pi$ 是 $1,\dots ,r$ 的任意一个置换，那么

$$A({\alpha }^{\pi (1)},{\alpha }^{\pi (2)},\dots ,{\alpha }^{\pi (r)})=(-1{)}^{\pi }A({\alpha }^1,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^r).$$

为将这些条件用分量表示，设 $\{e_i\}$ 为 $V$ 的任意一组基，$\{{\epsilon }^j\}$ 为其对偶基。在式 (8.1) 中令 ${\alpha }^1={\epsilon }^{i_1},{\alpha }^2={\epsilon }^{i_2},..$，则张量 $A$ 是反对称的，当且仅当任意一对分量指标互换时它改变符号，

$$A^{i_1\dots j\dots k\dots i_r}=-A^{i_1\dots k\dots j\dots i_r}.$$

对于 $1,\dots ,r$ 的任意置换 $\pi$，我们有

$$A^{i_{\pi (1)}\dots i_{\pi (r)}}=(-1{)}^{\pi }{A}^{i_1\dots i_r}.$$

型为 $(r,0)$ 的反对称张量也称为 $r$-向量，构成一个向量空间，记作 ${\Lambda }^r(V)$。$V$ 的普通向量是 1-向量，而标量将称为 0-向量。

类似的处理适用于类型为 $(0,r)$ 的反对称张量，称为 $r$-形式。这些通常用希腊字母 $\alpha ,\beta$ 等表示，并满足

$$\alpha (v_{\pi (1)},\dots ,v_{\pi (r)})=(-1{)}^{\pi }\alpha (v_1,\dots ,v_r),$$

或用分量表示

$${\alpha }_{i_{\pi (1)}\dots i_{\pi (r)}}=(-1{)}^{\pi }{\alpha }_{i_1\dots i_r}.$$

线性泛函，或称余向量，称为1-形式，而标量称为0-形式。$r$-形式的向量空间记作${\Lambda }^{\ast r}(V)\equiv {\Lambda }^r(V^{\ast })$。

如式 (7.33) 所示，2-形式 $\alpha$ 与 (2, 0) 型对称张量 $S$ 的全缩并为零，

$${\alpha }_{ij}{S}^{ij}=0.$$

更一般的缩并也是如此，例如一个 $r$-形式 $\alpha$ 与一个类型为 ($s$, 0) 且在任意一对指标上对称的张量 $S$ 之间的缩并；例如，若 $S^{ikl}=S^{lki}$，则

$${\alpha }_{ijkl}{S}^{ikl}=0.$$

反对称化算符

设 $T$ 为任意 $r$ 阶全逆变张量，即类型为 ($r$, 0) 的张量。其 反对称部分(antisymmetric part) 定义为由下式给出的张量 $\mathbf{AT}$

$$\mathcal{A}T({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^r)=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma }(-1{)}^{\sigma }T({\omega }^{\sigma (1)},{\omega }^{\sigma (2)},\dots ,{\omega }^{\sigma (r)}),\text{\hspace{1em}(8.2)}$$

其中右端的求和遍历 1, 2, … , $r$ 的所有置换 $\sigma$。若 $\pi$ 是 1, 2, … , $r$ 的任一置换，则

$$\begin{array}{l}\mathcal{A}T({\alpha }^{\pi (1)},{\alpha }^{\pi (2)},\dots ,{\alpha }^{\pi (r)})=\frac{1}{r!}{\sum }_{\sigma }(-1{)}^{\sigma }T({\alpha }^{\pi \sigma (1)},{\alpha }^{\pi \sigma (2)},\dots ,{\alpha }^{\pi \sigma (r)})\\ =\frac{1}{r!}{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{\pi }(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}T({\alpha }^{{\sigma }^{\prime }(1)},{\alpha }^{{\sigma }^{\prime }(2)},\dots ,{\alpha }^{{\sigma }^{\prime }(r)})\\ =(-1{)}^{\pi }\mathcal{A}T({\alpha }^1,{\alpha }^2,\dots ,{\alpha }^r),\end{array}$$

由于 ${\sigma }^{\prime }=\pi \sigma$ 遍历 1, 2, … , $r$ 的所有置换，并且 $(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}=(-1{)}^{\pi }(-1{)}^{\sigma }$ 因此 $\mathbf{A}\mathbf{T}$ 是反对称张量。

反对称化算子(antisymmetrization operator) $\mathcal{A}:V^{(r,0)}\to {\Lambda }^r(V)\subseteq V^{(r,0)}$ 显然是 $V^{(r,0)}$ 上的线性算符

$$\mathcal{A}(aT+bS)=a\mathcal{A}(T)+b\mathcal{A}(S),$$

并且由于 $r$-向量 $A$ 的反对称部分总是 $A$ 本身，所以它是幂等的

$${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A}.$$

因此这是一个投影算符（见习题3.6）。这一性质可推广为以下有用的定理：

定理 8.1 · 反对称化与张量积 (Antisymmetrization and tensor products)

若 $T$ 是 ($r$, 0) 型张量，而 $S$ 是 ($s$, 0) 型张量，则

$$\mathcal{A}(\mathcal{A}T\otimes S)=\mathcal{A}(T\otimes S),\mathcal{A}(T\otimes \mathcal{A}S)=\mathcal{A}(T\otimes S).$$

证明

我们将证明第一个方程，第二个本质上相同。设 ${\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{r+s}$ 为任意 $r+s$ 个余向量。那么

$$\mathcal{A}T\otimes S({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{r+s})=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma }(-1{)}^{\sigma }T({\omega }^{\sigma (1)},\dots ,{\omega }^{\sigma (r)}\left)S\right({\omega }^{r+1},\dots ,{\omega }^{r+s}).$$

将此和式中的每个置换$\sigma$视为$1,2,\dots ,r+s$的一个保持最后$s$个数不变的置换${\sigma }^{\prime }$，则该方程可写为

$$\mathcal{A}T\otimes S\left({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{r+s}\right)=\frac{1}{r!}\sum _{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}T\left({\omega }^{{\sigma }^{\prime }(1)},\dots ,{\omega }^{{\sigma }^{\prime }(r)}\right)S\left({\omega }^{{\sigma }^{\prime }(r+1)},\dots ,{\omega }^{{\sigma }^{\prime }(r+s)}\right).$$

现在，对于每个置换 ${\sigma }^{\prime }$，当 $\rho$ 取遍 $1,2,\dots ,r+s$ 的所有置换时，乘积 $\pi =\rho {\sigma }^{\prime }$ 也取遍所有这样的置换，并且 $(-1{)}^{\pi }=(-1{)}^{\rho }(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}$。因此

$$\begin{array}{l}\mathcal{A}(\mathcal{A}T\otimes S)({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{r+s})\\ =\frac{1}{(r+s)!}{\sum }_{\rho }(-1{)}^{\rho }\frac{1}{r!}{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}(-1{)}^{{\sigma }^{\prime }}T({\omega }^{\rho {\sigma }^{\prime }(1)},\dots ,{\omega }^{\rho {\sigma }^{\prime }(r)})S({\omega }^{\rho {\sigma }^{\prime }(r+1)},\dots ,{\omega }^{\rho {\sigma }^{\prime }(r+s)})\\ =\frac{1}{r!}{\sum }_{{\sigma }^{\prime }}\frac{1}{(r+s)!}{\sum }_{\pi }(-1{)}^{\pi }T({\omega }^{\pi (1)},\dots ,{\omega }^{\pi (r)}\left)S\right({\omega }^{\pi (r+1)},\dots ,{\omega }^{\pi (r+s)}),\end{array}$$

由于类型 ${\sigma }^{\prime }$ 的置换共有 $r$! 个，每个置换都作出相同的贡献。因此

$$\begin{array}{l}\mathcal{A}(\mathcal{A}T\otimes S)({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{r+s})\\ =\frac{1}{(r+s)!}{\sum }_{\pi }(-1{)}^{\pi }T({\omega }^{\pi (1)},\dots ,{\omega }^{\pi (r)}\left)S\right({\omega }^{\pi (r+1)},\dots ,{\omega }^{\pi (r+s)})\\ =\mathcal{A}(T\otimes S)({\omega }^1,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{r+s}),\end{array}$$

按要求。

同一个符号 $\mathbf{A}$ 也可用于表示由下式定义的投影算符 $\mathcal{A}:V^{(0,r)}{\Lambda }^{\ast r}$

$$\mathcal{A}T(u_1,u_2,\dots ,u_r)=\frac{1}{r!}\sum _{\sigma }(-1{)}^{\sigma }T(u_{\sigma (1)},u_{\sigma (2)},\dots ,u_{\sigma (r)}).$$

定理 8.1 对类型为 (0, $r$) 的张量 $T$ 和类型为 (0, $s$) 的 $S$ 有自然的对应结论