15.3 切空间、余切空间与张量空间

English

切向量

设 $x^i=x^i(t)$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中经过点 ${\mathbf{x}}_0=\mathbf{x}(t_0)$ 的一条曲线。在初等数学中，通常将曲线在 ${\mathbf{X}}_0$ 处的“切线”或“速度”定义为 $n$ 维向量 $\mathbf{v}=(\dot{\mathbf{x}})=\left({\dot{x}}^1,{\dot{x}}^2,\dots ,{\dot{x}}^n\right)$，其中 ${\dot{x}}^i=(\mathrm{d}{x}^i/\mathrm{d}t{)}_{t=t_0}$。在 $n$ 维流形中，用其分量来定义切线并不令人满意，因为允许一般的坐标变换。例如，通过 ${\mathbb{R}}^n$ 中坐标轴的旋转，可以使切向量具有分量 $\mathbf{v}=(v,0,0,\dots ,0)$。一种与坐标无关的、或不变的方法，围绕可微函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 沿曲线在 ${\mathbf{X}}_0$ 处的方向导数这一概念展开。

$$Xf=\frac{\mathrm{d}f(\mathbf{x}(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}=\frac{\mathrm{d}{x}^i(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x^i}{|}_{\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0},$$

其中$X$是线性微分算符

$$X={\frac{\mathrm{d}{x}^i(t)}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0}{\frac{\partial }{\partial x^i}|}_{\mathbf{x}={\mathbf{x}}_0}.$$

算符 $X$ 作用于函数 $f$ 时的值，仅依赖于该函数在 ${\mathbf{X}}_0$ 沿所论曲线的邻域内所取的值，而与为空间 ${\mathbb{R}}^n$ 所选用的坐标无关。然而，上述展开表明，切向量在 ${\mathbb{R}}^n$ 上任意坐标中的分量，可由方向导数算符按坐标偏导数展开的系数中提取出来。

方向导数算符 $X$ 是可微函数代数上的实值映射，该代数定义在 ${\mathbf{X}}_0$ 处。对于映射 $X:{\mathcal{F}}_{{\mathbf{x}}_0}({\mathbb{R}}^n)\mathbb{R}:$，有两条重要性质成立

(i) 它在向量空间 ${\mathcal{F}}_{{\mathbf{x}}_0}({\mathbb{R}}^n)$ 上是线性的；也就是说，对于任意一对函数 $f,g$ 和实数 $a,b$，我们有 $X(af+bg)=aXf+bXg$

(ii) $X$ 在代数 ${\mathcal{F}}_{{\mathbf{x}}_0}({\mathbb{R}}^n)$ 中任意函数乘积 $fg$ 上的作用由莱布尼茨法则 $X(fg)=f({\mathbf{x}}_0)Xg+g({\mathbf{x}}_0)Xf$ 确定

这两条性质完全刻画了方向导数算符类（见定理15.1），并将用于启发一般流形上一点处切向量的定义。

可微流形 $M$ 上任意一点 $p$ 处的 切向量(tangent vector) $X_p$ 是从 $p$ 处可微函数的代数到实数集的线性映射 $X_p:{\mathcal{F}}_p(M)\to \mathbb{R}$，且满足乘积的莱布尼茨法则：

$$X_p(af+bg)=a{X}_{p}f+b{X}_{p}g(\text{ linearity }),\text{\hspace{1em}(15.3)}$$

$$X_p(fg)=f(p)X_{p}g+g(p)X_{p}f(\text{ Leibnitz rule }).\text{\hspace{1em}(15.4)}$$

点 $p$ 处的切向量集合构成向量空间 $T_p(M)$，因为点 $p,$ 处切向量的任意线性组合 $a{X}_p+b{Y}_p$，由下式定义

$$(a{X}_p+b{Y}_p)f=a{X}_{p}f+b{Y}_{p}f,$$

是 $p$ 处的一个切向量，因为它满足式 (15.3) 和式 (15.4)。它称为 $p.$ 处的 切空间(tangent space)。若 $(U,\varphi )$ 是 $p$ 处的任一图卡，其坐标函数为 $x^i$，则定义算符

$${\left({\partial }_{x^i}\right)}_p\equiv \frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p:{\mathcal{F}}_p(M)\to \mathbb{R}$$

由

$${\left({\partial }_{x^i}\right)}_{p}f\equiv \frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{p}f=\frac{\partial \hat{f}(x^1,\dots ,x^n)}{\partial x^i}{|}_{\mathbf{x}=\varphi (p)},\text{\hspace{1em}(15.5)}$$

其中 $\hat{f}=f\circ {\varphi }^{-1}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 。这些算符显然是切向量，因为它们满足式 (15.3) 和式 (15.4) 。因此任意线性组合

$$X_p=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p\equiv \sum _{i=1}^n{X}^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p\text{ where }{X}^i\in \mathbb{R}$$

是一个切向量。系数 $X^j$ 可由 $X$ 对坐标函数 $x^j$ 本身的作用计算得到：

$$X_p{x}^j=X^i\frac{\partial x^j}{\partial x^i}{|}_{\mathbf{x}=\varphi (p)}=X^i{\delta }_i^j=X^j.$$

定理 15.1 · 切空间的坐标基 (A coordinate basis of the tangent space)

$H(U,\varphi ;x^i)$ 是 $p\in M,$ 处的一个图，则由式 (15.5) 定义的算符 ${\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$ 构成切空间 $T_p(M)$ 的一个基，其维数为 $n=\dim \mathcal{M}$

证明

设 $X_p$ 为给定固定点 $p.$ 处的切向量。首先，由莱布尼茨法则式 (15.4) 可知，$X_p$ 作用于单位常函数 $f=1$ 时结果恒为零，$X_{p}1=0$，对于

$$X_{p}1=X_p(1.1)=1.X_{p}1+1.X_{p}1=2X_{p}1.$$

由线性性，$X_p$ 作用于任意常值函数 $f=c$ 的结果为零，$Xc=X(c.1)=cX1=0$

设 $p$ 的坐标为 $\varphi (p)=\mathbf{a}=(a^1,a^2,...,a^n)$ ，并令 $\mathbf{y}=\varphi (q)$ 为邻域球 $B_r(\mathbf{a})\subseteq \varphi (U)$ 中的任意一点。函数 $\hat{f}=f\circ {\varphi }^{-1}$ 可写为

$$\begin{array}{l}\hat{f}(y^1,y^2,\dots ,y^n)=\hat{f}(y^1,y^2,\dots ,y^n)-\hat{f}(y^1,\dots ,y^{n-1},a^n)\\ +\hat{f}(y^1,\dots ,y^{n-1},a^n)-\hat{f}(y^1,\dots ,y^{n-2},a^{n-1},a^n)+\dots \\ +\hat{f}(y^1,a^2,\dots ,a^n)-\hat{f}(a^1,a^2,\dots ,a^n)+\hat{f}(a^1,a^2,\dots ,a^n)\\ =\hat{f}(a^1,a^2,\dots ,a^n)\\ +{\sum }_{i=1}^n{\int }_0^1\frac{\partial \hat{f}(y^1,\dots ,y^{i-1},a^i+t(y^i-a^i),a^{i+1},\dots ,a^n)}{\partial t}dt\\ =\hat{f}(\mathbf{a})+{\sum }_{i=1}^n{\int }_0^1\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}(y^1,\dots ,y^{i-1},a^i+t(y^i-a^i),a^{i+1},\dots ,a^n)\\ \times dt(y^i-a^i).\end{array}$$

因此，在$\mathbf{a}=\varphi (vp)$的邻域内，任何函数$\hat{f}$都可以写成以下形式

$$\hat{f}(\mathbf{y})=\hat{f}(\mathbf{a})+{\hat{f}}_i(\mathbf{y})(y^i-a^i)\text{\hspace{1em}(15.6)}$$

其中函数 ${\hat{f}}_i(y^1,y^2,\dots ,y^n)$ 在 $a$ 处可微。因此，在 $p_{:}$ 的一个邻域内，

$$f(q)=\hat{f}\circ \varphi =f(p)+f_i(q)(x^i(q)-a^i)$$

其中 $f_i={\hat{f}}_i\circ \varphi \in {\mathcal{F}}_p(M)$。利用 $X_p$ 的线性性质和莱布尼茨性质

$$X_{p}f=X_{p}f(p)+X_p{f}_i\left(x^i(p)-a^i\right)+f_i(p)\left(X_p{x}^i-X_p{a}^i\right)=f_i(p)X_p{x}^i$$

由于对任意常数 $c,$ 都有 $X_{p}c=0$，且 $x^i(p)=a^i$。此外，

$$f_i(p)=\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}\left(a^1,\dots ,a^n\right){\int }_0^{1}dt={\frac{\partial }{\partial x^i}|}_{p}f,$$

而切向量${\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$张成切空间$T_p(M)$，

$$X_p=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p=X^i{\left({\partial }_{x^i}\right)}_p\text{ where }{X}^i=X_p{x}^i.\text{\hspace{1em}(15.7)}$$

为表明它们构成一个基，我们需要线性无关性。假设

$$A^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p=0,$$

那么对坐标函数 $f=x^j$ 的作用给出

$$0=A^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p{x}^j=A^i\frac{\partial x^j}{\partial x^i}{|}_{\mathbf{a}}=A^i{\delta }_i^j=A^j$$

按要求。

该证明表明，对于每个切向量 $X_p,$ ，由式 (15.7) 给出的分解是唯一的。系数 $X^i=X_p{x}^i$ 称为切向量 $X_p$ 在图表 $(U;x^i)$ 中的分量。

这个切向量的定义与先前在 ${\mathbb{R}}^{n_{\cdot }}$ 中关于曲线给出的定义有何关系？设 $\gamma :(a,b)M$ 是一条光滑参数曲线，在 $t=t_0$ 时经过点 $p\in M$。将曲线在 $p$ 处的切向量定义为算符 ${\dot{\gamma }}_p$，其由在 $p,$ 处对任意可微函数 $f$ 的作用所定义

$${\dot{\gamma }}_{p}f=\frac{\mathrm{d}f\circ \gamma (t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}.$$

容易验证，${\dot{\gamma }}_p$ 是 $p_{:}$ 处的一个切向量，因为它满足式 (15.3) 和式 (15.4)。在 $p_{:}$ 处具有坐标函数 $x^i$ 的图中，设该曲线的坐标表示为 $\hat{\gamma }=\varphi \circ \gamma =\left({\gamma }^1(t),\dots ,{\gamma }^n(t)\right)$。那么

$${\dot{\gamma }}_{p}f=\frac{\mathrm{d}\hat{f}\circ \hat{\gamma }(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}=\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}\frac{\mathrm{d}{\gamma }^i(t)}{\mathrm{d}t}{|}_{t=t_0}$$

和

$${\dot{\gamma }}_p={\dot{\gamma }}^i(t_0)\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p\text{ where }{\dot{\gamma }}^i(t)=\frac{\mathrm{d}{\gamma }^i(t)}{\mathrm{d}t}.$$

在 $M={\mathbb{R}}^n$ 的情形下，算符 ${\dot{\gamma }}_p$ 正是曲线的方向导数。

同样成立的是，每个切向量都与某条曲线相切。例如，基向量${\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$在$p={\varphi }^{-1}(\mathbf{a})$处与“坐标线”相切，

$${\gamma }^i:t\mapsto {\varphi }^{-1}((a^1,a^2,\dots ,x^i=a^i+t-t_0,\dots ,a^n)).$$

在 $p$ 处的一个任意切向量 $X_p=X^i{\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$ 与该曲线相切

$$\gamma :t\mapsto {\varphi }^{-1}((a^1+X^1(t-t_0),\dots ,x^i=a^i+X^i(t-t_0),\dots ,a^n+X^n(t-t_0))).$$

例 15.7

${\mathbb{R}}^2$ 上分别由下式给出的曲线 $\alpha ,\beta$ 与 $\gamma$

$$\begin{array}{ll}{\alpha }^1(t)=1+\sin t\cos t& {\alpha }^2(t)=1+3t\cos 2t,\\ {\beta }^1(t)=1+t& {\beta }^2(t)=1+3t{\mathrm{e}}^{3t},\\ {\gamma }^1(t)={\mathrm{e}}^t& {\gamma }^2(t)={\mathrm{e}}^{3t},\end{array}$$

所有曲线均经过点$p=(1,1)$，在$t=0$处彼此相切，

$${\dot{\alpha }}_p={\dot{\beta }}_p={\dot{\gamma }}_p={\left({\partial }_{x^1}\right)}_p+3{\left({\partial }_{x^2}\right)}_p.$$

余切空间与张量空间

与 $p\in M$ 处的切空间相关联的对偶空间 $T_p^{\ast }(M)$ 称为 $p.$ 处的 余切空间(cotangent space)。它由 $T_p(M)$ 上的所有线性泛函组成，也称为 $p.$ 处的余向量或 1-形式。$p$ 处的余向量 ${\omega }_p$ 对切向量 $X_p$ 的作用将记为 ${\omega }_p(X_p)⟨{\omega }_p,X_p⟩$ 或 $⟨X_p,{\omega }_p⟩$。由第 3.7 节可知，$\dim$ $T_p^{\ast }(M)=n=\dim T_p(M)=$ $\dim$ $M$。

若 $f$ 是在 $p_{:}$ 处可微的任意函数，则定义其在 $p$ 处的微分为余向量 $(\mathrm{d}f{)}_p$，该余向量对 $p$ 处任意切向量 $X_p$ 的作用由下式给出

$$⟨(\mathrm{d}f{)}_p,X_p⟩=X_{p}f.\text{\hspace{1em}(15.8)}$$

这是一个线性泛函，因为对于任意切向量$X_p,Y_p$和标量$a,b\in \mathbb{R}$

$$⟨(\mathrm{d}f{)}_p,a{X}_p+b{Y}_p⟩=(a{X}_p+b{Y}_p)f=a{X}_{p}f+b{Y}_{p}f=a⟨(\mathrm{d}f{)}_p,X_p⟩+b⟨(\mathrm{d}f{)}_p,Y_p⟩.$$

给定一个图卡 $(U,\varphi ;x^i)$ 在 $p,$ 处，坐标函数的微分具有性质

$$⟨(\mathrm{d}{x}^i{)}_p,X_p⟩=X_p{x}^i=X^i$$

其中 $X^i$ 是切向量的分量，$X_p=X^i{\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$ 。将 $(\mathrm{d}{x}^i{)}_p$ 作用于基切向量，我们有

$$⟨(\mathrm{d}{x}^i{)}_p,{\left({\partial }_{x^j}\right)}_p⟩=\frac{\partial }{\partial x^j}{|}_p{x}^i=\frac{\partial x^i}{\partial x^j}{|}_{\varphi (p)}={\delta }_j^i.$$

因此，线性泛函 $(\mathrm{d}{x}^1{)}_p,(\mathrm{d}{x}^2{)}_p,\dots ,(\mathrm{d}{x}^n{)}_p$ 构成对偶基，张成余切空间，并且 $p$ 处的每个余向量都有唯一展开

$${\omega }_p=w_i(\mathrm{d}{x}^i{)}_p\text{ where }{w}_i=⟨{\omega }_p,{\left({\partial }_{x^i}\right)}_p⟩.$$

$w_i$ 称为线性泛函 ${\omega }_p$ 在图表 $(U;x^i)$ 中的分量。

任何函数在$p$处的微分都有坐标展开

$$(\mathrm{d}f{)}_p=f_i(\mathrm{d}{x}^i{)}_p$$

其中

$$f_i=⟨(\mathrm{d}f{)}_p,{\left({\partial }_{x^i}\right)}_p⟩=\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{p}f=\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}.$$

一种常见的写法是“链式法则

$$(\mathrm{d}f{)}_p=f_{,i}(p)(\mathrm{d}{x}^i{)}_p\text{\hspace{1em}(15.9)}$$

其中

$$f_{,i}=\frac{\partial \hat{f}}{\partial x^i}\circ \varphi .$$

这些分量通常被称为函数在 $p.$ 处的梯度。微分作为“任意小”的非零量，在微积分中从未获得一个恰当的位置。将微分视为线性泛函的概念避免了这些问题，同时又具有多变量微积分链式法则等所有所需性质。

如同第7章，在$p$处的$(r,s)$型张量是一个多重线性泛函

$$A_p:\underset{r}{\underbrace{T_p^{\ast }(M)\times T_p^{\ast }(M)\times \cdots \times T_p^{\ast }(M)}}\underset{s}{\underbrace{\times T_p(M)\times \cdots \times T_p(M)}}\to \mathbb{R},$$

我们用$T_p^{(r,s)}(M)$表示在$p$处类型为$(r,s)$的张量空间。它是一个维数为$n^{r+s}$的向量空间

向量场与张量场

一个 向量场(vector field) $X$ 是在每一点 $p\in M$ 处指定一个切向量 $X_p$ 的对应关系。换言之，$X$ 是从 $M$ 到集合 ${\bigcup }_{p\in M}{T}_p(M)$ 的映射，其性质是每一点的像 $X(p)$ 都属于 $p$ 处的切空间 $T_p(M)$。因此我们可以用 $X_p$ 代替 $X(p)$。若对每个可微函数 $f\in \mathcal{F}(M)$，由下式定义的函数 $Xf$

$$(Xf)(p)=X_{p}f$$

是可微的，$Xf\in \mathcal{F}(M)$。$M$ 上所有可微向量场的集合记作 $\tau (M)$

随文练习

证明 $\mathcal{T}(M)$ 构成函数环 $\mathcal{F}(M)!$ 上的一个模：若 $X$ 与 $Y$ 是向量场，且 $f\in \mathcal{F}(M)$，则 $X+fY$ 是向量场。

每个光滑向量场定义一个映射 $X:\mathcal{F}(M)\mathcal{F}(M)$，它是线性的

$$X(af+bg)=aXf+bXg\text{ for all }f,g\in \mathcal{F}(M)\text{ and all }a,b\in \mathbb{R},$$

并且满足乘积的莱布尼茨法则

$$F(fg)=fXg+gXf.$$

反之，任何具有这些性质的映射 $X$ 都定义了一个光滑向量场，因为对每个点 $p$，由 $X_{p}f=(Xf)(p)$ 定义的映射 $X_p:{\mathcal{F}}_p(M)\to {\mathcal{F}}_p(M)$ 满足式 (15.3) 和式 (15.4)，因此是 $p$ 处的切向量。

我们也可以在任何开集 $U$ 上以类似方式定义向量场，即在 $U$ 的每一点指定一个切向量，使得对所有 $f\in \mathcal{F}(U)$ 都有 $Xf\in \mathcal{F}(U)$。所谓在 $p$ 处的向量场局部基，我们将指 $p$ 的一个开邻域 $U$ 以及 $U$ 上的一组向量场 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$，使得切向量 $(e_i{)}_q$ 在每一点 $q\in U$ 处张成切空间 $T_q(M)$。对任何图卡 $(U,\varphi ;x^i)$，在定义域 $U$ 上定义向量场

$${\partial }_{x^i}\equiv \frac{\partial }{\partial x^i}:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(U)$$

由

$${\partial }_{x^i}f=\frac{\partial }{\partial x^i}f=\frac{\partial f\circ {\varphi }^{-1}}{\partial x^i}.$$

这些向量场在每一点 $p\in U$ 处赋予基切向量 ${\left({\partial }_{x^i}\right)}_p$，并在 $U$ 的任意点处构成向量场的局部基。当限制在坐标定义域 $U_{:}$ 上时，$M$ 上的每个可微向量场 $X$ 都可按这些向量场唯一展开

$$X{|}_U=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}=X^i{\partial }_{x^i}$$

其中分量 $X^i:U\in \mathbb{R}$ 是 $U.$ 上的可微函数。局部向量场 ${\partial }_{x^i}$ 构成 $U$ 上的一个模基，但它们不是向量空间基，因为作为向量空间，$\mathcal{T}(U)$ 是所有点 $p\in U$ 处切空间的直和，并且是无限维的。

类似地，我们定义 余向量场(covector field) 或可微 1-形式 $\omega$ 为在每一点 $p\in M$ 处指定一个余向量 ${\omega }_p$，使得由 $⟨\omega ,X⟩(\mathbf{p})=⟨{\omega }_p,X_p⟩$ 定义的函数 $⟨\omega ,X⟩$ 对每个光滑向量场 $X$ 都可微。可微 1-形式的空间将记为 ${\mathcal{T}}^{\ast }(M)$。给定任意光滑函数 $f,$，令 $\mathrm{d}f$ 为通过在每个点 $p,$ 处指定微分 $d$ $f_p$ 所定义的可微 1-形式，从而

$$⟨\mathrm{d}f,X⟩=Xf\text{ for all }X\in \mathcal{T}(M).$$

我们简单地将此余向量场称为 $f$ 的微分。任意图 $(U,\varphi ;x^i)$ 上的局部模基由 1-形式 $\mathrm{d}{x}^i$ 组成，它们具有性质

$$⟨\mathrm{d}{x}^i,{\partial }_{x^j}⟩=\frac{\partial x^i}{\partial x^j}={\delta }_j^i.$$

每个微分都可以通过链式法则在局部展开，

$$\mathrm{d}f=f_{,i}\mathrm{d}{x}^i\text{ where }{f}_{,i}=\frac{\partial }{\partial x^i}f.\text{\hspace{1em}(15.10)}$$

张量场以类似方式定义，其中类型为 $(r,s)$ 的可微 张量场(tensor field) $A$ 在任意坐标卡中都有局部展开

$$A=A_{j_1\dots j_s}^{i_1{i}_2\dots i_r}\frac{\partial }{\partial x^{i_1}}\otimes \frac{\partial }{\partial x^{i_2}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial }{\partial x^{i_r}}\otimes d{x}^{j_1}\otimes \cdots \otimes d{x}^{j_s}.\text{\hspace{1em}(15.11)}$$

各分量是定义在坐标定义域 $U$ 上的可微函数，由下式给出

$$A_{j_1\dots j_s}^{i_1{i}_2\dots i_r}=A\left(\mathrm{d}{x}^{i_1},\mathrm{d}{x}^{i_2},\dots ,\mathrm{d}{x}^{i_r},\frac{\partial }{\partial x^{j_1}},\dots ,\frac{\partial }{\partial x^{j_s}}\right).$$

坐标变换

设 $(U,\varphi ;x^i)$ 与 $(U^{\prime },{\varphi }^{\prime };x^{\prime j})$ 为任意两个坐标卡。由偏微分的链式法则

$$\frac{\partial }{\partial x^{\prime j}}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime j}}\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^i}=\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x^{\prime j}}.\text{\hspace{1em}(15.12)}$$

随文练习

通过将两边作用于 $M$ 上的任意可微函数 $f$ 来证明这些方程。

将变换式（15.12）代入切向量关于这两个基中任一基的表达式

$$X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}=X^{\prime j}\frac{\partial }{\partial x^{\prime j}}$$

给出分量的逆变变换律

$$X^{\prime j}=X^i\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}.\text{\hspace{1em}(15.13)}$$

链式法则式 (15.10)，用坐标 $x^{\prime j}$ 写出并令 $f=x^i$，给出

$$\mathrm{d}{x}^i=\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime j}}\mathrm{d}{x}^{\prime j}.$$

将可微1-形式$\omega$在两种坐标基下表示，

$$\omega =w_i\mathrm{d}{x}^i=w_j^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime j},$$

我们得到分量的协变变换律

$$w_j^{\prime }=\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime j}}{w}_i.\text{\hspace{1em}(15.14)}$$

分量变换律式 (15.13) 和式 (15.14) 可以与第 3 章中关于设定的类似公式等同起来

$$A_i^j=\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i},A_k^{\prime i}=\frac{\partial x^i}{\partial x^{\prime k}}.$$

一般类型为($r$, $s$)的张量的变换律由式(7.30)得出：

$$T_{j_1^{\prime }\dots j_s^{\prime }}^{\prime i_1^{\prime }\dots i_r^{\prime }}=T_{j_1\dots j_s}^{i_1\dots i_r}\frac{\partial x^{\prime i_1^{\prime }}}{\partial x^{i_1}}\dots \frac{\partial x^{\prime i_r^{\prime }}}{\partial x^{i_r}}\frac{\partial x^{j_1}}{\partial x^{\prime j_1^{\prime }}}\dots \frac{\partial x^{j_s}}{\partial x^{\prime j_s^{\prime }}}.\text{\hspace{1em}(15.15)}$$

张量丛

流形 $M$ 上的 切丛(tangent bundle) $TM$ 由所有点处所有切空间的集合论并集组成

$$TM=\bigcup _{p\in M}{T}_p(M).$$

存在一个自然的投影映射 $\pi :TMM$，由 $\pi (u)=p\mathrm{if}u\in T_p(M)$ 定义；并且对于 $M$ 上的每个图卡 $(U,\varphi ;x^i)$，我们可以在 $TM$ 上定义一个图卡 $({\pi }^{-1}(U),\tilde{\varphi })$，其中坐标映射 $\tilde{\varphi }:{\pi }^{-1}(U)\to {\mathbb{R}}^{2n}$ 由下式定义

$$\tilde{\varphi }(v)=\left(x^1(p),\dots ,x^n(p),v^1,\dots ,v^n\right)$$ $$\text{ where }p=\pi (v)\text{ and }v=\sum _{i=1}^n{v}^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_p.$$

$TM$ 上的拓扑取为使得当 $A$ 是 ${\mathbb{R}}^{2n}$ 的开子集时，所有集合 ${\tilde{\varphi }}^{-1}(A)$ 均为开集的最粗拓扑。在此拓扑下，这些图卡在切丛 $TM$ 上生成一个极大图册，使其成为维数为 $2n$ 的可微流形。

给定一个开子集 $U\subseteq M,$ ，若 $\pi \circ X=\mathrm{id}{|}_U$ ，则光滑映射 $X:U\to TM$ 称为 $U$ 上的光滑向量场。这与我们早先的概念一致，因为它恰好将切空间 $T_p(M)$ 中的一个切向量指派给点 $p\in U.\mathrm{A}$ 。类似的想法可用于沿参数曲线 $\gamma :(a,b)M$ 的光滑向量场，其定义为将 $\gamma$ 提升到切丛的光滑曲线 $X:(a,b)TM$ ，即满足 $\pi \circ X=\gamma$ 。本质上，这在曲线的每一点以可微的方式定义了一个切向量，该向量未必与曲线相切。

余切丛 余切丛(cotangent bundle) $T^{\ast }M$ 以类似方式定义，即所有余切空间 $T_p^{\ast }(M)$ 在所有点 $p\in M$ 处的并集。生成坐标卡具有形式 $({\pi }^{-1}(U),\tilde{\varphi })$，在

$T^{\ast }M$，其中坐标映射 $\tilde{\varphi }:{\pi }^{-1}(U)\to {\mathbb{R}}^{2n}$ 由下式定义

$$\tilde{\varphi }({\omega }_p)=\left(x^1(p),\dots ,x^n(p),w_1,\dots ,w_n\right)$$ $$\text{ where }p=\pi (\omega )\text{ and }\omega =\sum _{i=1}^n{w}_i(\mathrm{d}{x}^i{)}_p,$$

将 $T^{\ast }M$ 构成一个维数为 $2n$ 的可微流形。这一过程可以推广，以产生类型为 $T^{(r,s)}{M}_{;}$ 的张量丛，即一个维数为 ${}^{n+}{n}^{r+s}$ 的可微流形

习题

习题 15.7

设 $\gamma :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ 为曲线 $x=2t+1,y=t^2-3t$。证明在任意参数值 $t$ 处，曲线的切向量为 $X_{\gamma (t)}=\dot{\gamma }=2{\partial }_x+(2t-3){\partial }_y=2{\partial }_x+(x-4){\partial }_y$。$I$ $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 是函数 $f=x^2-y^2$，沿曲线将 $f$ 写成 $t$ 的函数，并验证这些恒等式

$$X_{\gamma (t)}f=\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}=⟨(\mathrm{d}f{)}_{\gamma (t)},X_{\gamma (t)}⟩=C_1^1(\mathrm{d}f{)}_{\gamma (t)}\otimes X_{\gamma (t)}.$$

习题 15.8

设 $x^1=x,x^2=y,x^3=z$ 为 ${\mathbb{R}}^3$ 中的普通直角笛卡尔坐标，并设 $x^{\prime 1}=r,x^{\prime 2}=\theta ,x^{\prime 3}=\varphi$ 为到极坐标的通常变换。

(a) 计算雅可比矩阵 $[\partial x^i/\partial x^{\prime }{}^j]$ 和 $[\partial x^{\prime i}/\partial x^j]$

(b) 在极坐标中，求出在直角坐标中分量为 (i) (0, 0, 1)、(ii) (1, 0, 0)、(iii) ($x$, $y$, $z$) 的协变向量场的分量。

(c) 在极坐标中，其直角坐标分量为 $(\mathrm{i})\left(x,y,z\right)$、(ii) (0, 0, 1)、(iii) $(-y,x,0)$ 的逆变向量场的分量分别是什么？

(d) $\mathrm{If}{g}_{ij}$ 是协变张量场，其在直角坐标中的分量为 ${\delta }_{ij}$，它在极坐标中的分量 $g_{ij}^{\prime }$ 是什么？

习题 15.9

证明该曲线

$$2x^2+2y^2+2xy=1$$

可以通过坐标轴的旋转将其转换为椭圆的标准形式

$$x^{\prime 2}+3y^{\prime 2}=1.$$

$\begin{array}{r}\mathrm{If}{x}^{\prime }=\cos \psi ,y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}$ $\sin$ $\psi$ 被用作该曲线的参数化，证明

$$x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \psi +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \psi \right),y=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\cos \psi +\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \psi \right).$$

计算切向量的分量

$$X=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\psi }{\partial }_x+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\psi }{\partial }_y.$$

证明 $X(f)=(2/\sqrt{3})(x^2-y^2)$

习题 15.10

证明：乘积流形 $M\times N$ 的任意一点 $(p,q)$ 处的切空间 $T_{(p,q)}(M\times N)$ 自然同构于切空间的直和 $T_p(M)\oplus T_q(N)$ 。

习题 15.11

在单位二维球面上，用极坐标基 ${\partial }_{\theta }$ 和 ${\partial }_{\varphi }$ 表示向量场 ${\partial }_x$ 和 ${\partial }_y$。同样在极坐标下，这些向量场的对偶形式是什么？

习题 15.12

在单位2-球面上，用球极坐标$X$和$Y$表示极坐标$(\theta ,\varphi )$中的向量场${\partial }_{\varphi }$。