15.4 切映射与子流形

English

一个映射的切映射与拉回

设 $\alpha :M\to N$ 是流形 $M$ 与 $N_z$ 之间的可微映射，其中 $\dim$ $M=m$ $\dim$ $N=n$ 。这诱导出一个映射 ${\alpha }_{\ast }:T_p(M)\to T_{\alpha (p)}(N)$ ，称为 ${\alpha }_{:}$ 的 切映射(tangent map) ，由此切向量 $Y_{\alpha (p)}={\alpha }_{\ast }{X}_p$ 定义为

$$Y_{\alpha (p)}f=({\alpha }_{\ast }{X}_p)f=X_p(f\circ \alpha )$$

对任意函数 $f\in {\mathcal{F}}_{\alpha (p)}(N)$，此映射常称为映射 ${\alpha }_{:}$ 的微分，但这可能与我们先前对该术语的使用产生混淆。

设 $(U,\varphi ;x^i)$ 与 $(V,\psi ;y^a)$ 分别为 $p$ 与 $\alpha (p)$ 处的图卡。映射 $\alpha$ 具有坐标表示 $\hat{\alpha }=\psi \circ \alpha \circ {\varphi }^{-1}:\varphi (U)\psi (V)$，记作

$$y^a={\alpha }^a(x^1,x^2,\dots ,x^m)(a=1,\dots ,n).$$

为计算 $Y_{\alpha (p)}={\alpha }_{\ast }{X}_p=Y^a{\left({\partial }_{y^a}\right)}_{\alpha (p)}:$ 的分量 $Y^a$，我们执行以下步骤：

$$\begin{array}{l}{Y}_{\alpha (p)}f=Y^a\frac{\partial f\circ {\psi }^{-1}}{\partial y^a}{|}_{\alpha (p)}=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}{|}_{p}f\circ \alpha \\ =X^i\frac{\partial f\circ \alpha \circ {\varphi }^{-1}}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}\\ =X^i\frac{\partial f\circ {\psi }^{-1}\circ \hat{\alpha }}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}\\ =X^i\frac{\partial f\circ {\psi }^{-1}({\alpha }^1(\mathbf{x}),{\alpha }^2(\mathbf{x}),\dots ,{\alpha }^n(\mathbf{x}))}{\partial x^i}{|}_{\mathbf{x}=\varphi (p)}\\ =X^i\frac{\partial y^a}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}\frac{\partial f\circ {\psi }^{-1}}{\partial y^a}{|}_{\hat{\alpha }(\varphi (p))}\\ =X^i\frac{\partial y^a}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}\frac{\partial }{\partial y^a}{|}_{\alpha (p)}f.\end{array}$$

因此

$$Y^a=X^i\frac{\partial y^a}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}.\text{\hspace{1em}(15.16)}$$

随文练习

若 $\alpha :M\to N$ 与 $\beta :K\to M$ 是流形之间的可微映射，证明

$$(\alpha \circ \beta {)}_{\ast }={\alpha }_{\ast }\circ {\beta }_{\ast }.\text{\hspace{1em}(15.17)}$$

映射 $\alpha :M\to N$ 也在余切空间之间诱导出一个映射 ${\alpha }^{\ast }$，但在此情形下它沿相反方向作用，称为由 ${\alpha }_{;}$ 诱导的 拉回(pullback)

$${\alpha }^{\ast }:T_{\alpha (p)}^{\ast }(N)\to T_p^{\ast }(M).$$

1-形式${\omega }_{\alpha (p)}$的拉回由以下要求定义

$$⟨{\alpha }^{\ast }{\omega }_{\alpha (p)},X_p⟩=⟨{\omega }_{\alpha (p)},{\alpha }_{\ast }{X}_p⟩\text{\hspace{1em}(15.18)}$$

对于任意切向量 $X_p$

随文练习

证明该定义唯一地确定了拉回 ${\alpha }^{\ast }{\omega }_{\alpha (p)}$

随文练习

证明映射复合的泛函的拉回由下式给出

$$(\alpha \circ \beta {)}^{\ast }={\beta }^{\ast }\circ {\alpha }^{\ast }.\text{\hspace{1em}(15.19)}$$

切映射或映射的拉回的概念可以推广到全反变或全协变张量，例如 $r$-向量或 $r$-形式，但对于混合张量，只有当映射是微分同胚时才可用（见习题 15.13）。切映射一般不能应用于向量场，因为如果它不是一一的，切向量在像点 $\alpha (p)$ 处可能不是唯一确定的（见下文例 15.8）。然而，拉回 ${\alpha }^{\ast }\omega$ 的值在逆像点 ${}^{p,}$ 处绝不会出现这种歧义，即使 $\omega$ 是余向量场，因为它对每个切向量 $X_p$ 的作用由式 (15.18) 良定义。因此拉回可以应用于任意可微 1-形式；映射 $\alpha$ 既不必是单射也不必是满射。这正是使余向量场成为比向量场更令人满意的几何对象来处理的特征之一。下面的例子应当能说明这一点。

例 15.8

设 $\alpha :{\dot{\mathbb{R}}}^3={\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}{\mathbb{R}}^2$ 为可微映射

$$\alpha :(x,y,z)\mapsto (u,v)\text{ where }u=x+y+z,v=\sqrt{x^2+z^2}.$$

该映射既不是满射，因为整个下半平面 $v<0$ 未被映到，也不是单射，因为例如点 $\mathbf{p}=(1,y,0)$ 和 $\mathbf{q}=(0,y,1)$ 都被映到点 $(y+1,1)$ 。考虑一个向量场

$$X=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}=X^1\frac{\partial }{\partial x}+X^2\frac{\partial }{\partial y}+X^3\frac{\partial }{\partial z}$$

而切映射 ${\alpha }_{\ast }$ 在任意点 $(x,y,z)$ 处的作用是

$${\alpha }_{\ast }X=\left(X^1+X^2+X^3\right)\frac{\partial }{\partial u}+\left(X^1\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}}+X^3\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}\right)\frac{\partial }{\partial v}.$$

虽然该映射在任意点 $\mathbf{x}=(x,y,z)$ 处的切空间上有良好定义，但它一般不能将向量场 $X$ 映射为 ${\mathbb{R}}^2$ 上的向量场。例如，在 $\mathbf{u}=\alpha (\mathbf{p})=\alpha (\mathbf{q})$ 处无法指定切向量，因为我们需要

$$\left(X^1+X^2+X^3\right)(\mathbf{p})\frac{\partial }{\partial u}{|}_{\mathbf{u}}+X^1(\mathbf{p})\frac{\partial }{\partial v}{|}_{\mathbf{u}}=\left(X^1+X^2+X^3\right)(\mathbf{q})\frac{\partial }{\partial u}{|}_{\mathbf{u}}+X^3(\mathbf{q})\frac{\partial }{\partial v}{|}_{\mathbf{u}}.$$

没有理由期望 $u$ 处的这两个切向量相同。

然而，$\mathrm{f}\omega =w_1\mathrm{d}u+w_2$ $\mathrm{d}v$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的可微 1-形式，在代入 $\mathrm{d}u$ $=(\partial u/\partial x)\mathrm{d}x+(\partial u/\partial y)\mathrm{d}y+(\partial u/\partial z)$ $\mathrm{d}z$ 等之后，它诱导出 ${\dot{\mathbb{R}}}^3$ 上的可微 1-形式。

$${\alpha }^{\ast }\omega =\left(w_1+w_2\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}}\right)dx+w_{1}dy+\left(w_1+w_2\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}\right)dz,$$

它在任意点 $(x,y,z)\ne (0,0,0)$ 处由可微 1-形式在 $(u,v)=\alpha (x,y,z)$ 处的分量 $w_1(u,v)$ 和 $w_2(u,v)$ 唯一确定

例 15.9

若 $\gamma :\mathbb{R}M$ 是 $M$ 上的一条曲线，且 $p=\gamma (t_0)$，则该曲线在 $p$ 处的切向量是 $\gamma$ 诱导的切映射对实数轴上普通导数的像，

$${\dot{\gamma }}_p={\gamma }_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_{t_0},$$

因为如果 $f:M\to \mathbb{R}$ 是在 $p$ 处可微的任意函数，那么

$${\gamma }_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{|}_{t_0}(f)={\frac{\mathrm{d}f\circ \gamma }{\mathrm{d}t}|}_{t_0}={\dot{\gamma }}_p(f).$$

所谓带端点的曲线，我们指的是参数曲线 $\gamma :(a,b)\to M$ 到闭子区间 $\gamma :[t_1,t_2]M$ 的限制，其中 $a<t_1<t_2<b$。1-形式 $\alpha$ 在带端点 $\gamma$ 的曲线上的积分定义为

$${\int }_{\gamma }\alpha ={\int }_{t_1}^{t_2}\alpha (\dot{\gamma })\mathrm{d}t.$$

在坐标表示 $x^i={\gamma }^i(t)$ 和 $\alpha ={\alpha }_i\mathrm{d}{x}^i$ 中，

$${\int }_{\gamma }\alpha ={\int }_{t_1}^{t_2}{\alpha }_i(x(t))\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t.$$

设 ${\gamma }^{\prime }=\gamma \circ f$ 为与 $\gamma$ 通过参数变换 $t^{\prime }=f(t)$ 相关联的曲线，其中 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是实数轴上的单调函数。那么

$${\int }_{\gamma }\alpha ={\int }_{{\gamma }^{\prime }}\alpha$$

因为，根据定积分的标准变量替换公式，

$$\begin{array}{l}{\int }_{{\gamma }^{\prime }}\alpha ={\int }_{t_1}^{t_2}{\alpha }_i(x(t))\frac{\mathrm{d}{x}^i(t(t^{\prime }))}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\prime }}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t\\ ={\int }_{t_1^{\prime }}^{t_2^{\prime }}{\alpha }_i(x(t(t^{\prime })))\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime i}(t^{\prime })}{\mathrm{d}{t}^{\prime }}\mathrm{d}{t}^{\prime }\\ ={\int }_{{\gamma }^{\prime }}\alpha .\end{array}$$

因此，1-形式的积分与曲线 $\gamma$ 上的参数化无关

$\alpha$沿$\gamma$的积分为零，如果它到实直线的拉回消失，${\gamma }^{\ast }(\alpha )=0,$，对于

$${\int }_{\gamma }\alpha ={\int }_{t_1}^{t_2}⟨\alpha ,{\gamma }_{\ast }\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟩\mathrm{d}t={\int }_{t_1}^{t_2}⟨{\gamma }^{\ast }(\alpha ),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟩\mathrm{d}t=0.$$

若 $\alpha$ 是标量场 $\alpha =\mathrm{d}f$ 的微分，则称其为恰当 1-形式。恰当 1-形式的积分与连接两点 $p_1=\gamma (t_1)$ 和 $p_2=\gamma (t_2)$ 的曲线无关，因为

$${\int }_{\gamma }\mathrm{d}f={\int }_{t_1}^{t_2}⟨\mathrm{d}f,\dot{\gamma }⟩\mathrm{d}t={\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}f(\gamma (t))}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=f(\gamma (t_2))-f(\gamma (t_1)),$$

它仅依赖于端点处 $f$ 的值。特别地，恰当 1-形式的积分在任何闭回路上为零，因为 $\gamma (t_1)=\gamma (t_2)$

对于一般的1-形式，积分通常依赖于曲线。例如，设 $\alpha =x\mathrm{d}y$ 在流形 ${\mathbb{R}}^2$ 上，坐标为 $(x,y)$。考虑以下连接 $p_1=(-1,0)$ 到 $p_2=(1,0)$ 的两条曲线 1

$$\begin{array}{ll}{\gamma }_1:x=t,y=0& t_1=-1,t_2=1,\\ {\gamma }_2:x=\cos t,y=\sin t& t_1=-\pi ,t_2=0.\end{array}$$

$\alpha$ 到第一条曲线的拉回为零，${\gamma }_1^{\ast }x\mathrm{d}y=t\mathrm{d}0=0$，而到 ${\gamma }_2$ 的拉回则由下式给出

$${\gamma }_2^{\ast }x\mathrm{d}y=\cos t\mathrm{d}(y\circ {\gamma }_2(t))=\cos t\mathrm{d}(\sin t)={\cos }^{2}t\mathrm{d}t.$$

因此

$${\int }_{{\gamma }_2}x\mathrm{d}y={\int }_{-\pi }^0{\cos }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}\ne {\int }_{{\gamma }_1}x\mathrm{d}y=0.$$

子流形

设 $\alpha :MN$ 为可微映射，其中 $m$ $\dim$ $M\le n$ $\dim$ $N$。若切映射 ${\alpha }_{\ast }:T_p(M)\to T_{\alpha (p)}(N)$ 在每一点 $p\in M;i.e.,{\alpha }_{\ast }$ 处均为单射，即处处为非退化线性映射，则称该映射为 浸入(immersion)。由逆函数定理可直接证明，在任意点 $p$ 及其像 $\alpha (p)$ 处存在图卡，使得映射 $\hat{\alpha }$ 表示为

$$\begin{array}{ll}{y}^i={\alpha }^i(x^1,x^2,\dots ,x^m)=x^i& \text{ for }i=1,\dots ,m,\\ y^a={\alpha }^a(x^1,x^2,\dots ,x^m)=0& \text{ for }a>m.\end{array}$$

详细的证明可在 [11] 中找到。

例 15.10

一般来说，浸入的像 $\alpha (M)\subset N$ 并非真正的“子流形”，因为无法阻止自交。例如，由下式定义的映射 $\alpha :\mathbb{R}{\mathbb{R}}^2$

$$x={\alpha }^1(t)=t(t^2-1),y={\alpha }^2(t)=t^2-1$$

由于它的雅可比矩阵处处非退化，因此是一个浸入，

$$\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial t}& \frac{\partial y}{\partial t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2t^2-1& 2t\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)\text{ for all }t\in \mathbb{R}.$$

然而，子集 $\alpha (\mathbb{R})\subset {\mathbb{R}}^2$ 并不继承 $R$ 的流形结构，因为在 $t=\pm 1$ 处存在自交，如图 15.4 所示。

图 15.4 非子流形的浸入

为了在子集 $\alpha (M)$ 上具有自然的流形结构，我们要求映射 $\alpha$ 本身是单射，并且其切映射 ${\alpha }_{\ast }$ 也是单射。此时该映射称为嵌入，而二元组 $(M,\alpha )$ 称为 $N$ 的嵌入子流形。

例 15.11

设 $A$ 是流形 $M$ 的任意开子集。如同例 15.2 中那样，它从 $M$ 继承一个流形结构，据此，一个图被称为容许的，如果它具有形式 $(U\cap A,\varphi {|}_{U\cap A})$，其中 $(U,\varphi )$ 是 $M$ 上的某个图。赋予此可微结构后，$A$ 被称为 $M$ 的开子流形。它显然与 $M$ 具有相同的维数。对 $(A,\mathrm{id}{|}_A)$ 是 $M$ 的嵌入子流形。

例 15.12

设 $T^2=S^1\times S^1$ 为 2-环面（见例 15.6）。空间 $T^2$ 也可视为商空间 $R^2/\mathrm{mod}1$，其中 $(x,y)=(x^{\prime },y^{\prime })$ 模 1 等价，当且仅当存在整数 $k$ 和 $l$ 使得 $x-x^{\prime }=k$ 且 $y-y^{\prime }=l$。模 1 的等价类用符号 $[(x,y)]$ 表示。考虑由 $\alpha (t)=[(at,bt)]$ 定义的曲线 $\alpha :\mathbb{R}{T}^2$。除非 $a=b=0$，该映射是浸入。若 $a/b$ 为有理数，则它不是嵌入，因为该曲线最终会经过 $(1,1)=(0,0)$ 对某个 $t$，且 $\alpha$ 不是单射。对于无理数 $a/b$，该曲线不会两次经过任何点，因此是嵌入。图 15.5 说明了这些性质。当 $a/b$ 为有理数时，像 $C=\alpha (\mathbb{R})$ 在 $T^2$ 中具有圆的相对拓扑。因此存在嵌入 $\beta :S^1\to C$，使得 $(S^1,\beta )$ 成为 $T^2$ 的嵌入子流形。显式构造映射 $\beta$ 留给读者。在此情形下，子集 $C=\beta (S^1)\subset T^2$ 是闭的。

当$a/b$为无理数时，集合$\alpha$($R$)在$T^2$中稠密，因为该曲线最终会任意接近$T^2$的任意点，并且不可能是闭子集。因此，作为$T^2$的子集在其上诱导出的$\alpha$($R$)上的相对拓扑，比它通过双射映射$\alpha .$从$R$得到的拓扑粗得多。所以，当后者被赋予相对拓扑时，嵌入$\alpha$不是从$R$到$\alpha (\mathbb{R})$的同胚。

一般来说，若嵌入 $\alpha :M\to N$ 同时是从 $M$ 到 $\alpha$($M$) 的同胚，其中后者被赋予 $N$ 中的相对拓扑，则称该嵌入为 正则嵌入(regular embedding)。其成立的一个充分必要条件是存在一个坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$

图 15.5 环面的子流形

在每一点 $p\in \alpha (M)$ 处，使得 $\alpha (M)\cap U$ 由“坐标切片”定义

$$x^{m+1}=x^{m+2}=\cdots =x^n=0.$$

由此还可推出，为使此发生，集合 $\alpha (M)$ 必须是 $N$ 的闭子集。这些命题的证明可在 [11] 中找到。当 $a/b$ 为有理数时，上述嵌入子流形 $(S^1,\beta )$ 是一个正则嵌入。

习题

习题 15.13

证明：若 ${\rho }_p=r_i(\mathrm{d}{x}^i{)}_p={\alpha }^{\ast }{\omega }_{\alpha (p)}$，则分量由下式给出

$$r_i=\frac{\partial y^a}{\partial x^i}{|}_{\varphi (p)}{w}_a$$

其中 ${\omega }_{\alpha (p)}=w_a(\mathrm{d}{y}^a{)}_{\alpha (p)}$

若 $\alpha$ 是微分同胚，则通过设定以下内容来定义映射 ${\alpha }_{\ast }:T_p^{(1,1)}(M)\to T_{\alpha (p)}^{(1,1)}(N)$

$${\alpha }_{\ast }T({\omega }_{\alpha (p)},X_{\alpha (p)})=T({\alpha }^{\ast }{\omega }_{\alpha (p)},{\alpha }_{\ast }^{-1}{X}_{\alpha (p)})$$

并证明这些分量按如下方式变换

$$({\alpha }_{\ast }T{)}_b^a=T_j^i\frac{\partial y^a}{\partial x^i}\frac{\partial x^j}{\partial y^b}.$$

习题 15.14

$\mathrm{If}\gamma :\mathbb{R}\to M$ 是 $M$ 上的一条曲线，且 $p=\gamma (t_0)$ 与 $\alpha :M\to N$ 是可微映射，证明

$${\alpha }_{\ast }{\dot{\gamma }}_p={\dot{\sigma }}_{\alpha (p)}\text{ where }\sigma =\alpha \circ \gamma :\mathbb{R}\to N.$$

习题 15.15

由$x=\sin t,y=\sin 2t(\mathrm{i})$给出的映射$\alpha :\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$是浸入吗，(ii) 是嵌入子流形吗？

习题 15.16

证明由 $\alpha :{\dot{\mathbb{R}}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ 定义的映射

$$u=x^2+y^2,v=2xy,w=x^2-y^2$$

是一个浸入。它是否是一个嵌入子流形

计算 ${\alpha }^{\ast }(u\mathrm{d}u+v\mathrm{d}v+w\mathrm{d}w)$ 与 ${\alpha }_{\ast }({\partial }_x{)}_{(a,b)}$。求 ${\dot{\mathbb{R}}}^2$ 上的一个向量场 $X$，使得 ${\alpha }_{\ast }X$ 不是一个定义良好的向量场。