15.5 对易子、流与李导数

English

对易子

设 $X$ 与 $Y$ 是可微流形 $M$ 的开子集 $U$ 上的光滑向量场。我们将其 对易子(commutator) 或 李括号(Lie bracket) [$X$, $Y$] 定义为 $U$ 上由下式定义的向量场

$$[X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)\text{\hspace{1em}(15.20)}$$

对于 $U$ 上所有可微函数 $f$。这是一个向量场，因为 (i) 它是线性的

$$[X,Y](af+bg)=a[X,Y]f+b[x,y]g$$

对于所有 $f,g\in \mathcal{F}(U)$ 和 $a,b\in \mathbb{R}$，并且 (ii) 它满足莱布尼茨法则

$$[X,Y](fg)=f[X,Y]g+g[X,Y]f.$$

线性性是平凡的，而莱布尼茨法则则来自

$$\begin{array}{rl}[X,Y](fg)& =X(fYg+gYf)-Y(fXg+gXf)\\ & =XfYg+fX(Yg)+XgYf+gX(Yf)\\ & -YfXg-fY(Xg)-YgXf-gY(Xf)\\ & =f[X,Y]g+g[X,Y]f.\end{array}$$

对于李括号，许多恒等式都易于验证：

$$[X,Y]=-[Y,X],\text{\hspace{1em}(15.21)}$$

$$[X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z],\text{\hspace{1em}(15.22)}$$

$$[X,fY]=f[X,Y]+XfY,\text{\hspace{1em}(15.23)}$$

$$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.\text{\hspace{1em}(15.24)}$$

方程（15.21）和方程（15.22）是平凡的，而方程（15.23）可由

$$\begin{array}{c}[X,fY]g=X(fYg)-fY(Xg)=fX(Yg)+X(f)Yg-fY(Xg)\\ =f[X,Y]g+XfYg.\end{array}$$

雅可比恒等式，即式 (15.24)，其证明与矩阵论中对易子的情形十分相似，见例 6.7。

随文练习

证明：对任意函数 $f,g$ 和向量场 $X$、$Y$

$$[fX,gY]=fg[X,Y]+fXgY-gYfX.$$

为求李积的坐标公式，设 $X=X^i(x^1,\dots ,x^n){\partial }_{x^i},Y=Y^i(x^1,\dots ,x^n){\partial }_{x^i}$ 。则 $[X,Y]=[X,Y{]}^k(x^1,\dots ,x^n){\partial }_{x^k}$ ，其中

$$[X,Y{]}^k=[X,Y](x^k)=X(Y{x}^k)-Y(X{x}^k)=X^i\frac{\partial Y^k}{\partial x^i}-Y^i\frac{\partial X^k}{\partial x^i},$$

或用逗号导数记号表示

$$[X,Y{]}^k=X^i{Y}_{,i}^k-Y^i{X}_{,i}^k.\text{\hspace{1em}(15.25)}$$

若我们将向量场 $X$ 视为通过李括号作用于向量场 $Y$ 以产生一个新的向量场 $X:Y\mapsto {\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]$，则这一作用具有显著的“类似导数”的性质，因为它既是线性的

$${\mathcal{L}}_X(aY+bZ)=a{\mathcal{L}}_{X}Y+b{\mathcal{L}}_{X}Z$$

并且具有性质

$${\mathcal{L}}_X(fY)=XfY+f{\mathcal{L}}_{X}Y.\text{\hspace{1em}(15.26)}$$

这些性质直接由式 (15.22) 和式 (15.23) 推出。该导数的几何解释将借助由向量场诱导的流这一概念给出。

积分曲线与流

设 $X$ 是流形 $M$ 上的光滑向量场。$X$ 的 积分曲线(integral curve) 是一条参数曲线 $\sigma :(a,b)M$，其在曲线上每一点 $p=\sigma (t)$ 处的切向量 $\dot{\sigma }(t)$ 等于赋予 $p,$ 的切向量 $X_p$

$$\dot{\sigma }(t)=X_{\sigma (t)}.$$

在 $p$ 处的一个局部坐标卡 $(U;x^i)$ 中，若曲线可写成 $n$ 个实函数 $x^i(t)=x^i(\sigma (t))$，且向量场具有形式 $X=X^i(x^1,\dots ,x^n){\partial }_{x^i}$，则该要求表现为 $n$ 个常微分方程，

$$\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}=X^i(x^1(t),\dots ,x^n(t)).\text{\hspace{1em}(15.27)}$$

常微分方程的存在唯一性定理断言，过每一点 $p\in M$ 都存在唯一的极大积分曲线 ${\gamma }_p:(a,b)M$，使得 $a=a(p)<0<b=b(p)$ 且 $p={\gamma }_p(0)\left[15,16\right]$。唯一性意味着，若 $\sigma :(c,d)$ $M$ 是任意另一条在 $t=0$ 时经过 $p$ 的积分曲线，则 $a\le c<0<d\le b$ 且 $\sigma ={\gamma }_p{|}_{(c,d)}.$

流形$M$的一个变换是指一个微分同胚$\phi :M\to M.\mathrm{A}$，$M$的或$M$上的单参数变换群是一个映射$\sigma$：$\mathbb{R}\times M\to M$，使得：

(i) 对每个 $t\in \mathbb{R}$，由 ${\sigma }_t(p)=\sigma (t,p)$ 定义的映射 ${\sigma }_t:M\to M$ 是 $M;$ 的一个变换

(ii) 对所有 $t,s\in \mathbb{R}$，我们有阿贝尔群性质，${\sigma }_{t+s}={\sigma }_t\circ {\sigma }_s$

由于映射 ${\sigma }_t$ 是一一且到上的，每个点 $p\in M$ 都是唯一一点 $q\in M;$ 的像，即我们可以写出 $p={\sigma }_t(q)$，其中 $q={\sigma }_t^{-1}(p)$。因此 ${\sigma }_0$ 是恒等变换，${\sigma }_0={\mathrm{id}}_M$，因为对所有 $p\in M$ 都有 ${\sigma }_0(p)={\sigma }_0\circ {\sigma }_t(q)={\sigma }_t(q)=p$。此外，每个映射 ${\sigma }_t^{-1}$ 的逆是 ${\sigma }_{-t}$，因为 ${\sigma }_t\circ {\sigma }_{-t}={\sigma }_0={\mathrm{id}}_M$

图 15.6 表示由向量场生成的流线的流线图

由${\gamma }_p(t)={\sigma }_t(p)$定义的曲线${\gamma }_p:\mathbb{R}\to M$显然在$t=0$处经过$p$。它称为$p$在流$\sigma$下的轨道(orbit)，并通过下式在$p$处定义一个切向量$X_p$：

$$X_{p}f=\frac{\mathrm{d}f({\gamma }_p(t))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}=\frac{\mathrm{d}f({\sigma }_t(p))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}.$$

由于 $p$ 是 $M$ 的任意点，我们得到 $M,$ 上的一个向量场 $X$，称为由流 $\sigma$ 诱导的向量场。任何由 $M$ 的单参数变换群诱导的向量场 $X$ 都称为 完备向量场(complete vector field)。单参数群 ${\sigma }_t$ 可以看作是用一族曲线“填充”向量场 $X$，这些曲线扮演着流体流线的角色，而该流体的速度处处由 $X$ 给出（见图 15.6）。

并非每个向量场都是完备的，但存在一个始终适用的局部概念。变换的局部单参数群，即局部流(local flow)，由一个开子集$U\subseteq M$和一个实数区间$I_{ϵ}=(-ϵ,ϵ)$，连同映射$\sigma :I_{ϵ}\times UM$组成，使得：

($i$ ) 对每个 $t\in I_{ϵ}$，由 ${\sigma }_t(p)=\sigma (t,p)$ 定义的映射 ${\sigma }_t:U\to M$ 是 $U$ 到 ${\sigma }_t(U)$ 的微分同胚；

(ii) 若 $t$、$s$ 和 $t+s\in I_{ϵ}$ 且 $p,{\sigma }_s(p)\in U$，则 ${\sigma }_{t+s}(p)={\sigma }_t({\sigma }_s(p))$

局部流以与上述关于流所描述的类似方式在 $U$ 上诱导出一个向量场 $X$：

$$X_{p}f=\frac{\mathrm{d}f({\sigma }_t(p))}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\text{ for all }p\in U.\text{\hspace{1em}(15.28)}$$

现在可以证明，每个向量场 $X$ 都对应一个局部单参数变换群，可以说该向量场生成这个群。

定理 15.2 · 向量场的局部流 (Local flows of vector fields)

若 $X$ 是 $M$ 上的向量场，且 $p\in M$，则存在一个区间 $I=(-ϵ,ϵ)$、$\dot{}p,$ 的一个邻域 $U$，以及一个局部流 $\sigma :I\times U\to M$，它诱导出限制在 $U$ 上的向量场 $X{|}_U$。

证明

若$(U,\varphi ;x^i)$是$p$处的一个坐标卡，我们可以设

$$X{|}_U=X^i\frac{\partial }{\partial x^i}\text{ where }{X}^i:U\to \mathbb{R}.$$

常微分方程的存在唯一性定理表明，对任意 $\mathbf{x}\in \varphi (U)$，存在唯一一条曲线 $\mathbf{y}=\mathbf{y}(t;x^1,\dots ,x^n)$，在某个区间 $I=(-ϵ,ϵ)$ 上，使得

$$\frac{\mathrm{d}{y}^i(t;x^1,\dots ,x^n)}{\mathrm{d}t}=X^i\circ {\varphi }^{-1}\left(y^1(t;\mathbf{x}),y^2(t;\mathbf{x}),\dots ,y^n(t;\mathbf{x})\right)$$

和

$$y^i(0;x^1,\dots ,x^n)=x^i.$$

由于一族微分方程的解光滑地依赖于初始坐标 [15, 16]，函数 $y(t;x^1,\dots ,x^n)$ 关于 $t$ 和 $x^i$ 可微。

对于固定的 $s$ 和固定的 $\mathbf{x}\in \varphi (U)$，曲线 $t\to z^i(t,s;\mathbf{x})=y^i(t;\mathbf{y}(s;\mathbf{x}))$ 与 $tz(t,s,\mathbf{x})=y^i(t+s;\mathbf{x})$ 满足同一个微分方程

$$\frac{\mathrm{d}{z}^i(t,s;x^1,\dots ,x^n)}{\mathrm{d}t}=X^i\left(z^1(t,s;\mathbf{x}),\dots ,z^n(t,s;\mathbf{x})\right)$$

并且在$t=0.$处具有相同的初始条件

$$y^i(0;\mathbf{y}(s;\mathbf{x}))=y^i(s;\mathbf{x})=y^i(0+s;\mathbf{x}).$$

因此这些解相同，且由$\sigma (t,p)={\varphi }^{-1}\mathbf{y}(t;\varphi (p))$定义的映射$\sigma :I\times UU$满足局部单参数群条件

$$\sigma (t,\sigma (s,p))=\sigma (t+s,p).$$

该定理的一个有用推论是：存在一个局部坐标系，可将任意给定的向量场 $X$ “拉直”，使其分量沿 1 轴方向，$X^i=(1,0,\dots ,0)$。此时由 $X$ 生成的局部流 ${\sigma }_t$ 就只是沿 1 方向的平移，${\sigma }_t(x^1,x^2,\dots ,x^n)=(x^1+t,x^2,\dots ,x^n)$

定理 15.3 · 非零向量场的局部坐标表示 (Local coordinate representation of a nonzero vector field)

若 $X$ 是流形 $M$ 上的向量场，使得 $X_p\ne 0.$ ，则存在 $p$ 处的一个坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$ ，使得

$$X=\frac{\partial }{\partial x^1}.\text{\hspace{1em}(15.29)}$$

证明提纲

证明背后的想法并不困难。在 $p$ 处选取任意坐标系 $(U,\psi ;y^i)$，使得 $y^i(p)=0$，且 $X_p={\left({\partial }_{y^1}\right)}_p$。设 $\sigma :I_{ϵ}\times A\to M$ 为局部流，它在开集 $A.$ 上诱导出 $X$。在 $p$ 的邻域中，考虑一个穿过 $p$、横截于该流的 $(n-1)$ 维小“开球”，其典型点 $q$ 具有坐标 $(0,y^2,\dots ,y^n)$，并赋予坐标 $(x^1=t,x^2=y^2,...,x^n=y^n)$

到过 $q$ 的流线 ${\sigma }_t(q)$ 上的点。坐标 $x^2,\dots ,x^n$ 因而沿曲线 $t\to {\sigma }_t(q)$ 为常数，而向量场 $X,$ 由于与流线相切，在 $\dot{p}$ 的一个邻域内处处具有坐标 $(1,0,\dots ,0)$。详细证明可见 文献 [11] 中编号为 4.3 的定理 或 文献 [4] 的第 124 页。-

例 15.13

设 $X$ 为实直线流形 $R$ 上的可微向量场 $X=x^2{\partial }_x$。为求坐标 $y=y(x)$ )，使得 $X={\partial }_{\nu }$，我们需要求解微分方程

$$x^2\frac{\partial y}{\partial x}=1.$$

解为 $y=C-1/x$

由$X$生成的局部单参数群通过求解该常微分方程得到，

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x^2.$$

该解为

$${\sigma }_t(x)=\frac{1}{x^{-1}-t}=\frac{x}{1-tx}.$$

验证群的性质是直接的

$${\sigma }_t({\sigma }_s(x))=\frac{x}{1-(t+s)x}={\sigma }_{t+s}(x).$$

例 15.14

若$X$与$Y$是$M$上的向量场，分别生成流${\varphi }_t$与${\psi }_t$，则令$\sigma$为过$p\in M$并由下式定义的曲线

$$\sigma (t)={\psi }_{-t}\circ {\varphi }_{-t}\circ {\psi }_t\circ {\varphi }_{t}p.$$

于是 $\sigma (\sqrt{t})$ 是一条曲线，其切向量在 $p$ 处为对易子 [$X$, $Y$]。证明的方法是令 $f$ 为 $p$ 处的任意可微函数，并证明

$$[X,Y{]}_{p}f=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f[\sigma (\sqrt{t})]-f[\sigma (0)]}{t}.$$

细节可在[3, $p$. 130]中找到。这一结果的一些有趣的几何物理应用在[17]中进行了讨论。

李导数

设 $X$ 是流形 $M$ 上的光滑向量场，它在 $M$ 上生成一个局部单参数变换群 ${\sigma }_t$。若 $Y$ 是 $M$ 上的任意可微向量场，则定义其沿 $X$ 的 李导数(Lie derivative) 为

$${\mathcal{L}}_{X}Y=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{Y-({\sigma }_t{)}_{\ast }Y}{t}.\text{\hspace{1em}(15.30)}$$

图 15.7 说明了这一情形。本质上，微分同胚 ${\sigma }_t$ 的切映射被用来将向量场 $Y$ 沿积分曲线从点 ${\sigma }_{-t}(p)$ 向前拖曳到 $p$，并将结果与向量场的原值 $Y_p$ 进行比较。方程（15.7）

图 15.7 向量场 $Y$ 沿向量场 $X$ 的李导数

对相邻点执行此运算，并取除以$t$时的极限。我们现在证明，该导数与取两个向量场的对易子这一“类导数”运算完全相同。

设 $f:M\to \mathbb{R}$ 为可微函数，$p$ 为 $M$ 的任意一点。由式 (15.30)，在 $p$ 处有

$$\begin{array}{l}({\mathcal{L}}_{X}Y{)}_{p}f={\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}(Y_{p}f-(({\sigma }_t{)}_{\ast }Y{)}_{p}f)\\ ={\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}(Y_{p}f-Y_{{\sigma }_{-t}(p)}(f\circ {\sigma }_t))\\ ={\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}(Y_{p}f-Y_{{\sigma }_{-t}(p)}f-Y_{{\sigma }_{-t}(p)}(f\circ {\sigma }_t-f))\\ ={\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}((Yf-(Yf)\circ {\sigma }_{-t})(p)-Y_{{\sigma }_{-t}(p)}(f\circ {\sigma }_t-f)).\end{array}$$

令第一项中 $s=-t$，并利用式 (15.28)，右端化为 $X(Yf)(p)-Y(Xf)(p)=[X,Y{]}_{p}f$，于是得到所需的关系。

$${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y].\text{\hspace{1em}(15.31)}$$

李导数的概念可以推广到所有张量场。首先，对于任意微分同胚$\phi :M\to M$，我们按如下方式定义诱导映射$\tilde{\phi }:{\mathcal{T}}^{(r,s)}(M)\to {\mathcal{T}}^{(r,s)}(M)$：

(i) 对于向量场，令 $\tilde{\phi }={\phi }_{\ast }$ ；

(ii) 对标量场 $f:M\to$ $R$，定义 $\tilde{\phi }f=f\circ {\phi }^{-1}$ ；

(iii) 对于余向量场，令 $\tilde{\phi }={\left({\phi }^{-1}\right)}^{\ast }$

(iv) 通过要求线性性，映射 $\tilde{\phi }$ 被延拓至所有张量场，并且

$$\tilde{\phi }(T\otimes S)=\tilde{\phi }T\otimes \tilde{\phi }S$$

对于任意张量场 $T$ 和 $S$。

若 $\omega$ 与 $X$ 是任意余向量场和向量场，则

$$⟨\tilde{\phi }\omega ,\tilde{\phi }X⟩=\tilde{\phi }⟨\omega ,X⟩,\text{\hspace{1em}(15.32)}$$

因为

$$\begin{array}{r}⟨\tilde{\phi }\omega ,\tilde{\phi }X⟩(p)=⟨({\phi }^{-1}{)}^{\ast }{\omega }_{{\phi }^{-1}(p)},{\phi }_{\ast }{X}_{{\phi }^{-1}(p)}⟩\\ =⟨{\omega }_{{\phi }^{-1}(p)},X_{{\phi }^{-1}(p)}⟩=⟨\omega ,X⟩({\phi }^{-1}(p)).\end{array}$$

随文练习

对任意向量场 $X$，由 (ii) 证明 $\tilde{\phi }X(\tilde{\phi }f)=\tilde{\phi }(X(f))$

利用式 (15.11)，性质 (iv) 为映射 $\tilde{\phi }$ 作用于所有高阶张量提供了唯一定义。或者，如同对余向量场那样，以下是对映射 $\tilde{\phi };$ 的 $a$ 4特征标

$$(\tilde{\phi }T)(\tilde{\phi }{\omega }^1,\dots ,\tilde{\phi }{\omega }^r,\tilde{\phi }{X}_1,\dots ,\tilde{\phi }{X}_s)=\tilde{\phi }(T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^r,X_1,\dots ,X_s))$$

对于所有向量场 $X_1,\dots X_s$ 和余向量场 ${\omega }^1,\dots ,{\omega }^r$

光滑张量场 $T$ 关于向量场 $X$ 的李导数 ${\mathcal{L}}_{X}T$ 定义为

$${\mathcal{L}}_{X}T=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{t}(T-{\tilde{\sigma }}_{t}T).\text{\hspace{1em}(15.33)}$$

随文练习

证明：对于任意张量场 $T$

$${\mathcal{L}}_{X}T=-\frac{\mathrm{d}{\tilde{\sigma }}_{t}T}{\mathrm{d}t}{|}_{t=0}\text{\hspace{1em}(15.34)}$$

并证明莱布尼茨法则

$${\mathcal{L}}_X(T\otimes S)=T\otimes ({\mathcal{L}}_{X}S)+({\mathcal{L}}_{X}T)\otimes S.\text{\hspace{1em}(15.35)}$$

当 $T$ 是标量场 $f,$ 时，我们将极限变量改为 $s=-t$，得到

$${\left({\mathcal{L}}_{X}f\right)}_p=\frac{\mathrm{d}f\circ {\sigma }_s(p)}{\mathrm{d}s}{|}_{s=0}=Xf(p),$$

而在局部坐标卡 $(U;x^i)$ 中

$${\mathcal{L}}_{X}f=Xf=f_{,i}{X}^i.\text{\hspace{1em}(15.36)}$$

由于对于任意一对 $i,j$

$${\mathcal{L}}_{{\partial }_{x^i}}\frac{\partial }{\partial x^j}=\left[\frac{\partial }{\partial x^i},\frac{\partial }{\partial x^j}\right]=\frac{{\partial }^2}{\partial x^i\partial x^j}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^j\partial x^i}=0,$$

而对于任意一对向量场 $X$、$Y$，我们得到 ${\mathcal{L}}_{X}Y=[X,Y]=-[Y,X]=-{\mathcal{L}}_{Y}X$

$${\mathcal{L}}_X\frac{\partial }{\partial x^j}=-{\mathcal{L}}_{{\partial }_{x^j}}\left(X^i\frac{\partial }{\partial x^i}\right)=-X_{,j}^i\frac{\partial }{\partial x^i}.$$

应用莱布尼茨法则式 (15.35) 得到

$${\mathcal{L}}_{X}Y={\mathcal{L}}_X\left(Y^i\frac{\partial }{\partial x^i}\right)=Y_{,j}^i{X}^j\frac{\partial }{\partial x^i}-Y^j{X}_{,j}^i\frac{\partial }{\partial x^i},$$

与式（15.25）中李括号的分量公式一致，

$${\left({\mathcal{L}}_{X}Y\right)}^i=Y_{,j}^i{X}^j-Y^j{X}_{,j}^i.\text{\hspace{1em}(15.37)}$$

为求 1-形式 $\omega =w_i\mathrm{d}{x}^i$ 的李导数的分量公式，我们注意到对任意一对向量场 $X$、$Y$

$${\mathcal{L}}_X⟨\omega ,Y⟩=X⟨\omega ,Y⟩=⟨{\mathcal{L}}_X\omega ,Y⟩+⟨\omega ,{\mathcal{L}}_{X}Y⟩,\text{\hspace{1em}(15.38)}$$

其由式 15.32 和式 15.34 推出，

$$\begin{array}{rl}& {\mathcal{L}}_X⟨\omega ,Y⟩=X⟨\omega ,Y⟩=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\tilde{\sigma }}_t⟨\omega ,Y⟩{|}_{t=0}\\ & =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}⟨{\tilde{\sigma }}_t\omega ,{\tilde{\sigma }}_{t}Y⟩{|}_{t=0}\\ & =-⟨\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\tilde{\sigma }}_t\omega ,Y⟩{|}_{t=0}-⟨\omega ,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\tilde{\sigma }}_{t}Y⟩{|}_{t=0}\\ & =⟨{\mathcal{L}}_X\omega ,Y⟩+⟨\omega ,{\mathcal{L}}_{X}Y⟩.\end{array}$$

若 $\omega =w_i\mathrm{d}{x}^i$ 是一个 1-形式，则其关于向量场 $X$ 的李导数 ${\mathcal{L}}_X\omega$ 在坐标卡 $(U;x^i)$ 中的分量由下式给出

$$\begin{array}{rl}& {\left({\mathcal{L}}_X\omega \right)}_j=⟨{\mathcal{L}}_X\omega ,\frac{\partial }{\partial x^j}⟩\\ & ={\mathcal{L}}_X⟨\omega ,\frac{\partial }{\partial x^j}⟩-⟨\omega ,{\mathcal{L}}_X\frac{\partial }{\partial x^j}⟩\\ & ={\mathcal{L}}_X{w}_j+⟨\omega ,X_{,j}^i\frac{\partial }{\partial x^i}⟩\\ & =w_{j,i}{X}^i+w_i{X}_{,j}^i.\end{array}$$

将此论证推广到类型为($r$, $s$)的一般张量，我们得到

$$\begin{array}{c}({\mathcal{L}}_{X}T{)}_{kl\dots }^{ij\dots }=T_{kl\dots ,m}^{ij\dots }{X}^m-T_{kl\dots }^{mj\dots }{X}_{,m}^i-T_{kl\dots }^{im\dots }{X}_{,m}^j-\dots \\ T_{ml\dots }^{ij\dots }{X}_{,k}^m+T_{km\dots }^{ij\dots }{X}_{,l}^m+\dots \end{array}\text{\hspace{1em}(15.39)}$$

例 15.15

在使得 $X={\partial }_{x^1}$ 的局部坐标中（见定理 15.3），由于分量 $X^i=\mathrm{consts}$ ，所有 $X^i{}_{,j}=0$ ，而李导数的分量就是沿 1-方向的导数，

$${\left({\mathcal{L}}_{X}T\right)}_{kl\dots }^{ij\dots }=T_{kl\dots ,1}^{ij\dots }.$$

习题

习题 15.17

证明由式 (15.25) 给出的李乘积 $[X,Y{]}^k$ 的分量在坐标变换 $x^{\prime j}(x^i)$ 下按逆变向量场变换。

习题 15.18

证明雅可比恒等式可以写成

$${\mathcal{L}}_{[X,Y]}Z={\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}Z-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}Z,$$

而这一性质可推广到所有张量$T$：

$${\mathcal{L}}_{[X,Y]}T={\mathcal{L}}_X{\mathcal{L}}_{Y}T-{\mathcal{L}}_Y{\mathcal{L}}_{X}T.$$

习题 15.19

设 $\alpha :M\to N$ 是流形 $M$ 与 $N$ 之间的微分同胚，且 $X$ 是 $M$ 上的向量场，它在 $M$ 上生成局部单参数变换群 ${\sigma }_t$。证明 $N$ 上的向量场 $X^{\prime }={\alpha }_{\ast }X$ 生成局部流 ${\sigma }_t^{\prime }=\alpha \circ {\sigma }_t\circ {\alpha }^{-1}$

习题 15.20

对任意正实数 $n$，证明向量场 $X=x^n{\partial }_x$ 在由正实直线 $\{x\in \mathbb{R}\mid x>0\}$ 构成的流形 ${\mathbb{R}}^{+}$ 上可微。为什么在一般情况下，在整个实直线 $R$ 上这不成立？如同在例 15.13 中对情形 $n=2$ 所做的那样，求该向量场在任意点 $x>0$ 处生成的最大单参数子群 ${\sigma }_t$

习题 15.21

在具有坐标 $(x,y)$ 的流形 ${\mathbb{R}}^2$ 上，设 $X$ 为向量场 $X=-y{\partial }_x+x{\partial }_y$。求过任意点 $(x,y)$ 的积分曲线，以及由 $X$ 生成的单参数群。求坐标 $(x^{\prime },y^{\prime })$，使得 $X={\partial }_{x^{\prime }}$

习题 15.22

对向量场 $X=y{\partial }_x+x{\partial }_y$ 和 $X=x{\partial }_x+y{\partial }_y$ 重复上一题。

习题 15.23

在紧流形上证明每个向量场 $X$ 都是完备的。[提示：设 ${\sigma }_t$ 是生成 $X,$ 的局部流，并设 $ϵ$ 为有限开覆盖上所需的最小界。令 ${\sigma }_t=({\sigma }_{t/N}{)}^N$，其中 $N$ 足够大，使得 $|t|<ϵN.]$

习题 15.24

证明李导数 ${\mathcal{L}}_X$ 与张量场 $T_{:}$ 上所有缩并运算 $C_j^i$ 可交换

$${\mathcal{L}}_X{C}_j^{i}T=C_j^i{\mathcal{L}}_{X}T.$$

习题 15.25

证明一般张量的李导数公式 式 (15.39)。