15.6 分布与弗罗贝尼乌斯定理

English

流形 $M$ 上的一个 $k$ 维 分布(distribution) $D^k$ 是在每一点 $p\in M$ 处对切空间 $T_p(M)$ 的一个 $k$ 维子空间 $D^k(p)$ 的指定。若对所有的 $p\in M$，都存在一个开邻域 $U$ 以及 $U$ 上的 $k$ 个光滑向量场 $X_1,\dots ,X_k$，使得它们在每一点 $q\in U$ 处张成 $D^k(q)$，则称该分布是 $C^{\infty }$ 或光滑的。若在每一点 $p\in A$ 处都有 $X_p\in D^k(p)$，则称开定义域 $A$ 上的向量场 $X$ 位于或属于分布 $D^k$。一维分布等价于在每一点处相差一个任意标量因子的向量场，有时称为方向场。

分布 $D^k$ 的一个 积分流形(integral manifold) 是 $M$ 的一个 $k$ 维子流形 $(K,\psi )$，使得所有与该子流形相切的向量场都属于 $D^k$

$${\psi }_{\ast }(T_p(K))=D^k(\psi (p)).$$

每个一维分布都有积分流形，因为若 $X$ 是张成分布 $D^1$ 的任意向量场，则 $X$ 的任意一族积分曲线都可作为分布 $D^1$ 的积分流形。然而我们将看到，并非每个更高维数的分布都有积分流形。

一个分布 $D^k$ 称为 对合分布(involutive distribution)，如果对于任意一对位于 $D^k$ 中的向量场 $X$、$Y$，它们的李括号 $[X,Y]$ 也属于 $D^k$。如果 $\{e_1,\dots ,e_k\}$ 是在开邻域 $U$ 上张成对合 $D^k$ 的任意局部向量场基，那么

$$[e_{\alpha },e_{\beta }]=\sum _{\gamma =1}^k{C}_{\alpha \beta }^{\gamma }{e}_{\gamma }(\alpha ,\beta =1,\dots ,k)\text{\hspace{1em}(15.40)}$$

其中 $C_{\alpha \beta }^{\gamma }=-C_{\beta \alpha }^{\gamma }$ 是 $C^{\infty }$ 上 $U.$ 的函数。反之，若存在局部基 $\{e_{\alpha }\}$ 对某标量结构场 $C_{\alpha \beta }^{\gamma }$ 满足式 (15.40)，则该分布是对合的，因为若 $X=X^{\alpha }{e}_{\alpha }$ 且 $Y=Y^{\beta }{e}_{\beta }$，则

$$[X,Y]=[X^{\alpha }{e}_{\alpha },Y^{\beta }{e}_{\beta }]=(X(Y^{\gamma })-Y(X^{\gamma })+X^{\alpha }{Y}^{\beta }{C}_{\alpha \beta }^{\gamma })e_{\gamma },$$

它按需属于$D^k$。例如，若存在一个坐标卡$(U;x^i)$，使得分布$D^k$由前$k$个坐标基向量场张成，

$$e_1={\partial }_{x^1},e_2={\partial }_{x^2},\dots ,e_k={\partial }_{x^k}$$

于是，由于所有 $[e_{\alpha },e_{\beta }]=0$，$D^k$ 在 $U$ 上是对合的，这是关系式 (15.40) 的一个平凡实例。在这种情况下，我们可以将图限制在一个立方体邻域 $U^{\prime }=\{p|-a<x^i(p){<}^a\}$ 上，而“切片” $x^a=\mathrm{const}(a=k+1,\dots ,n)$ 是分布 $D^k$ 的局部积分流形。关键结果是 弗罗贝尼乌斯 定理：

定理 15.4 · 弗罗贝尼乌斯定理 (Frobenius theorem)

一个光滑的 $k$ 维分布 $D^k$ 在流形 $M$ 上是对合的，当且仅当每一点 $p\in M$ 都位于一个坐标卡 $(U;x^i)$ 中，使得坐标向量场 $\partial /\partial x^{\alpha }for\alpha =1,\dots ,k$ 在 $U$ 的每一点处张成 $D^k$。$D^k$

证明

“仅当”部分由上述注记推出。反之将通过关于维数$k$的归纳法证明。$k=1$的情形由定理15.3立即推出。现在假设该陈述对所有($k$ 1)维分布成立，并设$D^k$是一个$k$维对合分布，它在开集$A$的所有点处由向量场$\{X_1,\dots ,X_k\}$张成。在任意点$p\in A$处存在坐标$(V;y^i)$，使得$X_k={\partial }_{y^k}$ $k$。置

$$Y_{\alpha }=X_{\alpha }-(X_{\alpha }{y}^k)X_k,Y_k=X_k$$

其中希腊指标 $\alpha ,\beta ,\dots$ 的取值范围为 1 到 $k-1$ 。向量场 $Y_1,Y_2,\dots ,Y_k$ 显然在 $V_{;}$ 上张成 $D^k$ ，并且

$$Y_{\alpha }{y}^k=0,Y_k{y}^k=1.\text{\hspace{1em}(15.41)}$$

由于 $D^k$ 是对合的，我们可以写出

$$\begin{array}{r}[Y_{\alpha },Y_{\beta }]=C_{\alpha \beta }^{\gamma }{Y}_{\gamma }+a_{\alpha \beta }{Y}_k,\\ [Y_{\alpha },Y_k]=C_{\alpha }^{\gamma }{Y}_{\gamma }+a_{\alpha }{Y}_k.\end{array}$$

将方程两端作用于坐标函数 $y^k$ 并利用式 (15.41)，得到 $a_{\alpha \beta }=a_{\alpha }=0$，因此

$$[Y_{\alpha },Y_{\beta }]=C_{\alpha \beta }^{\gamma }{Y}_{\gamma },\text{\hspace{1em}(15.42)}$$

$$[Y_{\alpha },Y_k]=C_{\alpha }^{\gamma }{Y}_{\gamma }.\text{\hspace{1em}(15.43)}$$

由$Y_1,Y_2,\dots ,Y_{k-1}$张成的分布$D^{k-1}$因此在$V,$上是对合的，并且根据归纳假设，存在一个坐标卡$(W;z^i)$，使得$D^{k-1}$由$\left\{{\partial }_{z^1},\dots ,{\partial }_{z^{k-1}}\right\}$张成。集合

$$\frac{\partial }{\partial z^{\alpha }}=A_{\alpha }^{\beta }{Y}_{\beta }$$

其中 $[A_{\alpha }^{\beta }]$ 是 $W$ 上的非奇异函数矩阵。原始分布 $D^k$ 在 $W$ 上由该向量场集合张成

$$\{{\partial }_{z^1},{\partial }_{z^2},\dots ,{\partial }_{z^{k-1}},Y_k\}.$$

于是由式 (15.43) 可得

$$[{\partial }_{z^{\alpha }},Y_k]=K_{\alpha }^{\beta }{\partial }_{z^{\beta }}\text{\hspace{1em}(15.44)}$$

对于某些函数 $K_{\alpha }^{\beta }$。如果我们写

$$Y_k=\sum _{\alpha =1}^{k-1}{\xi }^{\alpha }{\partial }_{z^{\alpha }}+\sum _{a=k}^n{\xi }^a{\partial }_{z^a}$$

并将式 (15.44) 应用于坐标函数 $z^a\left(a=k,\dots ,n\right)$，我们得到

$$\frac{\partial {\xi }^a}{\partial z^{\alpha }}=0.$$

因此，对于所有 ${\xi }^a={\xi }^a(z^k,\dots ,z^n)$ 都有 $a\ge k$。由于 $Y_k$ 与向量 ${\partial }_Z\alpha$ 线性无关，分布 $D^k$ 由向量集合 $\left\{{\partial }_{z^1},{\partial }_{z^2},\dots ,{\partial }_{z^{k-1}},Z\right\}$ 张成，其中

$$Z=Y_k-{\xi }^{\alpha }{\partial }_{z^{\alpha }}={\xi }^a(z^k,\dots ,z^n){\partial }_{z^a}.$$

由定理 15.3，存在一个不涉及前 $(k-1)$ 个坐标的坐标变换，

$$x^k=x^k(z^k,\dots ,z^n),x^{k+1}=x^{k+1}(z^k,\dots ,z^n),\dots ,x^n=x^n(z^k,\dots ,z^n)$$

使得 $Z={\partial }_{x^k}$ 。令 $x^1=z^1,\dots ,x^{k-1}=z^{k-1}$ ，我们得到坐标 $(U;x^i)$ ，其中 $D^k$ 由 $\left\{{\partial }_{x^1},\dots ,{\partial }_{x^{k-1}},{\partial }_{x^k}\right\}$ 张成——

定理 15.5 · 对易向量场与坐标基 (Commuting vector fields and coordinate bases)

一个向量场集合 $\{X_1,X_2,\dots ,X_k\}$ 等于局部坐标系统的前 $k$ 个基向量场，$X_1={\partial }_{x^1},\dots ,X_k={\partial }_{x^k}$，当且仅当它们彼此对易，$[X_{\alpha },X_{\beta }]=0$

证明

所有对易子为零显然是这些向量场成为某个坐标系的局部基场的必要条件，因为若 $X_{\alpha }={\partial }_{x^{\alpha }}(\alpha =1,\dots ,r)$，则 $[X_{\alpha },X_{\beta }]=[{\partial }_{x^{\alpha }},{\partial }_{x^{\beta }}]=0.$

为证明充分性，我们再次对 $k$ 使用归纳法。$k=1$ 的情形本质上就是定理 15.3。根据归纳假设，存在局部坐标 $(U;x^i)$，使得对于 $\alpha =1,\dots ,k-1$ 有 $X_{\alpha }={\partial }_{x^{\alpha }}$。令 $Y=X_k=Y^i(x^1,\dots ,x^n){\partial }_{x^i}$，并由例 15.15 得 ${Y^i}_{,\alpha }=0.$，于是我们可以写出

$$Y=\sum _{\alpha =1}^{k-1}{Y}^{\alpha }(x^k,\dots ,x^n){\partial }_{x^{\alpha }}+\sum _{a=k}^n{Y}^a(x^k,\dots ,x^n){\partial }_{x^a}.$$

利用定理15.3，我们可以对最后$n-k+1$个坐标进行坐标变换，使得

$$Y=\sum _{\alpha =1}^{k-1}{Y}^{\alpha }(x^k,\dots ,x^n){\partial }_{x^{\alpha }}+{\partial }_{x^k}.$$

坐标变换

$$\begin{array}{ll}{x}^{\prime \alpha }=x^{\alpha }+f^{\alpha }(x^k,\dots ,x^n)& (\alpha =1,\dots ,k-1)\\ x^{\prime a}=x^a& (a=k,\dots ,n)\end{array}$$

具有以下效果

$$Y=\sum _{\beta =1}^{k-1}\left(Y^{\beta }+\frac{\partial f^{\beta }}{\partial x^k}\right)\frac{\partial }{\partial x^{\prime \beta }}+\frac{\partial }{\partial x^{\prime k}}.$$

求解微分方程

$$\frac{\partial f^{\beta }}{\partial x^k}=-Y^{\beta }(x^k,\dots ,x^n)$$

通过直接积分即可得到所需的$Y={\partial }_{x^{\prime k}}$。

例 15.16

在 ${\dot{\mathbb{R}}}^3={\mathbb{R}}^3-\{(0,0,0)\}$ 上，设 $X_1,X_2,X_3$ 为三个向量场

$$X_1=y{\partial }_z-z{\partial }_y,X_2=z{\partial }_x-x{\partial }_z,X_3=x{\partial }_y-y{\partial }_x.$$

这三个向量场生成一个二维分布$D^2$，因为它们并非线性无关

$$x{X}_1+y{Y}_2+z{X}_3=0.$$

这些向量场中任意一对的李括号都很容易计算，

$$\begin{array}{rl}& [X_1,X_2]f=[y{\partial }_z-z{\partial }_y,z{\partial }_x-x{\partial }_z]f\\ & =yz[{\partial }_z,{\partial }_x]f+y{f}_{,x}-yx[{\partial }_z,{\partial }_z]f-z^2[{\partial }_y,{\partial }_x]f+zx[{\partial }_y,{\partial }_z]f-x{f}_{,y}\\ & =(-x{\partial }_y+y{\partial }_x)f=-X_{3}f.\end{array}$$

其他对易子也有类似的恒等式，

$$[X_1,X_2]=-X_3,[X_2,X_3]=-X_1,[X_3,X_1]=-X_2.\text{\hspace{1em}(15.45)}$$

因此，分布$D^2$是对合的，并且根据弗罗贝尼乌斯定理，可以找到一个局部变换到坐标$y^1,y^2,y^3$，使得${\partial }_{y^1}$ 1和${\partial }_{y^2}$张成所有三个向量场$X_1,X_2$和$X_3$

向量场$X=x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z$与所有$X_i$对易：例如，

$$\begin{array}{rl}& [X_3,X]f=[x{\partial }_y-y{\partial }_x,x{f}_{,x}+y{f}_{,y}+z{f}_{,z}]f\\ & =x^2[{\partial }_y,{\partial }_x]f-x{\partial }_{y}f+x{\partial }_{y}f+xy[{\partial }_y,{\partial }_y]f-y^2[{\partial }_x,{\partial }_y]f\\ & +xz[{\partial }_y,{\partial }_z]f-yz[{\partial }_x,{\partial }_z]f\\ & =0.\end{array}$$

因此，由向量场对$\{X_3,X\}$生成的分布$E^2$也是对合的。让我们考虑球极坐标，即式(15.2)，其逆变换为

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{z}{r}\right),\varphi ={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right).$$

用这些坐标表示基向量场

$${\partial }_x=\frac{\partial r}{\partial x}{\partial }_r+\frac{\partial \theta }{\partial x}{\partial }_{\theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial x}{\partial }_{\varphi }=\sin \theta \cos \varphi {\partial }_r+\frac{\cos \theta \cos \varphi }{r}{\partial }_{\theta }-\frac{\sin \varphi }{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi },$$ $${\partial }_y=\frac{\partial r}{\partial y}{\partial }_r+\frac{\partial \theta }{\partial y}{\partial }_{\theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial y}{\partial }_{\varphi }=\sin \theta \sin \varphi {\partial }_r+\frac{\cos \theta \sin \varphi }{r}{\partial }_{\theta }+\frac{\cos \varphi }{r\sin \theta }{\partial }_{\varphi },$$ $${\partial }_z=\frac{\partial r}{\partial z}{\partial }_r+\frac{\partial \theta }{\partial z}{\partial }_{\theta }+\frac{\partial \varphi }{\partial z}{\partial }_{\varphi }=\cos \theta {\partial }_r-\frac{\sin \theta }{r}{\partial }_{\theta },$$

而一个简单的计算给出

$$X_1=y{\partial }_z-z{\partial }_y=-\sin \varphi {\partial }_{\theta }-\cot \theta \cos \varphi {\partial }_{\varphi },$$ $$X_2=z{\partial }_x-x{\partial }_z=-\cos \varphi {\partial }_{\theta }-\cot \theta \sin \varphi {\partial }_{\varphi },$$ $$X_3=x{\partial }_y-y{\partial }_x={\partial }_{\varphi },$$ $$X=x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z=r{\partial }_r={\partial }_{r^{\prime }}\text{ where }{r}^{\prime }=\ln r.$$

分布 $D^2$ 由基向量场 ${\partial }_{\theta }$ 和 ${\partial }_{\varphi }$ 张成，而分布 $E^2$ 在球极坐标中由向量场 ${\partial }_r$ 和 ${\partial }_{\varphi }$ 张成。

随文练习

求一个图，其两个基向量场张成由 $X_1$ 和 $X.$ 生成的分布。对由 $X_2$ 和 $X.$ 生成的分布做同样的事情。

习题

习题 15.26

设 $D_k$ 为一个对合分布，局部由坐标向量场 $e_{\alpha }=\partial /\partial x^{\alpha }$ 张成，其中希腊指标 $\alpha ,\beta ,$ 等均取值从 1 到 $k$。若 $X_{\alpha }=A_{\alpha }^{\beta }{e}_{\beta }$ 是张成分布 $D^k$ 的任一局部基，证明函数矩阵 $[A_{\alpha }^{\beta }]$ 在其定义域上处处非奇异，并且 $[X_{\alpha },X_{\beta }]=C_{\alpha \beta }^{\gamma }{X}_{\gamma }$，其中

$$C_{\alpha \beta }^{\gamma }=(A_{\alpha }^{\delta }{A}_{\beta ,\delta }^{\eta }-A_{\beta }^{\delta }{A}_{\alpha ,\delta }^{\eta })(A^{-1}{)}_{\eta }^{\gamma }.$$

习题 15.27

有一个经典版本的弗罗贝尼乌斯定理，它指出形如

$$\frac{\partial f^{\beta }}{\partial x^j}=A_j^{\beta }\left(x^1,\dots ,x^k,f^1(x),\dots ,f^r(x)\right)$$

其中，$i,j=1,\dots ,k$ 与 $\alpha ,\beta =1,\dots ,r$ 通过任意点 $(a^1,\dots ,a^k,b^1,\dots ,b^r)$ 有唯一局部解，当且仅当

$$\frac{\partial A_j^{\beta }}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i^{\beta }}{\partial x^j}+A_i^{\alpha }\frac{\partial A_j^{\beta }}{\partial y^{\alpha }}-A_j^{\alpha }\frac{\partial A_i^{\beta }}{\partial y^{\alpha }}=0$$

其中 $A_j^{\beta }=A_j^{\beta }(x^1,\dots ,x^k,y^1,\dots ,y^r)$ 。证明该陈述等价于定理 15.4 中给出的版本。[提示：在 ${\mathbb{R}}^n$ 上，其中 $n=r+k$ ，考虑由向量张成的分布

$$Y_i=\frac{\partial }{\partial x^i}+A_i^{\beta }\frac{\partial }{\partial y^{\beta }}(i=1,\dots ,k)$$

并证明可积性条件恰为对合条件 $[Y_i,Y_j]=0$，而形如 $y^{\beta }=f^{\beta }(x^1,...,x^k)$ 的积分子流形的条件为 $A_j^{\beta }=f_{,j}^{\beta }.]$