第十七章 · 流形上的积分

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流形上的积分理论仅对一类称为定向流形的受限流形可用。一般理论可见于[1–11]。若存在一个微分$n$-形式$\omega$，它在任何点$p\in M$处均不为零，则称$n$维可微流形$M$是可定向的。该$n-\mathrm{form}\omega$称为$M$的体积元，而二元组$(M,\omega )$是一个定向流形。由于空间${\left({\Lambda }_n\right)}_p\left(M\right)\equiv {\left({\Lambda }^{\ast n}\right)}_p\left(M\right)$在每个$p\in M$处是一维的，任意两个体积元彼此成比例，${\omega }^{\prime }=f\omega$，其中$f:M\to \mathbb{R}$是$M$上的非零光滑函数。若流形是连通拓扑空间，则该函数处处同号；若对所有$p\in M$均有$f(p)>0$，则称这两个$n$-形式$\omega$与${\omega }^{\prime }$为$M$指定了相同定向，否则称它们具有相反定向。参照例8.4，若通过在每个$p$处指定一个非零$n$-形式$\Omega ={\omega }_p$来定向每个余切空间$T_p^{\ast }(M)\left(p\in M\right)$，并且这些定向在流形上以光滑且连续的方式指定，则流形是可定向的。

相对于坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$，体积元 $\omega$ 可以写成

若 $(U^{\prime },{\varphi }^{\prime };x^{\prime }{}^{i^{\prime }})$ 是第二个坐标卡，则在重叠区域 $U\cap U^{\prime }$ 中，

其中

因此，分量函数 $g$ 的符号保持不变，当且仅当坐标变换的 雅可比行列式在整个 $U\cap V$ 上为正，此时称这些图卡具有相同的定向。事实上，一个可微流形可定向，当且仅当存在一个覆盖 $M$ 的图卡图册 $(U_i,{\varphi }_i)$，使得任意两个图卡 $(U_i,{\varphi }_i)$ 和 $(U_j,{\varphi }_j)$ 在其重叠 $U_i\cap U_j$ 上具有相同的定向，但其证明需要单位分解的概念。

习题

习题 17.1

证明在球极坐标中

$$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=r^2\sin \theta \mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}\theta \wedge \mathrm{d}\varphi ,$$

并且 $a^2$ $\sin$ $\theta$ $d\theta$ $d\varphi$ 是二维球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 上的一个体积元

习题 17.2

证明 2-球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 是一个可定向流形。

本章目录

• 17.1 单位分解
• 17.2 n-形式的积分
• 17.3 斯托克斯定理
• 17.4 同调与上同调
• 17.5 庞加莱引理