17.2 n-形式的积分

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对于标量函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 在紧区域 $D.$ 上的积分，没有自然的定义方式。因为，若 $D\subset U$，其中 $U$ 是坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$ 的定义域，则多重积分

$${\int }_{D}f={\int }_{\varphi (D)}f\circ {\varphi }^{-1}\left(x^1,\dots ,x^n\right)d{x}^1\dots d{x}^n$$

将在第二个图表 $(V,\psi ;y^i)$ 中具有不同的表达式，使得 $D\subset U\cap V$

$$\begin{array}{c}{\int }_{\psi (D)}f\circ {\psi }^{-1}(\mathbf{y})\mathrm{d}{y}^1\dots \mathrm{d}{y}^n={\int }_{\varphi (D)}f\circ {\varphi }^{-1}(\mathbf{x})\left|\det \right[\frac{\partial y^i}{\partial x^j}\left]\right|\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n\\ \ne {\int }_{\varphi (D)}f\circ {\varphi }^{-1}(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n.\end{array}$$

如上所述，$n$-形式在坐标变换中吸收一个雅可比行列式，事实证明它们是积分的理想对象。然而，流形必须是可定向的，以便可以省略积分变换律中出现的雅可比行列式的绝对值。

设 $(M,\omega )$ 为一个 $n$ 维有向可微流形，而 $(U,\varphi ;x^i)$ 为一个正定向坐标图。在 $U$ 上，我们可以写出 $\omega =g(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathrm{d}{x}^n$，其中 $g>0$。一个 $n$ 形式 $\alpha$ 的 支集(support) 定义为使 $\alpha \ne 0$ 的集合的闭包，

$$\mathrm{supp}\alpha =\overline{\{p\in M\mid {\alpha }_p\ne 0\}}.$$

若 $\alpha$ 具有包含于 $U_{:}$ 中的紧支集，且在 $U$ 上 $\alpha =f\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathrm{d}{x}^n$，则我们定义其在 $M$ 上的积分为

$${\int }_M\alpha ={\int }_{\varphi (U)}f\left(x^1,\dots ,x^n\right)\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n={\int }_{\varphi (\mathrm{supp}\alpha )}f\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n$$

其中 $f(x^1,\dots ,x^n)$ 通常用来代替 $\cdot \hat{f}=f\circ {\varphi }^{-1}.\mathrm{If}(V,\psi ;x^{\prime i})$，是第二个正向图卡，也包含 $\alpha$ 的支集，并且由多重积分中的变量替换公式，我们有 $f^{\prime }(x^{\prime 1},\dots ,x^{\prime n})\equiv f\circ {\psi }^{-1}$

$$\begin{array}{l}{\int }_{\psi (V)}{f}^{\prime }(x^{\prime 1},\dots ,x^{\prime n})\mathrm{d}{x}^{\prime 1}\dots \mathrm{d}{x}^{\prime n}={\int }_{\psi (\mathrm{supp}\alpha )}{f}^{\prime }({\mathbf{x}}^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime 1}\dots \mathrm{d}{x}^{\prime n}\\ ={\int }_{\varphi (\mathrm{supp}\alpha )}{f}^{\prime }({\mathbf{x}}^{\prime })\left|\det \right[\frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^j}\left]\right|\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n\\ ={\int }_{\varphi (U)}f(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}^1\dots \mathrm{d}{x}^n\end{array}$$

因为

$$\alpha =f\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n=f^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime 1}\wedge \cdots {\wedge }^{\prime n}\text{ where }f=f^{\prime }\det \left[\frac{\partial x^{\prime i}}{\partial x^j}\right]$$

并且雅可比行列式处处为正。因此，只要支集位于坐标卡的定义域内，积分的定义就与坐标卡无关。

对于任意具有紧支集的 $n$-形式 $\alpha$ 和图册 $(U_a,{\varphi }_a)$，假设其为局部有限的，令 $g_a$ 为从属于开覆盖 $\{U_a\}$ 的单位分解。显然

$$\alpha =\sum _a{g}_a\alpha$$

且每个被加项 $g_a\alpha$ 都具有包含于 $U_a$ 中的紧支集。我们定义 $\alpha$ 在 $M$ 上的积分为

$${\int }_M\alpha =\sum _a{\int }_M{g}_a\alpha .\text{\hspace{1em}(17.1)}$$

随文练习

证明 ${\int }_M$ 是线性算符，$\begin{array}{r}{\int }_M\alpha +c\beta ={\int }_M\alpha +c{\int }_M\beta .\end{array}$

若 $\alpha$ 是 $M$ 上具有紧支集的微分 $k$-形式，且 $\phi :N\to M$ 是 $k$ 维流形 $N$ 到 $M$ 的正则嵌入（见 15.4 节），则定义 $\alpha$ 在 $\phi (N)$ 上的积分为

$${\int }_{\phi (N)}\alpha ={\int }_N{\phi }^{\ast }\alpha .$$

右端是良定义的，因为 ${\phi }^{\ast }\alpha$ 是 $N$ 上具有紧支集的微分 $k$-形式，又因为 $\phi :M\to N$ 是关于 $M$ 的相对拓扑下从 $N$ 到 $\phi (N)$ 的同胚。

习题

习题 17.3

证明：式 (17.1) 中给出的 $n$-形式在流形 $M$ 上的积分定义，与从属于 $\{U_a\}$ 的单位分解的选取无关。