8.5 定向向量空间

English

$n$-向量与$n$-形式

设 $V$ 是维数为 $n$ 的向量空间，具有基 $\{e_1,...,e_n\}$ 和对偶基 $\{{\epsilon }^1,\dots ,{\epsilon }^n\}$。由于空间 ${\Lambda }^n(V)$ 和 ${\Lambda }^{\ast n}(V)$ 都是一维的，$n$-向量

$$E=e_{12\dots n}=e_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_n$$

构成${\Lambda }^n(V)$的一个基，而$n$-形式

$$\Omega ={\epsilon }^{12\dots n}={\epsilon }^1\wedge \cdots \wedge {\epsilon }^n$$

是 ${\Lambda }^{\ast n}(V)$ 的一个基。这些有时被称为与该基相关联的 体积元(volume element)。

随文练习

证明每个非零 $n$-向量都是与 $V$ 的某个基相关联的体积元。

给定一个基 $\{e_1,...,e_n\}$，每个 $n$-向量 $A$ 都有唯一的展开式

$$\begin{array}{l}A=aE=a{e}_1\wedge e_2\wedge \cdots \wedge e_n\\ =\frac{a}{n!}{\sum }_{\sigma }(-1{)}^{\sigma }{e}_{\sigma (1)}\otimes e_{\sigma (2)}\otimes \cdots \otimes e_{\sigma (n)}\\ =\frac{a}{n!}{ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_n}{e}_{i_1}\otimes e_{i_2}\otimes \cdots \otimes e_{i_n}\end{array}$$

其中 埃普西龙 符号，或 列维–奇维塔符号(Levi-Civita symbol)、${ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_n}$ 与 ${ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}$，由下式定义

$${ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_n}={ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{i}_1\dots i_n\text{ is an even permutation of }1,2,\dots ,n,\\ -1& \text{if }{i}_1\dots i_n\text{ is an odd permutation of }1,2,\dots ,n,\\ 0& \text{if any pair of indices are equal.}\end{array}\text{\hspace{1em}(8.21)}$$

埃普西龙符号在任意一对指标上显然都是反对称的。

随文练习

证明任意 $n$-形式 $\beta$ 都具有唯一展开

$$\beta =b\Omega =\frac{b}{n!}{ϵ}_{i_1\dots i_n}{\epsilon }^{i_1}\otimes \cdots \otimes {\epsilon }^{i_n}.$$

每个$n$-向量和$n$-形式都具有与埃普西龙符号成比例的张量分量，

$$\begin{array}{l}{A}^{i_1\dots i_n}=\frac{a}{n!}{ϵ}^{i_1\dots i_n},\\ {\beta }_{i_1\dots i_n}=\frac{b}{n!}{ϵ}_{i_1\dots i_n},\end{array}$$

并且令 $a=b=1$，我们有

$$E^{i_1\dots i_n}=\frac{1}{n!}{ϵ}^{i_1\dots i_n},{\Omega }_{i_1\dots i_n}=\frac{1}{n!}{ϵ}_{i_1\dots i_n}.\text{\hspace{1em}(8.22)}$$

$n$-向量与$n$-形式的变换律

出现在式 (7.26) 中的变换矩阵 $\mathsf{A}=[A_i^{i^{\prime }}]$ 满足

$$A_{i_1}^{i_1^{\prime }}{A}_{i_2}^{i_2^{\prime }}\dots A_{i_n}^{i_n^{\prime }}{ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_n}=\det [A_i^{i^{\prime }}]{ϵ}^{i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_n^{\prime }}.\text{\hspace{1em}(8.23)}$$

证明

若 $i_1^{\prime }=1,i_2^{\prime }=2,...,i_n^{\prime }=n$，则左侧是矩阵 $A$ 的行列式按通常方式展开为取自不同行与不同列的元素之乘积并带适当符号的和，而右侧是 $det$ $\mathsf{A}{ϵ}^{12\dots n}=\det \mathsf{A}$。由 埃普西龙 符号关于任意一对指标 $i$ 与 $j$ 的反对称性，我们有

$$\dots A_i^{i^{\prime }}\dots A_j^{j^{\prime }}\dots {ϵ}^{\dots i\dots j\dots }=-\dots A_j^{i^{\prime }}\dots A_i^{j^{\prime }}\dots {ϵ}^{\dots i\dots j\dots }=-\dots A_i^{j^{\prime }}\dots A_j^{i^{\prime }}\dots {ϵ}^{\dots i\dots j\dots },$$

并且整个表达式关于任意一对指标 $i^{\prime },j^{\prime }$ 都是反对称的。特别地，若 $i^{\prime }=j^{\prime }$ ，则它为零。因此，若 $\mathrm{if}\pi$ 是 $(1,2,\dots ,n)$ 的任意置换，使得 $i_1^{\prime }=\pi (1),i_2^{\prime }=\pi (2),\dots ,i_n^{\prime }=\pi (n)$ ，则式 (8.23) 的两边都乘以置换的符号 $(-1{)}^{\pi }$ ；而若任意一对指标 $i_1^{\prime }\dots i_n^{\prime }$ 相等，则方程两边都为零。

若 $A=aE$ 是任意 $n$-向量，则由张量分量的变换律，$Eq.(7.30)$

$$\begin{array}{rl}& A^{i_1^{\prime }\dots i_n^{\prime }}=A^{i_1\dots i_n}{A}_{i_1}^{i_1^{\prime }}\dots A_{i_n}^{i_n^{\prime }}\\ & =\frac{a}{n!}{ϵ}^{i_1\dots i_n}{A}_{i_1}^{i_1^{\prime }}\dots A_{i_n}^{i_n^{\prime }}\\ & =\det [A_i^{j^{\prime }}]\frac{a}{n!}{ϵ}^{i_1^{\prime }\dots i_n^{\prime }}.\end{array}$$

令 $A=a^{\prime }{E}^{\prime }$，可见因子 $a$ 的变换方式为

$$a^{\prime }=a\det [A_j^{i^{\prime }}]=a\det \mathsf{A}.\text{\hspace{1em}(8.24)}$$

如果$a=1$，我们就得到体积元的变换律，

$$E=\det \mathsf{A}{E}^{\prime },E^{\prime }=\det {\mathsf{A}}^{-1}E.\text{\hspace{1em}(8.25)}$$

与式 (8.23) 类似的公式对逆矩阵 ${\mathsf{A}}^{\prime }=[A^{\prime }{}_{j^{\prime }}^i]$ 成立，

$$A_{i_1^{\prime }}^{i_1}{A}_{i_2^{\prime }}^{i_2}\dots A_{i_n^{\prime }}^{i_n}{ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}=\det [A_{i^{\prime }}^i]{ϵ}_{i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_n^{\prime }},\text{\hspace{1em}(8.26)}$$

而 $n$ 次形式 $\begin{array}{r}\beta =b\Omega =\frac{b}{n!}{ϵ}^{12\dots n}=b^{\prime }{\Omega }^{\prime }\end{array}$ 的变换律为

$$b^{\prime }=b\det [A_{j^{\prime }}^{\prime i}]=b\det {\mathsf{A}}^{-1}\text{ that is }b=b^{\prime }\det \mathsf{A},\text{\hspace{1em}(8.27)}$$

$$\Omega =\det A^{-1}{\Omega }^{\prime },{\Omega }^{\prime }=\det A\Omega .\text{\hspace{1em}(8.28)}$$

随文练习

证明式 式 (8.26)–式 (8.28)。

注意，由式 8.23 和式 8.26 可知，在一般基变换下，埃普西龙 符号并不像张量的分量那样变换。然而，对于限制性的幺模变换集合，它们确实像张量那样变换，且有 $det$ $\mathsf{A}=\det [{\mathbf{A}}_i^{j^{\prime }}]=1$。特别地，对于笛卡尔张量，只要仅允许真正交变换，即旋转，它们就像张量那样变换。术语“张量密度”有时用来指代包含行列式因子的对象，如式 8.23 和式 8.26 中的那些，而在式 8.24 和式 8.27 中像 $a$ 或 $b$ 那样变换的标量量被称为“密度”。

定向向量空间

若两个基 $\{e_i\}$ 与 $\{e_{i^{\prime }}^{\prime }\}$ 的变换矩阵 $\mathsf{A}=[A_j^{i^{\prime }}]$ 在式 (7.26) 中具有正的行列式，即 $det$ $\mathsf{A}>0\mathsf{j}$，则称它们具有相同的定向；否则称它们具有相反的定向。当且仅当 $\{e_i\}$ 与 $\{e_{i^{\prime }}^{\prime }\}$ 具有相同定向时，记作 $\{e_i\}o\{e_{i^{\prime }}^{\prime }\}$，则容易证明 $o$ 是一个等价关系，并将 $V$ 上所有基的集合划分为两个等价类，称为 定向(orientation)。向量空间 $V$ 连同其定向的一个选择称为一个 定向向量空间(oriented vector space)。属于所选定向的任意基都称为正定向的，而具有相反定向的基则称为负定向的。

例 8.3

欧几里得三维空间 ${\mathbb{E}}^3$ 连同右手正交标准基 {$i$, $i$, $k$} 的选取，构成一个定向向量空间。该定向由与 $i$、$j$、$k$ 通过正行列式变换相联系的所有基的集合组成。左手坐标系具有相反的定向，因为基变换将涉及一个反射，其行列式为负。

例 8.4

设 $V$ 为一个 $n$ 维向量空间。将 $V$ 上所有体积元的集合记为 ${\dot{\Lambda }}^n(V)$ 和 ${\dot{\Lambda }}^{\ast n}(V)$。若 $A=cB$ 且 $c>0$，则称两个非零 $n$ 向量 $A$ 与 $B$ 具有相同的定向。这显然给出了 ${\dot{\Lambda }}^n(V)$ 上的一个等价关系，将其分成两个不相交的等价类。选取这两个类之一，是指定向量空间 $V_{;}$ 上定向的另一种方式，因为我们可以规定：若对于所选类中的所有体积元 $A$ 都有 $A=aE$ 且 $a>0$，则基 $\left\{{\mathbf{e}}_i\right\}$ 具有正定向。由式 (8.24) 和式 (8.25)，这等价于将 $V$ 上的基的集合分成两个类。

现在设 $V$ 是一个有向的 $n$ 维实内积空间，其指标为 $t=r-s$，其中 $n=r+s.\mathrm{If}\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 是任意一个正定向标准正交标架，使得

$$e_i\cdot e_j={\eta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}{\eta }_i=\pm 1& \text{ if }i=j,\\ 0& \text{ if }i\ne j,\end{array}$$

则 $r$ 是 1 的个数，而 $s$ 是 ${\eta }_i$ 中 1 的个数。由于伪正交变换的行列式均为 1，那些联系正定向正交标准基的变换必须满足 $det$ 为 1。因此，由式 (8.25)，体积元 $E=e_1\wedge e_2\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge e_n$ 与正定向正交标准基的选取无关，并且完全由 $V.$ 上的内积与定向决定。

由式 (8.22)，体积元 $E$ 关于任意正定向正交标准基的分量为

$$E^{i_1{i}_2\dots i_n}=\frac{1}{n!}{ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_n}.$$

相对于任意一个正定向基 $e_{i:}^{\prime }$，不一定正交归一，$E$ 的分量由式 (7.30) 和式 (8.23) 给出，

$$E^{\prime i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_n^{\prime }}=\det [A_i^{i^{\prime }}]\frac{1}{n!}{ϵ}^{i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_n^{\prime }}.\text{\hspace{1em}(8.29)}$$

请注意，这些是由原正交标准基确定的体积元 $E$ 的分量，其表示是相对于新基给出的，而不是由新基确定的体积元 $e_1^{\prime }\wedge e_2^{\prime }\wedge \cdots \wedge e_n^{\prime }$ 的分量。可以得出 式 (8.29) 右端分量的一个公式，它不依赖于变换矩阵 $A$。考虑由 $u\cdot v=g_{ij}{u}^i{v}^j$ 定义的度量张量分量的变换。

$$g_{i^{\prime }{j}^{\prime }}^{\prime }=g_{ij}{A}_{i^{\prime }}^{\prime i}{A}_{j^{\prime }}^{\prime j},$$

其可写成矩阵形式

$${\mathsf{G}}^{\prime }=({\mathsf{A}}^{-1}{)}^T\mathsf{G}{\mathsf{A}}^{-1}\text{ where }\mathsf{G}=[g_{ij}],{\mathsf{G}}^{\prime }=[g_{i^{\prime }{j}^{\prime }}^{\prime }].$$

取行列式

$$g^{\prime }=g(\det \mathsf{A}{)}^{-2}\text{ where }g=\det \mathsf{G}=\pm 1,g^{\prime }=\det {\mathsf{G}}^{\prime },$$

将其代入式（8.29），得到

$$E^{\prime i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_n^{\prime }}=\frac{1}{n!\sqrt{|g^{\prime }|}}{ϵ}^{i_1^{\prime }{i}_2^{\prime }\dots i_n^{\prime }}.$$

消去撇号后可知，由内积定义的体积元 $E$ 的分量在任意正定向基下可写为

$$E^{i_1{i}_2\dots i_n}=\frac{1}{n!\sqrt{|g|}}{ϵ}^{i_1{i}_2\dots i_n}.\text{\hspace{1em}(8.30)}$$

对 $E$ 进行降指标，我们得到

$$\begin{array}{rl}& E_{i_1{i}_2\dots i_n}=g_{i_1{j}_1}{g}_{i_2{j}_2}\dots g_{i_n{j}_n}{E}^{j_1{j}_2\dots j_n}\\ & =\frac{1}{n!\sqrt{|g|}}{g}_{i_1{j}_1}{g}_{i_2{j}_2}\dots g_{i_n{j}_n}{ϵ}^{j_1{j}_2\dots j_n}\\ & =\frac{1}{n!\sqrt{|g|}}g{ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}.\end{array}$$

由于行列式$g$的符号等于( 1)${}^s$，我们在任何正定向基中都有，

$$E_{i_1{i}_2\dots i_n}=(-1{)}^s\frac{\sqrt{|g|}}{n!}{ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}.\text{\hspace{1em}(8.31)}$$

随文练习

证明由正定向标准正交基定义的 $n$-形式 $\Omega ={\epsilon }^{12\dots n}$ 的分量为

$${\Omega }_{i_1{i}_2\dots i_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{n!}{ϵ}_{i_1{i}_2\dots i_n}=(-1{)}^s{E}_{i_1{i}_2\dots i_n}.\text{\hspace{1em}(8.32)}$$

埃普西龙符号恒等式

埃普西龙符号满足若干基本恒等式，其中最一般的是

$${ϵ}_{i_1\dots i_n}{ϵ}^{j_1\dots j_n}={\delta }_{i_1\dots i_n}^{j_1\dots j_n},\text{\hspace{1em}(8.33)}$$

其中 广义克罗内克符号(generalized delta symbol) $\delta$-符号定义为

$${\delta }_{i_1\dots i_r}^{j_1\dots j_r}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }{j}_1\dots j_r\text{ is an even permutation of }{i}_1\dots i_r,\\ -1& \text{if }{j}_1\dots j_r\text{ is an odd permutation of }{i}_1\dots i_r,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}\text{\hspace{1em}(8.34)}$$

对式（8.33）关于所有指标作全缩并，得到

$${ϵ}_{i_1\dots i_n}{ϵ}^{i_1\dots i_n}=n!.\text{\hspace{1em}(8.35)}$$

将式（8.33）对前$n$个指标缩并，得到

$${ϵ}_{i_1\dots i_{n-1}j}{ϵ}^{i_1\dots i_{n-1}k}=(n-1)!{\delta }_j^k,\text{\hspace{1em}(8.36)}$$

因为若 $k\ne j$，则求和式 ${\delta }_{i_1\dots i_{n-1}j}^{i_1\dots i_{n-1}k}$ 中的每一项都为零，这是由于在每一个被加项中，必有一对上标或一对下标相等；而若 $k=j$，则该表达式是 $(n-1)!$ ! 个项之和，每项的值为 +1。

由式（8.34）得到的最一般的缩并恒等式是

$${ϵ}_{i_1\dots i_{n-r}{j}_1\dots j_r}{ϵ}^{i_1\dots i_{n-r}{k}_1\dots k_r}=(n-r)!{\delta }_{j_1\dots j_r}^{k_1\dots k_r},\text{\hspace{1em}(8.37)}$$

其中右侧的$\delta$符号可以用克罗内克

增量，

$$\begin{array}{c}{\delta }_{j_1\dots j_r}^{k_1\dots k_r}={\sum }_{\sigma }(-1{)}^{\sigma }{\delta }_{j_{\sigma (1)}}^{k_1}{\delta }_{j_{\sigma (2)}}^{k_2}\dots {\delta }_{j_{\sigma (r)}}^{k_r}\\ ={\delta }_{j_1}^{k_1}{\delta }_{j_2}^{k_2}\dots {\delta }_{j_r}^{k_r}-{\delta }_{j_2}^{k_1}{\delta }_{j_1}^{k_2}\dots {\delta }_{j_r}^{k_r}+\dots ,\end{array}\text{\hspace{1em}(8.38)}$$

一个和 $o$ $\setminus r!$ 项，其中 $j_i$ 指标取遍 $j_1,j_2,\dots ,j_r$ 的每一个置换

例 8.5

在三维中，我们有

$$\begin{array}{rl}& {ϵ}_{ijk}{ϵ}^{lmn}={\delta }_i^l{\delta }_j^m{\delta }_k^n-{\delta }_i^l{\delta }_j^n{\delta }_k^m+{\delta }_i^m{\delta }_j^n{\delta }_k^l-{\delta }_i^m{\delta }_j^l{\delta }_k^n+{\delta }_i^n{\delta }_j^l{\delta }_k^m-{\delta }_i^n{\delta }_j^m{\delta }_k^l,\\ & {ϵ}_{ijk}{ϵ}^{imn}={\delta }_j^m{\delta }_k^n-{\delta }_k^m{\delta }_j^n,\\ & {ϵ}_{ijk}{ϵ}^{ijn}=2{\delta }_k^n,\\ & {\delta }_{ijk}{ϵ}^{ijk}=6.\end{array}$$

最后三个恒等式在笛卡尔张量中特别有用，其中对重复下标使用求和约定，得到

$${ϵ}_{ijk}{ϵ}_{imn}={\delta }_{mj}{\delta }_{nk}-{\delta }_{mk}{\delta }_{nj},{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ijn}=2{\delta }_{nk},{\delta }_{ijk}{ϵ}_{ijk}=6.$$

例如，两个向量 $\mathbf{u}=u_i{\mathbf{e}}_i$ 和 $\mathbf{v}=v_i{\mathbf{e}}_i$ 的向量积 $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ 定义为分量由下式给出的向量

$$(\mathbf{u}\times \mathbf{v}{)}_k={ϵ}_{ijk}(u\wedge v{)}^{ij}={ϵ}_{kij}{u}_i{v}_j.$$

向量恒等式

$$\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\cdot \mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{w}$$

这由[]得出。

$$\begin{array}{c}(\mathbf{u}\times (\mathbf{v}\times \mathbf{w}){)}_i={ϵ}_{ijk}{u}_j{ϵ}_{klm}{v}_l{w}_m\\ =({\delta }_{il}{\delta }_{jm}-{\delta }_{im}{\delta }_{jl})u_j{v}_l{w}_m=(u_j{w}_j)v_i-(u_j{v}_j)w_i=((\mathbf{u}\cdot \mathbf{w})\mathbf{v}-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})\mathbf{w}{)}_i.\end{array}$$

随文练习

证明恒等式 $(\mathbf{u}\times \mathbf{v}{)}^2={\mathbf{u}}^2{\mathbf{v}}^2-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}{)}^2$