17.4 同调与上同调

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在上一节中，我们考虑了可细分为“立方”部分的区域。虽然这在积分方面具有实际优势，并使斯托克斯定理的证明相对直接，但同调论通常以三角形胞腔为基础。这一改变没有本质区别，因为任何 $k$ 维立方体都容易三角剖分，反之亦然。例如，二维中的三角形很容易分成正方形（见图 17.4）。将四面体分成四个立方区域较难直观想象，留作读者的练习。

欧几里得空间中的有序单形与链

欧几里得空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的点集 $\{{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_p\}$ 称为 独立点组(independent points)，如果 $p$ 个向量 ${\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_0(i=1,\dots ,p)$ 线性无关。以这些点为顶点的 有序单纯形(ordered simplex) $p$-单纯形由它们的凸包组成，

$$⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩=\left\{\mathbf{y}=\sum _{i=0}^p{t}^i{\mathbf{x}}_i\mid \text{ all }{t}^j\ge 0\text{ and }\sum _{i=0}^p{t}^i=1\right\},$$

连同顶点 $({\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_p)$ 的一个特定排序。我们常将一个有序 $r$-单形用诸如 $\Delta$ 或 ${\Delta }_p$ 的符号表示。若两个具有相同顶点集合的有序 $p$-单形的排序相差一个偶置换，则视为相同；否则赋予相反的符号。例如，

图 17.4 将三角形划分为“立方”胞腔

$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}⟩=-⟨\mathbf{x},\mathbf{z},\mathbf{y}⟩=⟨\mathbf{y},\mathbf{z},\mathbf{x}⟩.$$

${\mathbb{R}}^n$ 上的 标准单纯形(standard simplex) $n$-单纯形是 ${\bar{\Delta }}_n=⟨0,{\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n⟩$，其中 ${\mathbf{e}}_i$ 是第 $i$ 个基向量 ${\mathbf{e}}_i=(0,0,\dots ,1,\dots ,0)$，即

$${\bar{\Delta }}_n=\left\{\left(t_1,t_2,\dots ,t_n\right)\mid \sum _{j=1}^n{t}_j=1\text{ and }0\le t_i\le 1(i=1,\dots ,n)\right\}\subset {\mathbb{R}}^n.$$

一个0-单形${\mathbf{X}}_0$是一个单点${\mathbf{X}}_0$连同正号或负号。

一个1-单形${\mathbf{X}}_0,{\mathbf{X}}_1$是从${\mathbf{X}}_0$到${\mathbf{X}}_1$的闭有向线段。

一个2-单形${\mathbf{X}}_0,{\mathbf{X}}_1,{\mathbf{X}}_2$是一个有向三角形，其中顶点按确定的顺序排列。

一个3-单形是一个四面体，其中顶点再次被赋予一个特定的阶，且该阶在偶置换下保持不变。这些例子在图17.5中示出。

一个$p$-链(chain)是形式和$\begin{array}{r}C={\sum }_{\mu =1}^M{c}^{\mu }{\Delta }_{\mu }\end{array}$，其中$a_{\mu }$是实数，${\Delta }_{\mu }$是${\mathbb{R}}^n$中的$p$-单形。${\mathbb{R}}^n$上所有$p$-链的集合显然是一个向量空间，记作${\mathcal{C}}_p({\mathbb{R}}^n)$

一个 $p$-单纯形 $\Delta =⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩$ 的第 $i$ 个 面(face) 定义为有序的 $(p-1)$ 单纯形

$${\Delta }_i=(-1{)}^i⟨{\mathbf{x}}_0,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_i,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩\equiv (-1{)}^i⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_{i-1},{\mathbf{x}}_{i+1},\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩,$$

而一个 $p$-单形 $\Delta$ 的边界定义为该 $(p-1)$-链

$$\partial \Delta =\sum _{i=0}^p{\Delta }_i=\sum _{i=0}^p(-1{)}^i⟨{\mathbf{x}}_0,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_i,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩,$$

图 17.5 标准低维 $p$-单形

并通过线性性延拓到所有$p$-链。例如，

$$\begin{array}{c}\partial ⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1⟩=⟨{\mathbf{x}}_1⟩-⟨{\mathbf{x}}_0⟩,\\ \partial ⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2⟩=⟨{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2⟩-⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_2⟩+⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1⟩,\\ \partial ⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3⟩=⟨{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3⟩-⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3⟩+⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_3⟩-⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2⟩.\end{array}$$

对每个 $p=0,\dots ,n$，边界算符通过设定以下内容生成一个线性映射 $\partial :{\mathcal{C}}_p({\mathbb{R}}^n)\to {\mathcal{C}}_{p-1}({\mathbb{R}}^n)$

$$\partial \left(\sum _{\mu }{c}^{\mu }{\Delta }_{\mu }\right)=\sum _{\mu }{c}^{\mu }\partial {\Delta }_{\mu }.$$

若我们将任意 0-形式的边界定义为零链，$\partial \mathbf{x}=0$ 则显然可见，对任意 1-单形连续两次应用边界算符的结果为零，

$${\partial }^2⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1⟩=\partial (⟨{\mathbf{x}}_1⟩-⟨{\mathbf{x}}_0⟩)=0-0=0.$$

该恒等式可推广到任意$p$-单纯形，对于

$$\begin{array}{l}\partial \partial ⟨{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩={\sum }_{i=0}^p\partial (-1{)}^i⟨{\mathbf{x}}_0,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_i,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩\\ ={\sum }_{i=0}^p(-1{)}^i[{\sum }_{j<i}(-1{)}^j⟨{\mathbf{x}}_0,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_j,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_i,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩\\ +{\sum }_{j>i}(-1{)}^{j+1}⟨{\mathbf{x}}_0,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_i,\dots ,{\hat{\mathbf{x}}}_j,\dots ,{\mathbf{x}}_p⟩]\\ =0\end{array}$$

因为所有项都成对相消。恒等式 ${\partial }^2=0$ 由边界算符 $\partial$ 在 ${\mathcal{C}}_p({\mathbb{R}}^n)$ 上的线性性推出。

随文练习

请对2-胞腔${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2$和3-胞腔${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_3$，明确写出此论证中各项的相消。

一个$p$-链$C$若没有边界(boundary)，即$\partial C=0.$，则称其为循环(cycle)。若存在一个$(p+1)$-链$C^{\prime }$使得$C=\partial C^{\prime }$，则称其为边界。显然，每个边界都是$p$-循环，因为$\partial C={\partial }^2{C}^{\prime }=0$，但反之未必成立。

流形上的单纯同调

设 $M$ 为一个 $n$ 维可微流形。一个 (奇异单纯形(singular simplex)) $p$-单纯形 ${\sigma }_p$ 在 $M$ 上是一个光滑映射 $\varphi :U\to M$，其中 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^p$ 的一个开子集，包含标准 $p$-单纯形 ${\bar{\Delta }}_p$。$M$ 上的一个 $p$-链是 $M$ 上 $p$-单纯形的形式线性组合，

$$C=\sum _{\mu =1}^M{c}^{\mu }{\sigma }_{p\mu }(c^{\mu }\in \mathbb{R}),$$

并且令${\mathcal{C}}_p(M)$为由$M$上所有$p$-单形生成的实向量空间

对每个 $i=1,2,\dots ,p-1$，记 ${\phi }_i:{\mathbb{R}}^{p-1}\to {\mathbb{R}}^p$ 为将 ${\mathbb{R}}^{p-1}$ 嵌入 ${\mathbb{R}}^p$ 的平面 $x^i=0$ 中的映射，

$${\phi }_i(x^1,\dots ,x^{p-1})=(x^1,\dots ,x^i,0,x^{i+1},\dots ,x^{p-1}),$$

而对于 $i=0$ 集合

$${\phi }_0(x^1,\dots ,x^{p-1})=(1-\sum _{i=1}^{p-1}{x}^i,x^1,\dots ,x^{p-1}).$$

映射 ${\phi }_0,{\phi }_1,\dots ,{\phi }_{p-1}$ 是 ${\mathbb{R}}^p$ 中的 $(p-1)$-单形，其支集是标准 $p$-单形 ${\bar{\Delta }}_p$ 的各个面，

$${\phi }_i({\bar{\Delta }}_{p-1})={\bar{\Delta }}_{pi}(i=0,1,\dots ,p-1).$$

若 $\sigma$ 是 $M$ 中的一个 $p$-单形，则定义其第 $i$ 个面为 $(p-1)$-单形

$${\sigma }_i=\sigma \circ {\phi }_i:{\bar{\Delta }}_{p-1}\to M,$$

并且其边界为$(p-1)$-链

$${\partial }_p\sigma =\sum _{i=0}^{p-1}(-1{)}^i{\sigma }_i.$$

通过线性性延拓到所有链 $C\in {\mathcal{C}}_p(M)$ ，

$${\partial }_{p}C=\partial \sum _{\mu =1}^M{c}^{\mu }{\sigma }_{p\mu }=\sum _{\mu =1}^M{c}^{\mu }\partial {\sigma }_{p\mu }.$$

一个 $p$-边界 $B$ 是 $M$ 上的奇异 $p$-循环，它是某个 $(p+1)$-链的边界，$B={\partial }_{p+1}C.\mathrm{A}$ $p$-循环 $C$ 是 $M$ 上的奇异 $p$-链，其边界为零，${\partial }_{p}C=0$ 由于 ${\partial }^2=0$，显然每个 $p$-边界都是 $p$-循环。

若令 $B_p(M)$ 为 $M,$ 上所有 $p$-边界的集合，而 $Z_p(M)$ 为所有 $p$-循环，则二者都是 ${\mathcal{C}}_p(M)$ 的向量子空间

$$\begin{array}{l}{B}_p(M)=\mathrm{im}{\partial }_{p+1},\\ Z_p(M)=\ker {\partial }_p\supseteq B_p(M).\end{array}$$

我们定义第$p$个同调空间(homology space)为商空间

$$H_p(M)=Z_p(M)/B_p(M).$$

通常这被称为第$p$个同调群(homology group)，其中只有阿贝尔群性质是相关的。若两个循环$C_1$与$C_2$属于同一个同调类，即存在一个链$C$使得$C_1-C_2=\partial C$，则称它们是同调的(homologous)的。第$p$个同调空间的维数称为第$p$个贝蒂数(Betti number)，

$$b_p=\dim H_p(M),$$

以及该量

$$\chi (M)=\sum _{p=0}^n(-1{)}^p{b}_p$$

被称为流形 $M$ 的 欧拉示性数(Euler characteristic)。一个我们不会尝试证明的非平凡结果是，贝蒂数是拓扑不变量——两个拓扑同胚的流形具有相同的贝蒂数和欧拉示性数 [13]。

例 17.4

由于 $\partial 0=0$，流形 $M$ 中的每个 0-单形都具有边界 0。因此，$M$ 中的每个 0-链都是 0-循环，并且 $Z_0(M)={\mathcal{C}}_0(M)$。第零同调空间 $H_0(M)=Z_0(M)/B_0(M)$ 计数的是不是 1-链的边界的 0-链的数目。由于 1-单形本质上是一条光滑曲线 $\sigma :[0,1]\to M$，它具有边界 $\sigma (1)-\sigma (0)$），其中我们将 0-单形映射 $\bullet \to p\in M$ 简单地用其像点 $p$ 表示。两个 0-单形 $p$ 和 $q$ 是同调的，如果 $p-q$ 是一个边界；也就是说，如果它们是连接它们的光滑曲线的端点。这成立当且仅当它们属于 $M$ 的同一个连通分支。因此，$H_0(M)$ 由一组单形 $\{p_0,p_1,\dots \}$ 张成，每个连通分支取一个，来自 $M$ 的每个连通分支，并且第零贝蒂数 ${\beta }_0$ 是拓扑空间 $M$ 的连通分支的数目。

德拉姆上同调群与对偶

设 ${\mathcal{C}}^r(M)={\Lambda }_r(M)$ 为所有 $r$-形式在 $M$ 上构成的实向量空间。它的元素也称为 $M$ 上的 $r$-上链(cochain)。外微分 $d$ 是一个线性算符 $d$：$\begin{array}{r}\begin{array}{r}{\mathcal{C}}^r(M)\to {\mathcal{C}}^{r+1}(M)\end{array}\end{array}$，对每个 $r=0,1,\dots ,n$ 成立，并具有性质 ${\mathrm{d}}^2=0$）。我们将其在 ${\mathcal{C}}^r(M)$ 上的限制记为 $d$。

一个微分 $r$-形式 $\alpha$ 若满足 $\mathrm{d}\alpha =0$，则称为 闭形式(closed form)；若存在一个 $(r-1)$-形式 $\beta$ 使得 $\alpha =\mathrm{d}\beta$，则称为 恰当形式(exact form)。显然，每个恰当 $r$-形式都是闭的，因为 ${\mathbf{d}}^2\mathbf{\beta }=0$。用上链的语言，这些定义可表述如下：一个 $r$-上链 $\alpha$ 若是一个闭微分形式，则称为 $r$-上闭链(cocycle)；而若它是恰当的，则称为 $r$-上边界链(coboundary)。我们将 $r$-上闭链的向量子空间记为 $Z^r(M)$，将 $r$-上边界链的子空间记为 $B^r(M)$

$$\begin{array}{l}{Z}^r(M)=\{\alpha \in {\mathcal{C}}^r(M)|\mathrm{d}\alpha =0\}=\ker {\mathrm{d}}_r\subset {\mathcal{C}}^r(M)\\ B^r(M)=\{\alpha \in {\mathcal{C}}^r(M)|\alpha =\mathrm{d}\beta ,\beta \in {\mathcal{C}}^{r-1}(M)\}=\mathrm{im}{\mathrm{d}}_{r-1}\subset Z^r(M).\end{array}$$

第 $r$ 个 德拉姆上同调(de Rham cohomology) 空间（群）定义为商空间 $H^r(M)=Z^r(M)/B^r(M)$，并且任意两个 $r$ 上闭链 $\alpha$ 与 $\beta$ 称为 上同调的(cohomologous)，如果它们属于同一个陪集，即对某个 $(r-1)$ 上链 $\gamma$ 有 $\alpha -\beta =\mathrm{d}\gamma$。向量空间 $H^r(M)$ 的维数记为 $b^r$。

例 17.5

由于不存在次数为 1 的微分形式，我们总是令 $B^0(M)=$ 0。因此 $H^0(M)=Z^0(M)$。一个 0-形式 $f$ 是闭的且属于 $Z^0(M)$，当且仅当 $\mathrm{d}f=0$。因此 $f=\mathrm{const}$。在 $M$ 的每个连通分支上，并且 $H^0(M)=\mathbb{R}+\mathbb{R}+\cdots +\mathbb{R},$，每个这样的连通分支贡献一项。因此 $b^0=b_0$ 是 $M$ 的连通分支数（见例 17.4）。

例 17.6

若 $M=\mathbb{R}$，则由前一例可知，当 $\mathrm{d}\omega =0$ 时 $H^0(\mathbb{R})=\mathbb{R}.\mathrm{A}1-\mathrm{form}\omega \in {\mathcal{C}}^1(M)$ 是闭的。令 $\omega =f(x)$ $dx$，我们显然总可以写成

$$\omega =\mathrm{d}f=\frac{\mathrm{d}F}{x}\text{ where }F(x)={\int }_0^{x}f(y)\mathrm{d}y.$$

因此每个闭的1-形式都是恰当的，且 $H^1(\mathbb{R})=0,b^1=0$。不难验证，这也是贝蒂数的值，$b_1=0$

通过设定 $⟨,⟩:{\mathcal{C}}_r(M)\times {\mathcal{C}}^r(M)\to \mathbb{R}$ 来定义一个括号

$$⟨C,\alpha ⟩={\int }_C\alpha .$$

对每个 $r$-链 $C\in {\mathcal{C}}_r(M)$ 和 $r$-上链 $\alpha \in {\mathcal{C}}^r(M)={\Lambda }_r(M)$。对每个 $\alpha$，映射 $C\mapsto ⟨C,\alpha ⟩$ 在 ${\mathcal{C}}_r(M)$ 上显然是线性的；并且对每个 $C\in {\mathcal{C}}_r(M)$，映射 $\alpha \mapsto ⟨C,\alpha ⟩$ 在 ${\mathcal{C}}^r(M)$ 上是线性的。由斯托克斯定理，外微分 $d$ 是边界算符 $\partial$ 关于此括号的伴随，其意义是

$$⟨C,\mathrm{d}\alpha ⟩=⟨\partial C,\alpha ⟩.$$

括号在$H_r(M)\times H^r(M)$上通过设定诱导出一个括号，

$$⟨[C],[\alpha ]⟩=⟨C,\alpha ⟩={\int }_C\alpha$$

对于任意一对 $[C]\in H_r(M)\mathrm{and}[\alpha ]\in H^r(M)$，它不依赖于同调类和上同调类中代表元的选取，因为若 $C^{\prime }=C+\partial C_1$ 且 ${\alpha }^{\prime }=\alpha +\mathrm{d}{\alpha }_1$，其中

$\partial C=0$ 与 $\mathrm{d}\alpha =0$，则

$$\begin{array}{l}⟨C^{\prime },{\alpha }^{\prime }⟩={\int }_{C+\partial C_1}\alpha +\mathrm{d}{\alpha }_1\\ ={\int }_C\alpha +{\int }_{\partial C_1}\alpha +{\int }_C\mathrm{d}{\alpha }_1+{\int }_{\partial C_1}\mathrm{d}{\alpha }_1\\ ={\int }_C\alpha +{\int }_{C_1}\mathrm{d}\alpha +{\int }_{\partial C}{\alpha }_1+{\int }_{{\partial }^2{C}_1}{\alpha }_1\text{ by Stokes’ theorem }\\ ={\int }_C\alpha =⟨C,\alpha ⟩.\end{array}$$

对任意固定的 $r$-上同调类 [$\alpha$]，由下式给出的映射 $f_{[\alpha ]}:H_p(M)\to \mathbb{R}$

$$f_{[\alpha ]}([C])=⟨[C],[\alpha ]⟩$$

是 $H_r(M)$ 上定义良好的线性泛函。德拉姆 定理断言，$H_r(M)$ 上的线性泛函与上同调类 $[\alpha ]\in H^r(M)$ 之间的这种对应是双射。

定理 17.4 · 德拉姆定理 (de Rham’s theorem)

(德拉姆) 由 $([C],[\alpha ])\mapsto ⟨[C],[\alpha ]⟩$ 定义的 $H_r(M)\times H^r(M)\to \mathbb{R}$ 上的双线性映射在两个自变量中均非退化。也就是说，$H$ ($M$) 上的每个线性泛函都具有 $f_{[\alpha ]}for$ 一个唯一确定的 $r$-上同调类 [$\alpha$] 的形式。

该证明超出本书范围，可在[6, 10]中找到。有多种方式表述德拉姆定理。本质上，它表明第$r$上同调群与第$r$同调群的对偶空间同构，

$$H^r(M)\cong {\left(H_r(M)\right)}^{\ast }.$$

如果贝蒂数是有限的，那么 $b^r=b_r$

闭的$r$-形式$\alpha$在$r$-循环$C$上的积分

$$⟨C,\alpha ⟩={\int }_C\alpha$$

有时被称为 $\alpha$ 的 周期(period)。由斯托克斯定理，若 $\alpha$ 是恰当形式，则 $\alpha$ 的所有周期都为零，而任何闭的 $r$-形式在边界 $r$-循环 $C=\partial C^{\prime }$ 上的周期为零。设 $C_1,\dots ,C_k$ 是 $Z_r(M)$ 中 $k=b_r$ 个线性无关的循环，使得当 $i\ne j$ 时 $[C_i]\ne [C_j]$。德拉姆定理蕴含，一个 $r$-形式 $\alpha$ 是恰当的，当且仅当所有周期 ${\int }_{C_i}\alpha =0$。若 $\alpha$ 是恰当的，则我们已经指出它的所有周期都为零。逆命题由以下事实推出：对每个 $[C]\in H_r(M)$ 都有 $⟨[C],[\alpha ]⟩=0$，因为 [$C$] 可以展开为 $[C]={\sum }_{i=1}^k[C_i]$。由乘积的非退化性，我们必须有 $[\alpha ]=0$，从而对某个 $(r-1)$-形式 $\beta .$ 有 $\alpha =\mathrm{d}\beta$。

习题

习题 17.9

证明任意四面体都可以分割为“立方体”区域。描述一种对一般的 $k$-单纯形实现同样结果的方法。

习题 17.10

对于外代数 ${\Lambda }^{\ast }(M)$ 的任意一对子空间 $H$ 与 $K$，令 $H\wedge K$ 为所有满足 $\alpha \in H,\beta \in K$ 的 $\alpha \wedge \beta$ 所张成的向量子空间。证明

(a) $Z^p(M)\wedge Z^q(M)\subseteq Z^{p+q}(M),$

(b) $Z^p(M)\wedge B^q(M)\subseteq B^{p+q}(M).$

(c) $B^p(M)\wedge B^q(M)\subseteq B^{p+q}(M)$

习题 17.11

证明：对任意实数集合 $a_1,\dots ,a_k$，存在一个闭的 $r$-形式 $\alpha$，其周期为 ${\int }_{C_i}\alpha =a_i$

习题 17.12

$\mathrm{If}{S}^1$ 是单位圆，证明 $b^0=b^1=1$