17.1 单位分解

English

给定拓扑空间 $S,$ 的一个开覆盖 $\{U_i|i\in I\}$，若对于每个 $i\in I$ 都有 $V_a\subseteq U_i$，则称 $S$ 的开覆盖 $\{V_a\}$ 为 $\{U_i\}$ 的 加细(refinement)。若每一点 $p$ 至多属于有限个 $V_a\bar{\mathbf{s}}.$，则称该加细是 局部有限的(locally finite)。若对每个开覆盖 $U_i\left(i\in I\right)$ 都存在局部有限的加细，则称拓扑空间 $S$ 是 仿紧的(paracompact)。由于可以证明每个局部紧 Hausdorff 第二可数空间都是仿紧的 [12]，因此从现在起我们将注意力限制在作为仿紧拓扑空间的流形上。

给定流形 $M$ 的一个局部有限开覆盖 $\{V_a\}$，从属于覆盖 $\{V_a\}$ 的一个 单位分解(partition of unity) 由一族可微函数 $g_a:M\to$ $R$ 组成，使得

(1) 对所有 $\alpha ,$，在 $M$ 上 $0\le g_a\le 1$，

(2) 对所有 $p\notin V_a.$，$g_a(p)=0$

$$(3)\sum _a{g}_a(p)=1\text{ for all }p\in M.$$

重要的是覆盖是局部有限的，从而使得(3)中的和化为有限和。

定理 17.1 · 单位分解的存在性 (Existence of partitions of unity)

对于仿紧流形 $M$ 的每个局部有限的覆盖 $\{V_a\}$，都存在从属于此加细的单位分解 $\{g_a\}$。

证明

对每个 $p\in M$，设 $B_p$ 为 $p$ 的开邻域，使其闭包 $\overline{B_p}$ 是紧的，并且包含在某个 $V_a-$ 中；例如，取 $B_p$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中某个小坐标球的逆像。由于集合 $\{B_p\}$ 构成 $M,$ 的开覆盖，它们有一个局部有限的加细 $\{B_{\alpha }^{\prime }\}$。对每个 $\alpha$，设 $V_a^{\prime }$ 为所有闭包满足 $\overline{B_{\alpha }^{\prime }}\subset V_a$ 的 $B_{\alpha }^{\prime }$ 的并集。由于对某个 $p$ 和 $a,$ 有 $\overline{B_{\alpha }^{\prime }}\subset \overline{B_p}\subset V_a$，因此集合 $V_a^{\prime }$ 构成 $M$ 的开覆盖。对每个 $\alpha$，$V_a^{\prime }$ 的闭包是紧的，并且，由覆盖 $\{B_{\alpha }^{\prime }\}$ 的局部有限性

$$\overline{V_a^{\prime }}=\bigcup \overline{B_{\alpha }^{\prime }}\subset V_a.$$

如引理 16.1 所示，对于任意点 $p\in \overline{V_a^{\prime }}$，可以找到可微函数 $h_p:M\to$ $R$，使得 $h_p(p)=1$，且在 $M-V_a$ 上 $h_p=0$。 对每个点 $p\in \overline{V_a^{\prime }}$，令 $U_p$ 为开邻域 $\{q\in V_a\mid f_p(q)>\frac{1}{2}\}$。 由于$\overline{V_a^{\prime }}$是紧致的， 存在一个有限子覆盖 $\{U_{p_1},\dots ,U_{p_k}\}$。 函数$h_a=h_{p1}+\cdot \cdot \cdot +h_{p_k}$具有以下三条性质：$(\mathrm{i})h_a\ge 0\mathrm{on}M,(\mathrm{ii})h>0$在$\overline{V_a^{\prime }}$上， 且(iii)在$V_{a\cdot }\mathrm{As}\left\{V_a\right\}$之外$h_a=0$是$M$的局部有限的覆盖， 函数$h={\sum }_a{h}_a$是良定义的， 并且在 $M$ 上处处为正。 函数$g_a=h_a/h$满足从属于$V_a$的单位分解的所有要求

现在我们可以从任意一个图册 $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha };x_{\alpha }^i)$ 出发，在流形 $M$ 上构造一个处处非零的 $n$-形式，只要该图册的所有重叠区域上雅可比行列式均为正。设 $\{V_a\}$ 是 $\{U_{\alpha }\}$ 的一个局部有限的加细，且 $g_a\mathrm{a}$ 是附属于 $\{V_a\}$ 的单位分解。由 ${\varphi }_a={\varphi }_{\alpha }{|}_{V_a}$ 和 $x_a^i=x_{\alpha }^i{|}_{V_a}$ 给出的图卡 $(V_a,{\varphi }_a;x_a^i)$ 构成 $M$ 上的一个图册，并且

$$\omega =\sum _a{g}_a\mathrm{d}{x}_a^1\wedge \mathrm{d}{x}_a^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_a^n$$

是 $M$ 上处处不为零的微分 $n$-形式。

例 17.1

可以将莫比乌斯带(Möbius band)看作一条纸带，将其扭转后把两端粘合在一起，如图17.1所示。例如，令$M=\{(x,y)|-2\le x\le 2,-1<y<1\}$，其中端边按相反方向等同，$(2,y)\equiv (-2,-y)$。这个流形可由两个坐标卡覆盖

图 17.1 莫比乌斯带

$$(U=\{(x,y)|-2<x<2,-1<y<1\},\varphi ={\mathrm{id}}_U)\text{ and }(V=V_1\cup V_2,\psi )\text{ where }$$ $$V_1=\{(x,y)|-2\le x<-1,-1<y<1\},$$ $$V_2=\{(x,y)|1\le x<2,-1<y<1\},$$ $$(x^{\prime },y^{\prime })=\psi (x,y)=\{\begin{array}{ll}(x+2,y)& \text{ if }(x,y)\in V_1,\\ (x-2,-y)& \text{ if }(x,y)\in V_2.\end{array}$$

雅可比行列式在 $U\cap V_1$ 上为 1，在 $U\cap V_2$ 上为 1，因此这两个图并非处处具有相同的定向。莫比乌斯带不可定向，因为若存在一个处处非零的 2-形式 $\omega$，则我们将有 $\omega =f\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$，其中 $f(x,y)>0$ 或 $f(x,y)<0$ 在 $U$ 上处处成立。令 $\omega =f^{\prime }\mathrm{d}{x}^{\prime }\wedge \mathrm{d}{y}^{\prime }$，我们在 $V_2$ 上有 $f^{\prime }=f\mathrm{on}{V}_1$ 和 $f^{\prime }=-f$。因此 $f^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 必须在直线 $x=\pm 2$ 上为零，这与 $\omega$ 处处非零相矛盾。