17.5 庞加莱引理

English

每个恰当微分形式都是闭的这一事实具有某种局部逆命题。

定理 17.5 · 庞加莱引理 (Poincaré lemma)

（庞加莱引理）在任何同胚于 ${\mathbb{R}}^n$ 的开集 $U\subseteq M$ 上，每个次数为 $k\ge 1$ 的闭微分形式都是恰当的：若在 $U$ 上 $\mathrm{d}\alpha =0$，其中 $\alpha \in {\Lambda }_k(U)$，则存在 $U$ 上的一个 $(k-1)$-形式 $\beta$，使得 $\alpha =\mathrm{d}\beta$

证明

我们在 ${\mathbb{R}}^n$ 本身上证明该定理，其坐标为 $x^1,\dots ,x^n$ ，并令 $\alpha ={\alpha }_{i_1{i}_2\dots i_k}(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_2}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathrm{d}{x}^{i_k}$ 。设 ${\alpha }^t\left(0\le t\le 1\right)$ 为 $k-$ 形式的一参数族

$${\alpha }^t={\alpha }_{i_1\dots i_k}(t\mathbf{x})d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_k}.$$

由下式定义的映射 $h_k:{\Lambda }_k({\mathbb{R}}^n)\to {\Lambda }_{k-1}({\mathbb{R}}^n)$

$$h_k\alpha ={\int }_0^1{t}^{k-1}{\mathrm{i}}_X{\alpha }^t\mathrm{d}t\text{ where }X=x^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

满足关键恒等式

$$(\mathrm{d}\circ h_k+h_{k+1}\circ \mathrm{d})\alpha =\alpha \text{\hspace{1em}(17.4)}$$

对 ${\mathbb{R}}^n$ 上的任意 $k$ 次形式 $\alpha$。为证明式 (17.4)，写出左端，

$$(\mathrm{d}\circ h_k+h_{k+1}\circ \mathrm{d})\alpha ={\int }_0^1{t}^{k-1}{\mathrm{di}}_X{\alpha }^t+t^k{\mathrm{i}}_X(\mathrm{d}\alpha {)}^t\mathrm{d}t,$$

和

$$\begin{array}{l}\mathrm{d}{\alpha }^t=\frac{\partial {\alpha }_{i_1\dots i_k}(t\mathbf{x})}{\partial x^j}\mathrm{d}{x}^j\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_k}\\ =t(\mathrm{d}\alpha {)}^t.\end{array}$$

利用嘉当恒等式，即式（16.13），

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{d}\circ h_k+h_{k+1}\circ \mathrm{d})\alpha & ={\int }_0^1{t}^{k-1}(\mathrm{d}\circ {\mathrm{i}}_X+{\mathrm{i}}_X\circ \mathrm{d}){\alpha }^t\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^1{t}^{k-1}{\mathcal{L}}_X{\alpha }^t\mathrm{d}t\end{array}$$

而由李导数的分量公式（15.39），

$$\begin{array}{l}{\left({\mathcal{L}}_X{\alpha }^t\right)}_{i_1\dots i_k}=\frac{\partial {\alpha }_{i_1\dots i_k}(t\mathbf{x})}{\partial x^j}{x}^j+\frac{\partial x^j}{\partial x^{i_1}}{\alpha }_{j{i}_2\dots i_k}(t\mathbf{x})+\cdots +\frac{\partial x^j}{\partial x^{i_k}}{\alpha }_{i_1\dots j}(t\mathbf{x})\\ =t\frac{\partial {\alpha }_{i_1\dots i_k}(t\mathbf{x})}{\partial t{x}^j}\frac{\mathrm{d}t{x}^j}{\mathrm{d}t}+{\delta }_{i_1}^j{\alpha }_{j\dots i_k}(t\mathbf{x})+\cdots +{\delta }_{x^{i_k}}^j{\alpha }_{i_1\dots j}(t\mathbf{x})\\ =t\frac{\mathrm{d}{\alpha }_{i_1\dots i_k}(t\mathbf{x})}{\mathrm{d}t}+k{\alpha }_{i_1\dots i_k}(t\mathbf{x}).\end{array}$$

因此

$${\mathcal{L}}_X{\alpha }^t=t\frac{\mathrm{d}{\alpha }^t}{\mathrm{d}t}+k{\alpha }^t,$$

而式（17.4）可由下式推出

$$(\mathrm{d}\circ h_k+h_{k+1}\circ \mathrm{d})\alpha ={\int }_0^1{t}^k\frac{\mathrm{d}{\alpha }^t}{\mathrm{d}t}+k{t}^{k-1}{\alpha }^t\mathrm{d}t={\int }_0^1\frac{\mathrm{d}{t}^k{\alpha }^t}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t=\alpha .$$

若 $\mathrm{d}\alpha =0$，则有 $\alpha =\mathrm{d}\beta$，其中 $\beta =h_k\alpha$，定理得证。

由该定理与 德拉姆 定理可立即推得，对于 $k\ge 1$，所有同调群 $H_k({\mathbb{R}}^n)$ 都是平凡的；也就是说，在欧几里得空间中，对于 $k\ge 1$，所有贝蒂数都为零，$b_k=b^k=0$。当然，$b_0=b^0=1$，因为只有一个连通分支。

例 17.7

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中，令 $\alpha$ 为 1-形式 $\alpha =A_1\mathrm{d}{x}^1+A_2\mathrm{d}{x}^2+A_3\mathrm{d}{x}^3$。它的外微分是

$$\mathrm{d}\alpha =(A_{2,1}-A_{1,2})\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2+(A_{1,3}-A_{3,1})\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^1+(A_{3,2}-A_{2,3})\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3$$

而庞加莱引理断言，$\mathrm{d}\alpha =0$ 当且仅当存在 ${\mathbb{R}}^3$ 上的函数 $f$ 使得 $\alpha =\mathrm{d}f$。按分量，

$$A_{2,1}-A_{1,2}=A_{1,3}-A_{3,1}=A_{3,2}-A_{2,3}=0⟺A_1=f_{,1},A_2=f_{,2},A_3=f_{,3},$$

或用标准三维向量语言，其中$\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ 1

$$\nabla \times \mathbf{A}=0⟺\mathbf{A}=\nabla f.$$

若 $\alpha$ 是微分2-形式 $\alpha =A_3\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2+A_2\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^1+A_1\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3$，则

$$\mathrm{d}\alpha =(A_{1,1}+A_{2,2}+A_{3,3})\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3.$$

庞加莱引理指出

$$\mathrm{d}\alpha =0⟺\alpha =\mathrm{d}\beta \text{ where }\beta =B_1\mathrm{d}{x}^1+B_2\mathrm{d}{x}^2+B_3\mathrm{d}{x}^3,$$

或在分量中

$$A_{1,1}+A_{2,2}+A_{3,3}=0⟺A_1=B_{3,2}-B_{2,3},A_2=B_{1,3}-B_{3,1},A_3=B_{2,1}-B_{1,2},$$

这简化为熟悉的3-向量陈述

$$\nabla \cdot \mathbf{A}=0⟺\text{ there exists }\mathbf{B}\text{ such that }\mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{B}.$$

例 17.8

在流形 $M={\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 上，以 $x^1=x,x^2=y$ 为坐标，令 $\omega$ 为微分 1-形式

$$\omega =\frac{-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y}{x^2+y^2},$$

它无法光滑地延拓为整个${\mathbb{R}}^2$上的1-形式，因为在原点处具有奇异行为。然而在$M$上，它是闭的，因为

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}\omega =\frac{-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x}{x^2+y^2}+\frac{2y^2\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x}{(x^2+y^2{)}^2}+\frac{\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y}{x^2+y^2}-\frac{2x^2\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y}{(x^2+y^2{)}^2}\\ =\frac{2\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y}{x^2+y^2}-\frac{2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2{)}^2}\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=0.\end{array}$$

局部地，处处都可以找到函数 $f$，使得 $\omega =df$。例如，直接验证可知，微分方程组

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{x^2+y^2}$$

有解 $f=\arctan (y/x)$。然而 $f$ 并非在 $M$ 上整体定义，因为它本质上是由 $x$ $r$ $\cos$ $f$、$y$ $r$ $\sin$ $f$ 给出的极角，并且在任何从 $y$ 轴正分支出发绕原点一周的回路中增加 $2\pi$。这表明庞加莱引理一般并不在与 ${\mathbb{R}}^n$ 不同胚的流形上成立

电动力学

电磁场由闵可夫斯基空间中的一个反对称四维张量场$F$表示，其分量为$F_{\mu \nu }(x^{\alpha })(\mu ,\nu =1,...,4)$（见第9章）。定义麦克斯韦二形式(Maxwell 2-form) $\phi$，其分量为$F_{\mu \nu ;}$

$$\begin{array}{l}\phi =F_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\mathrm{d}{x}^{\nu }\\ =2(B_3\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2+B_2\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^1+B_1\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3\\ +E_1\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^4+E_2\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^4+E_3\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^4)\end{array}$$

其中 $\mathbf{E}=(E_1,E_2,E_3)$ 是电场，$\mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3)$ 是磁场，$x^1=x,x^2=y,x^3=z,x^4=ct$ 是惯性坐标。无源麦克斯韦方程组（9.37）可以写成

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{d}\phi =0& ⟺& F_{\mu \nu ,\rho }+F_{\nu \rho ,\mu }+F_{\rho \mu ,\nu }=0\\ & ⟺& \nabla \cdot \mathbf{B}=0,\nabla \times \mathbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0.\end{array}$$

由庞加莱引理，存在一个1-形式$\alpha$，称为四维矢势，使得$\phi =\mathrm{d}\alpha$。将$\alpha$的分量写为$(A_1,A_2,A_3,-\varphi )$，则该方程读作

$$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A},\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \varphi .$$

为了用微分形式表示电磁场与其源所满足的方程，我们必须定义对偶麦克斯韦二形式(dual Maxwell 2-form) $\ast \phi =\ast F_{\mu \nu }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }$，其中

• $F_{\mu \nu }$ 的定义如例 8.8 中所示，

$$\begin{array}{l}\ast \phi =2(-E_3\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2-E_2\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^1-E_1\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3\\ +B_1\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^4+B_2\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^4+B_3\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^4).\end{array}$$

存在的电荷分布由四维电流向量场 $J=J^{\mu }{e}_{\mu }$ 表示，其分量为 $J^{\mu }=\left(\mathbf{j},\rho c\right)$，其中 $\rho (\mathbf{r},t)$ 是电荷密度，$j$ 是电荷通量密度（见 9.4 节）。

$$\begin{array}{l}\vartheta =\ast J_{\mu \nu \rho }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\rho }\\ =-\frac{1}{3!}{ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }{J}^{\sigma }\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\nu }\wedge \mathrm{d}{x}^{\rho }\\ =-c\rho \mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3+J^1\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^4\\ +J^2\mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^4+J^3\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^4.\end{array}$$

方程（9.38）于是可以写成

$$\mathrm{d}\ast \phi =-\vartheta ⟺\nabla \cdot \mathbf{E}=4\pi \rho ,-\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}+\nabla \times \mathbf{B}=\frac{4\pi }{c}\mathbf{j}.$$

电荷守恒由

$$\mathrm{d}\vartheta =-{\mathrm{d}}^2\ast \phi =0⟺\nabla \cdot \mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \rho }{\partial t}=0.$$

例 17.9

尽管麦克斯韦真空方程呈现出具有欺骗性的对称形式

$$\mathrm{d}\phi =0,\mathrm{d}\ast \phi =0$$

我们不能假设对于全局定义的一次形式 $\beta .$ 有 $\ast \phi =\mathrm{d}\beta$。例如，库仑域

$$\mathbf{B}=0,\mathbf{E}=\left(\frac{qx}{r^3},\frac{qy}{r^3},\frac{qz}{r^3}\right)$$

对应于麦克斯韦二形式

$$\phi =\frac{2q}{r^3}\left(xdx\wedge d{x}^4+ydy\wedge d{x}^4+zdz\wedge d{x}^4\right)=\frac{2q}{r^2}dr\wedge d{x}^4$$

其中 $r^2=x^2+y^2+z^2$，带有对偶2-形式

$$\ast \phi =-\frac{2q}{r^3}(zdx\wedge dy+ydz\wedge dx+xdy\wedge dz).$$

然而，这个2-形式仅定义在子空间$M={\mathbb{R}}^3-\{0\}$上。在球极坐标中进行一个简短的计算得到

$$\ast \phi =-2q\sin \theta d\theta \wedge d\varphi =d(2q\cos \theta d\varphi )=d(2q(\cos \theta -1)d\varphi ).$$

两个选择 $\beta =2q$ $\cos$ $\theta$ $d\varphi$ 或 ${\beta }^{\prime }=2q(\cos \theta -1)\mathrm{d}\varphi$ 中的任何一个都可作为 $\ast \phi ,$ 的势1-形式，但二者均未在整个 $M$ 上有定义，因为角坐标 $\varphi$ 在 $z$ 轴上 $\theta =0\mathrm{or}\pi$ 处没有良好定义。1-形式 $\beta$ 并未在整个 $z$ 轴上有良好定义，但势1-形式 ${\beta }^{\prime }$ 在正 $z$ 轴上为零，并沿负 $z$ 轴具有奇异性。它有时被称为 狄拉克弦(Dirac string)——这一术语通常保留给代表磁单极子的解。

全局势$\beta$的不可能性可通过在单位2-球面上积分$\phi$看出

$${\int }_{S^2}\ast \phi ={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }-2q\sin \theta d\theta d\varphi =-8\pi q,$$

并使用斯托克斯定理（注意 $S^2$ 没有边界）

$${\int }_{S^2}\ast \phi ={\int }_{S^2}d\beta ={\int }_{\partial S^2}\beta =0.$$

习题

习题 17.13

设

$$\alpha =\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}.$$

证明 $\alpha$ 是 ${\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 上的闭 1-形式。计算其在单位圆 $S^1$ 上的积分，并证明它不是恰当的。这对 ${\mathbb{R}}^2-\{0\}$ 和 $S^1$ 的德拉姆上同调说明了什么？

习题 17.14

证明 $S^2$ 上的每个闭 1-形式都是恰当的。通过证明该 2-形式，说明此结论不能推广到 2-形式

$$\alpha =r^{-3/2}(x\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+y\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+z\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y)$$

是闭的，但在$S^2$上具有非零积分

习题 17.15

证明麦克斯韦二形式满足这些恒等式

$$\phi \wedge \ast \phi =\ast \phi \wedge \phi =4({\mathbf{B}}^2-{\mathbf{E}}^2)\Omega$$ $$\phi \wedge \phi =-\ast \phi \wedge \ast \phi =8\mathbf{B}\cdot \mathbf{E}\Omega$$

其中 $\Omega =\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3\wedge \mathrm{d}{x}^4$