1 时空中的测地线

经典物理学理论涉及两类不同的对象：粒子与场。场告诉粒子如何运动，粒子则告诉场如何振荡。对于这两者，我们都需要一组方程。

在电磁学理论中，场的振荡由麦克斯韦方程支配，而试探粒子的运动则由洛伦兹力定律决定。类似地，对于引力我们也有两组不同的方程。场的振荡由爱因斯坦方程支配，这些方程描述了时空的弯曲与弯折。在能够描述这些方程之前，我们需要先发展一些数学工具；我们最终将在第 4 节中看到它们。

本节的目标是发展引力情形下洛伦兹力定律的类比物。正如我们将看到的，这就是试探粒子在固定的弯曲时空中如何运动的问题。在此过程中，我们将开始发展一些描述弯曲时空的语言。这将培养一些直觉，随后我们会在后面的各节中把这些直觉在数学上精确化。

最小作用量原理

在这些讲座中，我们自始至终选用的工具是作用量(action)。作用量的好处在于，它使各种对称性都显现出来。而且，正如我们将看到的，广义相对论理论中有一些深刻的对称性必须被保持。这极大地限制了我们所能考虑的方程的种类，并最终将不可抗拒地把我们引向爱因斯坦方程。

这里我们先对最小作用量原理作一个简短的回顾。（更详细的讨论可参见《经典动力学》讲座。）我们用坐标 $x^i$ 来描述粒子的位置，目前取 $i=1,2,3$，即粒子在三维空间中运动。重要的是，并不需要把坐标 $x^i$ 与欧几里得空间的 $(x,y,z)$ 轴等同起来；它们可以是你所选择的任意坐标系。

我们想要一种方式来描述粒子如何在固定的初始位置与末位置之间运动，

$$x^i(t_1)=x_{\mathrm{initial}}^i\mathrm{and}{x}^i(t_2)=x_{\mathrm{final}}^i\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

为此，我们考虑所有满足上述边界条件的可能路径 $x^i(t)$。对每一条这样的路径，我们赋予一个数，称为作用量 S。它的定义是

如下：

$$S[x^i(t)]={\int }_{t_1}^{t_2}dtL(x^i(t),{\dot{x}}^i(t))$$

其中函数 $L(x^i,{\dot{x}}^i)$ 就是拉格朗日量，它规定了系统的动力学。作用量是一个泛函；这意味着，你交给它的是整整一个函数的信息 $x^i(t)$，而它只吐回一个数。

最小作用量原理说的是：粒子实际走过的真实路径是 S 的极值。虽然这是关于整条路径的陈述，但它完全等价于一组支配动力学的微分方程。这些方程称为欧拉–拉格朗日方程(Euler-Lagrange equations)。

为了导出欧拉–拉格朗日方程，我们考虑：若取定一条路径并对其作微小变动，作用量会如何变化，

$$x^i(t)\to x^i(t)+\delta x^i(t)$$

我们需要保持路径的端点固定，因此要求 $\delta x^i(t_1)=\delta x^i(t_2)=$ 0。于是作用量的变化为

$$\begin{array}{c}\delta S={\int }_{t_1}^{t_2}dt\delta L={\int }_{t_1}^{t_2}dt\left(\frac{\partial L}{\partial x^i}\delta x^i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}\delta {\dot{x}}^i\right)\\ ={\int }_{t_1}^{t_2}dt\left(\frac{\partial L}{\partial x^i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}\right)\right)\delta x^i+{\left[\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}\delta x^i\right]}_{t_1}^{t_2}\end{array}$$

这里我们用了分部积分，从而得到第二行。最后一项之所以为零，是因为我们已经固定了路径的端点。路径 $x^i(t)$ 是作用量的极值(extremum of the action)，当且仅当对一切变分 $\delta x^i(t)$ 都有 $\delta S=0$。我们看到，这等价于欧拉–拉格朗日方程

$$\frac{\partial L}{\partial x^i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^i}\right)=0\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

本节的目标是写出描述粒子在弯曲空间中运动、并最终在弯曲时空中运动的拉格朗日量与作用量。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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