欧拉–拉格朗日方程 (Euler–Lagrange equations)

别名：Euler–Lagrange方程

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Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§16.5 · zh-CN。

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§16.5	zh-CN · 英文上下文	术语出现
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来源短摘录与定位

§16.5 · zh-CN · translation · unreviewed

这些被称为欧拉–拉格朗日方程(Euler–Lagrange equations)。

§16.5 · en · original_transcription · unreviewed

These are known as the Euler–Lagrange equations.

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§35.1 · zh-CN。

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§35.1	zh-CN · 英文上下文	定理入口
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§35.1	en · 中文上下文	术语出现；位于定理入口环境中

来源短摘录与定位

§35.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

正文请在原位置阅读；长段落、数学边界或未定位引用不截断嵌入，精确范围与指纹保存在结构化索引。

§35.1 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

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编辑导读与作者比较

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Szekeres 从 $L:TM\to \mathbb{R}$ 与曲线作用量出发，对端点固定的曲线变分分部积分，得到局部坐标形式的欧拉–拉格朗日方程，并以平面两定点间的最短曲线作例子。 Szekeres · §16.5

Woit 第35.1节讨论位形空间为 ${\mathbf{R}}^d$ 的经典力学系统，令 $L(\mathbf{q},\mathbf{v})$ 为实值拉格朗日量；其定理将固定端点变分下作用量驻值与分量方程联系起来。该条件限定在该节描述的系统与路径变分中。 Woit · §35.1

Szekeres · 作者条件与约定

Szekeres 在任意微分流形 $M$ 上取 $L:TM\to \mathbb{R}$，定义参数曲线作用量；对端点固定的曲线变分导出欧拉–拉格朗日方程，随后用平面最短曲线说明。

条件：坐标表达中 $q^i$ 与 ${\dot{q}}^i$ 是 $TM$ 上局部坐标；只有沿给定曲线 $q^i=q^i(t)$ 时，${\dot{q}}^i(t)=\mathrm{d}{q}^i(t)/\mathrm{d}t$。变分满足固定端点条件。

记号：$S[\gamma ]=\int L(\dot{\gamma }(t))\mathrm{d}t$；局部方程为 $\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^i})=0$。

Szekeres · §16.5

Woit · 作者条件与约定

Woit 第35.1节针对位形空间 ${\mathbf{R}}^d$ 的经典系统定义依赖位置与速度的实值拉格朗日量，并陈述 Euler–Lagrange 定理。

条件：该节取 $L:(\mathbf{q},\mathbf{v})\in {\mathbf{R}}^d\times {\mathbf{R}}^d\to \mathbb{R}$；路径为区间 $[t_1,t_2]$ 上的可微曲线，所述定理涉及固定端点的变分。变量 $\mathbf{q}(t)$ 与 $\dot{\mathbf{q}}(t)$ 是此坐标设定中的位置和速度。

记号：$\delta S[\gamma ]=0$；对 $j=1,\dots ,d$，$\frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j})=0$。

Woit · §35.1；Woit · §35.1

来源覆盖、定位与记录

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