1.2 相对论粒子

现在我们已经掌握了描述弯曲空间中运动的工具，下一步便是考虑将其相对论地推广到弯曲时空。但在着手之前，我们首先需要弄清如何把拉格朗日方法推广到与狭义相对论相容的形式。关于狭义相对论的入门介绍，可参见《动力学与相对论》讲义。

1.2.1 闵可夫斯基空间中的粒子

我们先来考虑一个在闵可夫斯基空间 ${\mathbf{R}}^{1,3}$ 中运动的粒子。我们将采用笛卡尔坐标 $x^{\mu }=(ct,x,y,z)$ 和闵可夫斯基度规

$${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1)$$

于是，由 $x^{\mu }$ 与 $x^{\mu }+d{x}^{\mu }$ 标记的两个相邻点之间的距离为

$$d{s}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

满足 $d{s}^2<0$ 的两点称为类时分离(timelike separated)的；满足 $d{s}^2>0$ 的两点称为类空分离的；而满足 $d{s}^2=0$ 的两点则称为类光分离的，或者更常见地，称为零的。

考虑一个粒子在时空中走过的路径。在上一节中，我们借助某个惯性观测者的时间坐标 t 来标记路径上各点的位置。但为了建立粒子运动的相对论描述，我们希望时间与空间坐标处于大致同等的地位。为此，我们引入一个新的参数——不妨称之为 $\sigma -$，它标记我们在轨迹的世界线上所处的位置。目前选择何种参数化并不重要；我们只要求 $\sigma$ 沿轨迹单调递增。我们将轨迹的起点和终点分别记为 ${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$，其中 $x^{\mu }({\sigma }_1)=x_{\mathrm{initial}}^{\mu }$，$x^{\mu }({\sigma }_2)=x_{\mathrm{final}}^{\mu }$

相对论粒子的作用量有一个漂亮的几何解释：它使起点与终点在闵可夫斯基空间中的距离取极值。具有静止质量 m 的粒子沿一条类时轨迹(timelike trajectory)运动，该曲线上任意两点都满足 $d{s}^2<0$。因此我们取作用量为

$$\begin{array}{rl}& S=-mc{\int }_{x_{\mathrm{initial}}}^{x_{\mathrm{final}}}\sqrt{-d{s}^2}\\ & =-mc{\int }_{{\sigma }_1}^{{\sigma }_2}d\sigma \sqrt{-{\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{d\sigma }}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

前面的系数保证作用量具有 [S] = 能量 × 时间的量纲，这正是它应有的量纲。（作用量总是与 ℏ 具有相同的量纲。如果你采用 $\hslash =1$ 的单位制，那么作用量应当是无量纲的。）

如(1.13)所示，作用量具有两种不同的对称性，它们的解释也颇为不同。

• 洛伦兹不变性：回忆一下，洛伦兹变换是时空中的一种旋转。它作用为

$$x^{\mu }\to {\Lambda }_{\rho }^{\mu }{x}^{\rho }\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

其中矩阵 ${\Lambda }_{\nu }^{\mu }$ 满足 ${\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }={\eta }_{\rho \sigma }$，这就是洛伦兹变换的定义，它同时包含空间中的旋转与推动变换。等价地，$\Lambda \in O(1,3)$。这里所说的对称性是指：如果我们找到了运动方程的一个解，那么就可以对它作用一个洛伦兹变换，从而生成一个新的解。

• 重参数化不变性：我们引入 σ 作为路径的任意一种参数化。但我们不希望运动方程依赖于这种选择。所幸一切都没有问题，因为作用量本身并不依赖于参数化的选择。为了看清这一点，假设我们对路径选取了另一种参数化 $\tilde{\sigma },$，它与第一种参数化由一个单调函数 $\tilde{\sigma }(\sigma )$ 相联系。那么我们也同样可以用这个新参数构造一个作用量 $\tilde{S}$，它由下式给出

$$\begin{array}{rl}& \tilde{S}=-mc{\int }_{{\tilde{\sigma }}_1}^{{\tilde{\sigma }}_2}d\tilde{\sigma }\sqrt{-{\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tilde{\sigma }}\frac{d{x}^{\nu }}{d\tilde{\sigma }}}\\ & =-mc{\int }_{{\sigma }_1}^{{\sigma }_2}d\sigma \frac{d\tilde{\sigma }}{d\sigma }\sqrt{-{\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{d\sigma }{\left(\frac{d\sigma }{d\tilde{\sigma }}\right)}^2}\\ & =S\end{array}$$

正如所承诺的，无论我们选择用 $\sigma$ 还是 $\tilde{\sigma }$ 来参数化路径，作用量都取相同的形式。这就是重参数化不变性(reparameterisation invariance)。它并不是一种对称性，因为它不会由旧的解生成新的解。相反，它是我们描述系统方式中的一种冗余。它类似于麦克斯韦理论与杨-米尔斯理论中的规范“对称性”——尽管名为对称性，那其实也是一种冗余，而非对称性。

重参数化不变性这一概念的重要性怎么强调都不为过。这些讲座的一个主要主题是：我们的物理理论不应依赖于我们选择以何种方式对它们进行参数化。当我们讲到描述广义相对论的场方程时，还会再次看到这一点。眼下，我们先来看重参数化在世界线上带来的几个推论。

固有时

由于作用量不依赖于世界线的参数化方式，在给定路径上两点之间取值的作用量便具有内禀意义。我们把这个值称为固有时。对于给定的路径 $x^{\mu }({\sigma }^{\prime })$，两点（例如 ${\sigma }^{\prime }=0$ 与 ${\sigma }^{\prime }=\sigma$）之间的固有时为

$$\tau (\sigma )=\frac{1}{c}{\int }_0^{\sigma }d{\sigma }^{\prime }\sqrt{-g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d{\sigma }^{\prime }}\frac{d{x}^{\nu }}{d{\sigma }^{\prime }}}\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

从我们初次接触狭义相对论时起，我们就已认出，这正是粒子自身所经历的时间。

把作用量与固有时等同起来，就意味着粒子所走的路径使固有时取极值。在闵可夫斯基空间中，很容易验证：两个类时分离的点之间的固有时由直线取到最大值，这一事实被称为双生子佯谬。

1.2.2 人为什么会变老

在欧几里得空间中运动与在闵可夫斯基空间中运动之间有一个关键区别。在欧几里得空间中，你并没有非动不可的义务，想停下来就可以停下来。与此相反，在闵可夫斯基空间中，你永远无法沿类时方向停下来。遗憾的是，你总会被不可抗拒地拖向未来。

任何相对论性的质点力学表述都必须抓住这一基本事实。为了看清它是如何由作用量 (1.13) 产生的，我们可以计算与 $x^{\mu }$ 共轭的动量

$$p_{\mu }=\frac{dL}{d{\dot{x}}^{\mu }}\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

其中 ${\dot{x}}^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\sigma$。对于作用量 $L=-mc\sqrt{-{\eta }_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}$，我们有

$$p_{\mu }=mc\frac{{\eta }_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\nu }}{\sqrt{-{\eta }_{\rho \sigma }{\dot{x}}^{\rho }{\dot{x}}^{\sigma }}}=-\frac{m^2{c}^2}{L}{\eta }_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\nu }\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

但动量的四个分量并不都是独立的。要看清这一点，只需计算四维动量的平方，便得到

$$p\cdot p\equiv {\eta }_{\mu \nu }{p}^{\mu }{p}^{\nu }=\frac{m^4{c}^4}{L^2}{\eta }_{\mu \nu }{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }=-m^2{c}^2\text{\hspace{1em}(1.18)}$$

整理后得到

$$(p^0{)}^2={\mathbf{p}}^2+m^2{c}^2$$

特别地，我们看到必须有 $p^0\ne 0;$：粒子不得不沿时间方向运动。

这个故事有一部分是我们熟悉的。条件(1.18)与我们早先在狭义相对论讲座中遇到的、关于四维动量的通常条件密切相关。在那里，我们把四维速度$U^{\mu }$与四维动量$P^{\mu }$定义为

$$U^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\mathrm{and}{P}^{\mu }=m\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$$

这是(1.16)的一个特例，其中我们选择用固有时$\tau$本身来参数化世界线。由固有时(1.15)的定义可知$d\tau /d\sigma =$ $-L/m{c}^2$。与正则动量(1.17)相比较，我们看到它与上面那个较早的定义一致：$P^{\mu }\equiv p^{\mu }$

然而，这个故事的另一部分大概是我们不熟悉的。从经典动力学的角度看，动量$p^{\mu }$并不全都相互独立，这或许令人惊讶。毕竟，在我们先前《经典动力学》课程中遇到的任何拉格朗日量例子里，都没有出现过这种情况。这一新特征可以追溯到重参数化不变性的存在，也就是说，我们最初的描述中存在冗余。事实上，只要理论具有这样的冗余，就总会有某个类似于(1.18)的约束。（在电磁学的语境中，这个约束被称为高斯定律。）

还可以从另一个角度来看待这件事。相对论作用量(1.13)看起来有四个动力学自由度$x^{\mu }(\sigma )$。这应当与非相对论作用量(1.5)中的三个自由度$x^i(t)$相对照。然而，自由度数目是刻画一个系统最基本的方式之一，它会带来诸如气体热容这样的物理后果。为什么仅仅因为我们希望自己的描述与狭义相对论相容，就突然要增加自由度的数目呢？答案是：由于重参数化不变性，并非全部四个自由度$x^{\mu }$都是物理的。为了看清这一点，假设你求解运动方程，求出路径$x^{\mu }(\sigma )$（我们很快就会这样做）。在大多数动力学系统中，这四个函数中的每一个都会告诉你关于物理轨迹的某些信息。但对我们而言，重参数化不变性意味着$\sigma$的取值中并不包含任何实际信息。要找出物理路径，我们应当消去$\sigma$，从而求出各个$x^{\mu }$之间的关系。最终结果是：相对论系统终究只有三个物理自由度。

作为一个例子，我们完全可以自由地选择路径的参数化，使其与某个惯性观测者的时间 t 相一致：$\sigma =t$。于是作用量(1.13)变为

$$S=-m{c}^2{\int }_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{x}}}^2}{c^2}}\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

其中 $\dot{\mathbf{x}}=d\mathbf{x}/dt$。这就是在某个特定惯性系中相对论粒子(relativistic particle)的作用量，它显示出那个著名的因子

$$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\dot{\mathbf{x}}}^2/c^2}}$$

它在狭义相对论的公式中无处不在。现在我们清楚地看到，作用量只有三个自由度，即 $\mathbf{x}(t)$。然而，我们付出的代价是洛伦兹不变性(1.14)现在变得相当隐蔽，因为空间 x 与时间 t 的地位已大不相同。

1.2.3 重新发现自然界的力

到目前为止，我们只成功地写出了相对论粒子的作用量(1.13)。现在，我们想给作用量再加上一些额外的项，以描述作用在粒子上的力。在非相对论的情形下，我们是通过添加一个势来做到这一点的

$$S_{\mathrm{non}-\mathrm{rel}}=\int dt\left[\frac{m}{2}{\dot{\mathbf{x}}}^2-V(\mathbf{x})\right]$$

然而，现在我们要写出一个依赖于 $x^{\mu }(\sigma )$ 的相对论粒子的作用量。但至关重要的是，我们必须保持重参数化不变性，因为我们想保留它所带来的一切特性。这就极大地限制了我们可以添加到作用量中的项的种类。结果表明，有两种不同的方式来引入力，同时保持我们宝贵的重参数化。

重新发现电磁学

我们不直接跳到重参数化不变的作用量(1.13)，而是先修改作用量(1.19)。然后我们试着猜出一个重参数化不变的形式，使它给出我们想要的结果。为此，我们考虑

$$S_1={\int }_{t_1}^{t_2}dt\left[-m{c}^2\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{x}}}^2}{c^2}}-V(\mathbf{x})\right]$$

并问：这如何能来自一个重参数化不变的作用量？

我们不能简单地把一个 $V(x)$ dσ 项加到相对论作用量(1.13)上；它在重参数化下并不不变。要得到可行的东西，我们必须设法抵消由 dσ 测度的重参数化所产生的雅可比因子。我们可以探索的一种选择是引入一个关于 ${\dot{x}}^{\mu }$ 线性的项。但这样一来，为了保持洛伦兹不变性，我们需要把 ${\dot{x}}^{\mu }$ 上的 $\mu$ 指标与某个东西缩并。这就促使我们引入四个时空坐标的函数 $A_{\mu }(x)$。于是我们写出作用量

$$S_1={\int }_{{\sigma }_1}^{{\sigma }_2}d\sigma \left[-mc\sqrt{-{\eta }_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{d\sigma }}-q{A}_{\mu }(x){\dot{x}}^{\mu }\right]\text{\hspace{1em}(1.20)}$$

其中 $q$ 是某个与粒子相联系的数，它刻画了粒子与新项 $A_{\mu }(x)$ 耦合的强度。很容易验证，作用量(1.20) 确实具有重参数化不变性。

为了理解这个新项的物理意义，我们再次把世界线参数取为某个惯性观测者的时间，即 $\sigma =t$，于是 $d{x}^0/d\sigma =c$。若记 $A_{\mu }(x)=(\varphi (x)/c,\mathbf{A}(x))$，则可得

$$S_1={\int }_{{\sigma }_1}^{{\sigma }_2}d\sigma \left[-m{c}^2\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{x}}}^2}{c^2}}-q\varphi (x)-q\mathbf{A}(x)\cdot \dot{\mathbf{x}}\right]$$

我们看到，$A_0$ 项给出了我们所需要的那种势 $V(x)=q\varphi (x)$。但洛伦兹不变性意味着，它必然伴随着一个额外的 $\mathbf{A}\cdot \dot{\mathbf{x}}$ 项。当然，这两项我们此前都见过：它们描述的是一个带有电荷 q 的粒子在由规范势 $\varphi (x)$ 和 $\mathbf{A}(x)$ 所描述的电磁场背景中运动。换言之，我们重新发现了电磁学的洛伦兹力定律(Lorentz force law of electromagnetism)。

这一论证还有一个轻微的推广：若粒子带有某些额外的内部自由度，其结果便给出杨-米尔斯理论的数学结构，而这一理论正是弱核力与强核力的基础。关于这一点，你可以在规范理论的讲义中读到更多内容。

重新发现引力

要描述引力，我们必须对作用量作一种颇为不同的修改。这一次，我们考虑由如下作用量给出的 (1.19) 的推广：

$$S_2={\int }_{t_1}^{t_2}dt\left[-m{c}^2\sqrt{1+\frac{2\Phi (\mathbf{x})}{c^2}-\frac{{\dot{\mathbf{x}}}^2}{c^2}}\right]\text{\hspace{1em}(1.21)}$$

若对平方根作泰勒展开，并假定 $|\dot{\mathbf{x}}|\ll c^2$ 以及 $2\Phi (\mathbf{x})\ll c^2,$，则领头项给出

$$S_2={\int }_{t_1}^{t_2}dt\left[-m{c}^2+\frac{m}{2}{\dot{\mathbf{x}}}^2-m\Phi (\mathbf{x})+\dots \right]\text{\hspace{1em}(1.22)}$$

第一项是一个无关紧要的常数。（它是粒子的静质量能量。）而接下来的两项则描述了一个在势 $V(\mathbf{x})=m\Phi (\mathbf{x})$ 中运动的粒子的非相对论运动。

为什么我们应当把这个势认定为引力，而不是某种别的随随便便的力呢？这是因为该力的强度必然正比于粒子的质量 m，而 m 正是 $m\Phi (\mathbf{x})$ 项中的系数。这正是引力的定义性特征。

事实上，从我们这番简单的讨论中已经浮现出某种重要而微妙的东西：同一个质量 m 同时出现在动能项和势能项之中。在牛顿力学的框架里，并没有任何理由要求这两个系数相同。的确，细致的处理会把动能项的系数称为惯性质量$m_I$，而把势能项的系数称为引力质量$m_G$。于是，一个由实验观测到的事实是

$$m_I=m_G\text{\hspace{1em}(1.23)}$$

两者以惊人的精度相等（约为 $10^{-13})$。这被称为等效原理(equivalence principle)。不过，我们上面这种朴素的讨论已经为等效原理提供了一个可能的解释：因为质量 m 位于整个作用量 (1.21) 的前面，从而保证这两项具有相同的起源。

题外话：你也许会想，为什么函数 $\Phi (x)$ 不按比如 $1/m$ 来标度呢？若如此，(1.22) 中出现的势就会显得与 $m.$ 无关。这是不允许的。原因在于，质量 m 是我们所描述其运动的试探粒子的属性；而势 $\Phi (x)$ 则是由背景源建立起来的某种场，它应当与 $m,$ 无关，正如 $A_{\mu }(x)$ 与试探粒子的电荷 $q$ 无关一样。

等式 (1.23) 有时被称为弱等效原理(weak equivalence principle)。一个更强的版本称为爱因斯坦等效原理(Einstein equivalence principle)，它说的是：在任何度规中，都存在局部惯性系。也就是说，你总能找到这样的坐标，使得在某个小区域内，度规看起来就像闵可夫斯基空间，从而无法探测到引力场的效应。我们将在下文以及 3.3.2 节 中进一步描述这一点。

最后，我们要问：怎样才能把作用量 (1.21) 写成重参数化不变的形式呢？要回答这个问题，请注意 $\sqrt{1+\dots }$ 中的 1 来自作用量中的 ${\eta }_{00}$ 项。如果我们想把它变成 $1+2\Phi (\mathbf{x})/c^2$，那就应当把 ${\eta }_{00}$ 提升为 x 的函数。但既然要把 ${\eta }_{00}$ 提升为函数，我们当然也应当对所有的度规分量做同样的处理。这意味着我们要引入一个弯曲时空度规

$$d{s}^2=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

该度规是一个对称 4×4 矩阵，也就是说它由 10 个函数确定。于是我们可以写出重参数化不变的作用量

$$S_2=-mc{\int }_{{\sigma }_1}^{{\sigma }_2}d\sigma \sqrt{-g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{d\sigma }}$$

它描述了一个在弯曲时空中运动的粒子。

一般而言，度规张量的各分量由爱因斯坦场方程决定。这与(1.20)中规范势$A_{\mu }(x)$由麦克斯韦方程决定的情形完全类似。我们将在第4节中介绍爱因斯坦方程。不过，甚至在讲到爱因斯坦方程之前，上面的讨论就已经告诉我们：对于弱引力场，只要牛顿图像成立，我们就应当认定

$$g_{00}(x)\approx -\left(1+\frac{2\Phi (x)}{c^2}\right)\text{\hspace{1em}(1.24)}$$

其中$\Phi (x)$是牛顿引力场。

1.2.4 等效原理

由弱等效原理(1.23)可以推出：我们无法区分恒定加速度与恒定的引力场。例如，假设你某天醒来，发现自己被困在一个看起来像电梯的箱子里。等效原理告诉我们，你无法判断自己究竟是在地球上的电梯里，还是被外星人抓走、此刻正身处宇宙遥远深处一艘伪装成电梯的飞船中，并处于恒定加速运动之中。（其实有两种办法可以区分这两种情形：一种是常识，另一种叫做潮汐力，将在下文介绍。）

反过来，如果你在电梯里醒来发现自己处于失重状态，等效原理告诉我们，你同样无法判断究竟是飞船的引擎已经关闭、让你漂浮在太空中，还是你仍在地球上、正朝必然的死亡坠落。这两种情形都是惯性系的例子。

在时空度规的框架下，我们可以更详细地看到等效原理是如何体现的。我们将构造一套适用于匀加速观测者的坐标。我们会看到，在这套坐标下，度规取(1.24)的形式，只不过其中的引力势Φ是线性的，正是我们为恒定引力所采用的那种形式。

首先，我们需要确定一个恒定加速观测者的轨迹。这个问题我们在狭义相对论的第一批课程中已经处理过（见那些讲义中的7.4.6 节）。这里我们给出一种不同的、也更为快捷的推导。

我们将从惯性系的角度来看待问题，其坐标为$(ct,x,y,z)$。电梯将在 x 方向上经历恒定的加速度 a。我们想知道这在惯性系中是什么样子；显然轨迹并不只是$x=\frac{1}{2}a{t}^2$，因为那样很快就会超过光速。因此我们需要更加小心。

回想一下，如果我们先作一个速度为$v_1$的推动变换，再作一个速度为$v_2$的推动变换，那么得到的速度为

$$v=\frac{v_1+v_2}{1+v_1{v}_2/c^2}$$

这促使我们定义快度(rapidity)$\phi ,$，它由速度 v 定义为

$$v=c\tanh \phi$$

快度有一个很好的性质：在相继的推动变换下，它是线性相加的，即先作快度为${\phi }_1$的推动变换，再作快度为${\phi }_2$的推动变换，等同于作快度为$\phi ={\phi }_1+{\phi }_2$的推动变换

恒定加速度意味着快度随时间线性增加，而这里的“时间”指的是加速观测者的时间 τ。我们有$\phi =a\tau /c$，因此从惯性系的角度看，这个恒定加速电梯的速度为

$$v(\tau )=\frac{dx}{dt}=c\tanh \left(\frac{a\tau }{c}\right)$$

为了确定观测者的时间与惯性系中的时间 t 之间的关系，我们利用

$$\frac{dt}{d\tau }=\gamma (\tau )=\sqrt{\frac{1}{1-v^2/c^2}}=\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\Rightarrow t=\frac{c}{a}\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)$$

图 1. 匀加速观测者的坐标系。

其中积分常数是这样选取的：使 $\tau =0$ 对应于 $t=0$。接着，为了确定在惯性系中走过的距离，我们利用

$$v(\tau )=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\tau }\frac{d\tau }{dt}\Rightarrow \frac{dx}{d\tau }=c\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\Rightarrow x=\frac{c^2}{a}\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)-\frac{c^2}{a}$$

这一次，积分常数选取为使轨迹经过原点。所得的轨迹是时空中的一条双曲线，由下式给出

$${\left(x+\frac{c^2}{a}\right)}^2-c^2{t}^2=\frac{c^4}{a^2}$$

这条轨迹(trajectory)在图 1 中用红色表示。当 $\tau \to \pm \infty$ 时，该轨迹渐近于直线 $ct=\pm (x+c^2/a)$。这些直线就是图中所示的虚线。

现在，让我们从加速电梯中的人的角度来考虑问题。这样的观测者会用什么自然坐标来描述时空中其他地方发生的事件呢？显然，对于发生在他自己世界线上的事件，我们可以用固有时 τ 来标记。但我们还想把这个定义推广开去，为整个空间中的点都指定一个时间。此外，我们还想引入一个空间坐标 $\rho ,$，使电梯位于 $\rho =0$ 处。这该怎么做呢？

事实证明，存在一种自然的坐标选取方式。首先，我们把点 $(ct,x)=(0,-c^2/a)$ 与轨迹上标以 $\tau$ 的点用直线连接起来，并规定这些直线就是 $\tau ;$ 为常数的线——也就是图中画出的粉色直线。接着我们注意到，对任意给定的 ${\tau }_{:}$，都存在一个洛伦兹变换把 x 轴映到 $\tau$ 为常数的那条粉色直线上。我们可以用它来定义空间坐标 $\rho .$。这样得到的结果就是：惯性系中的坐标 $(ct,x)$ 与加速系中的坐标 $(c\tau ,\rho )$ 之间有一个映射，由下式给出

$$\begin{array}{rl}& ct=\left(\rho +\frac{c^2}{a}\right)\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right)\\ & x=\left(\rho +\frac{c^2}{a}\right)\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right)-\frac{c^2}{a}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.25)}$$

正如所料，$\rho =0$ 这条线与加速观测者的轨迹重合。此外，$\rho \ne 0$ 为常数的线也都是双曲线。

坐标 $(c\tau ,\rho )$ 并不能覆盖整个闵可夫斯基空间，而只覆盖图 1 所示的右象限。这反映了一个事实：来自某些区域的信号永远无法到达电梯中的人。这与广义相对论中视界的概念密切相关，我们将在后面的章节中更仔细地探讨这一主题。

最后，我们可以用坐标 $\rho$ 和 $\tau$ 来考察加速观测者所感受到的度规张量。我们只需把变换 (1.25) 代入闵可夫斯基度规，便得到

$$d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2=-{\left(1+\frac{a\rho }{c^2}\right)}^2{c}^{2}d{\tau }^2+d{\rho }^2+d{y}^2+d{z}^2$$

这是（闵可夫斯基空间的某一部分的）度规张量，只不过现在用的是适应于加速观测者的坐标。这种坐标称为Kottler-Møller 坐标(Kottler-Møller coordinates)。（它与更为人熟知的林德勒坐标密切相关。在 6.1.2 节 中研究黑洞视界时，我们会再次见到林德勒空间。）度规的空间部分仍然是平坦的，但时间分量由下式给出

$$g_{00}=-{\left(1+\frac{a\rho }{c^2}\right)}^2=-\left(1+\frac{2a\rho }{c^2}+\dots \right)$$

其中 $\cdot \cdot \cdot$ 就是 $a^2{\rho }^2/c^4$，只是我们把它隐藏了起来，因为它在 $1/c^2$ 中是次领头阶的。如果把这个度规与预期 (1.24) 相比较，就会发现加速观测者感受到一个有效引力势，由下式给出

$$\Phi (\rho )=a\rho$$

这正是等效原理所预言的体现：在匀加速观测者看来，其加速度与一个线性增强的引力场无法区分，后者对应于一个恒定的引力。

图 2. 坏消息是，你终究还是在坠向死亡。左图显示了这一点（未按比例绘制）。好消息是，在下落途中你可以测量到潮汐力。右图显示了这一点。

爱因斯坦等效原理

弱等效原理告诉我们，匀加速与均匀引力场无法区分。特别地，存在一种惯性系（即自由落体系）的选择，在其中引力场的影响消失。但如果引力场是非均匀的，情况又会怎样呢？

爱因斯坦等效原理指出，存在局部惯性系，在其中任何引力场的影响都消失。用数学语言来说，这意味着总存在一种坐标选择——本质上就是自由下落观测者所经历的坐标——使得在给定点附近，度规 $g_{\mu \nu }$ 看起来像闵可夫斯基空间。（我们将在3.3.2 节中给出这些坐标，并更精确地说明它们的性质。）问题的微妙之处在于：如果度规在某一点附近看起来像闵可夫斯基空间，那么它在另一点附近多半就不再像闵可夫斯基空间了。这意味着，如果你能在一个延展的空间区域上做实验，你就能探测到非均匀引力场的存在。

为了说明这一点，让我们回到这样的情形：你在电梯中失重醒来，想弄清楚自己究竟是漂浮在太空中，还是正在坠向死亡。你怎么才能分辨呢？

好吧，你可以等一等，看看结果如何。但假设你等不及了。等效原理说，你无法做任何局部实验来区分这两种可能性。不过，有一个非常简单的“非局部”实验：只需在相隔一定距离处释放两个试验质量。如果你漂浮在太空中，这两个试验质量就会和你一起漂浮在那里。同样，如果你正坠向死亡，那么这两个试验质量也会随你一同坠落。然而，它们各自都会被地球中心吸引，而对于两个彼此错开的粒子来说，地心的方向略有不同，如图 2 所示。这意味着这两个粒子所走的轨迹会略微会聚。从你的角度看，这就意味着两个试验质量会彼此靠近。这并不是由于它们之间的相互引力吸引。（它们既然是试验质量，就意味着我们忽略这种吸引。）相反，这是潮汐力的一个例子，它表明你正处在一个非均匀的引力场中。我们将在3.3.4 节中见到这些潮汐力背后的数学。

1.2.5 引力时间膨胀

即使还没有解出爱因斯坦方程，我们仍然可以对时空度规建立一些直观认识。正如我们已经看到的，对于弱引力场 $\Phi (\mathbf{x})$，我们应当把度规的时间分量取为

$$g_{00}(x)=1+\frac{2\Phi (x)}{c^2}\text{\hspace{1em}(1.26)}$$

这向我们揭示了一件深刻的事情：时间与引力之间存在联系。

具体来说，我们取质量为 M 的球状物体所产生的牛顿势，

$$\Phi (r)=-\frac{GM}{r}$$

由此得到的时空度规 $g_{00}$ 的偏移意味着，静止在固定距离 r 处的观测者所测得的时间间隔为

$$d{\tau }^2=g_{00}d{t}^2=\left(1-\frac{2GM}{r{c}^2}\right)d{t}^2$$

这意味着，如果位于 $r\to \infty$ 处的渐近观测者测得时间 t，那么位于距离 r 处的观测者所测得的时间 T 由下式给出

$$T(r)=t\sqrt{1-\frac{2GM}{r{c}^2}}$$

我们由此得知：在有大质量引力物体存在时，时间会走得更慢。

我们可以把这一点说得更定量一些。考虑两位观测者。第一位是爱丽丝，她正在半径为 $r_A$ 的地面上悠闲地享用野餐。第二位是鲍勃，他正独自一人在热气球里享受浪漫之旅，位置比爱丽丝高出 $r_B=r_A+\Delta r$。鲍勃所测得的时间为

$$\begin{array}{rl}& T_B=t\sqrt{1-\frac{2GM}{(r_A+\Delta r)c^2}}\approx t\sqrt{1-\frac{2GM}{r_A{c}^2}+\frac{2GM\Delta r}{r_A^2{c}^2}}\\ & \approx t\sqrt{1-\frac{2GM}{r_A{c}^2}}\left(1+\frac{GM\Delta r}{r_A^2{c}^2}\right)=T_A\left(1+\frac{GM\Delta r}{r_A^2{c}^2}\right)\end{array}$$

这里我们做了双重展开，假定 $\Delta r\ll r_A$ 且 $2GM/r_A{c}^2\ll 1$。如果热气球飞到地面上方 $\Delta r=1000$ m 处，并取地球半径为 $r_A\approx 6000$ km，那么两者的时间差约为 $10^{-12}$ 量级。这意味着，在一天的时间里，鲍勃会多衰老约 10⁻⁸ 秒。

这一效应最早由哈菲尔与基廷（Hafele and Keating）于 20 世纪 70 年代通过把原子钟搭载在商业航班上环绕地球飞行而测得，此后又以更高的精度被多次重复。在所有情形中，所得到的时间延迟（在这些实验中同时包含狭义相对论与广义相对论的效应）都与理论预期相符。

在黑洞附近，这一效应会更加显著。我们将在1.3 节中看到，绕行行星能够靠近黑洞的最近距离为$r=3GM/c^2$（这样的轨道必然是高度椭圆的）。在这种情况下，行星上的人所经历的时间流逝速率为$T=\sqrt{1/3}t\approx 0.6t$，而与之相比，位于$t\to \infty$处的渐近观测者所经历的时间则不同。这一效应虽然令人印象深刻，却不太可能构成一个真正引人入胜的科幻故事。要想得到更富戏剧性的结果，我们勇敢的主人公就得驾驶飞船飞到施瓦西半径$R_s=2GM/c^2$附近，之后再回到$r\to \infty$处，发现自己比留在身后的亲友年轻了许多。

引力红移

引力时间膨胀还有一个可观测的后果。为了看清这一点，让我们回到地面上，看看爱丽丝，以及在上方热气球里的鲍勃。鲍勃有点烦人，他开始朝爱丽丝扔花生。他每隔时间 $\Delta T_B$ 扔一颗花生。爱丽丝则每隔时间 $\Delta T_A$ 收到这些花生（此时它们正以相当快的速度飞行），其中，如上所述，

$$\Delta T_A=\sqrt{\frac{1+2\Phi (r_A)/c^2}{1+2\Phi (r_B)/c^2}}\Delta T_B\approx \left(1+\frac{\Phi (r_A)}{c^2}-\frac{\Phi (r_B)}{c^2}\right)\Delta T_B$$

我们有 $r_A<r_B$，因此 $\Phi (r_A)<\Phi (r_B)<0$，从而 $\Delta T_A<\Delta T_B$。换句话说，爱丽丝收到花生的频率比鲍勃扔出花生的频率更高。

上面的故事并不只对花生成立。如果鲍勃以频率 ${\omega }_B\sim 1/\Delta T_B$ 向下朝爱丽丝照射光，那么爱丽丝接收到的频率 ${\omega }_A$ 由下式给出

$${\omega }_A\approx {\left(1+\frac{\Phi (r_A)}{c^2}-\frac{\Phi (r_B)}{c^2}\right)}^{-1}{\omega }_B$$

此时频率更高，即 ${\omega }_A>{\omega }_B$，或者说波长更短。我们说这束光发生了蓝移。相反，如果爱丽丝向上朝鲍勃照射光，那么频率会降低，波长则被拉长。在这种情况下，我们说这束光在逃离引力的过程中发生了红移。这一效应最早由 Pound 和 Rebka 于 1959 年测量到，它提供了广义相对论的第一个地面上的精确检验。

这一结果有一个宇宙学的对应版本，其中光在膨胀空间的背景中发生红移。你可以在宇宙学讲座中读到更多相关内容。

1.2.6 时空中的测地线

到目前为止，我们完全专注于描述粒子的作用量，还没有写出运动方程，更不用说求解了。现在该来处理这件事了。

我们考虑在时空中运动的粒子，使用它的相对论作用量

$$S=-mc{\int }_{{\sigma }_1}^{{\sigma }_2}d\sigma L\text{其中}L=\sqrt{-g_{\mu \nu }(x){\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}\text{\hspace{1em}(1.27)}$$

其中 ${\dot{x}}^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\sigma$。这与我们在1.1.1 节中首次引入测地线时所用的非相对论作用量相似，区别在于多了一个平方根因子。正如我们下面将看到的，这带来了一点小麻烦。

为了写出欧拉–拉格朗日方程，我们先计算

$$\frac{\partial L}{\partial x^{\rho }}=-\frac{1}{2L}\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }\mathrm{and}\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\rho }}=-\frac{1}{L}{g}_{\rho \nu }{\dot{x}}^{\nu }$$

于是运动方程为

$$\frac{d}{d\sigma }\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}^{\rho }}\right)-\frac{\partial L}{\partial x^{\rho }}=0\Rightarrow \frac{d}{d\sigma }\left(\frac{1}{L}{g}_{\rho \nu }{\dot{x}}^{\nu }\right)-\frac{1}{2L}\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }=0$$

这与我们导出1.1.1 节中测地线的方程几乎相同。只有一点差别：求导$d/d\sigma$可能作用到$1/L$上，从而给出一个此前没有的额外项。这可以直接追溯到我们的原始作用量中含有平方根这一事实。

按照我们在1.1.1 节中所见的相同步骤，并重新标记指标，运动方程可以写成

$$g_{\mu \rho }{\ddot{x}}^{\rho }+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\mu \rho }}{\partial x^{\nu }}+\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\rho }}-\frac{\partial g_{\nu \rho }}{\partial x^{\mu }}\right){\dot{x}}^{\nu }{\dot{x}}^{\rho }=\frac{1}{L}\frac{dL}{d\sigma }{g}_{\mu \rho }{\dot{x}}^{\rho }\text{\hspace{1em}(1.28)}$$

这就是式 (1.6)中测地线的相对论版本。我们看到，作用量中的平方根因子导致了等式右边的额外项。

如果能设法忽略这个额外项，事情就会好得多。只要出于某种原因能使下式成立，情况便是如此：

$$\frac{dL}{d\sigma }\stackrel{?}{=}0$$

幸运的是，这正在我们的能力范围之内。我们只需为世界线选取一种参数化，使该式成立即可！我们要做的只是弄清楚什么样的参数化能做到这一点。

事实上，我们已经遇到过正确的选择。回想一下，固有时$\tau (\sigma )$的定义为(1.15)

$$c\tau (\sigma )={\int }_0^{\sigma }d{\sigma }^{\prime }L({\sigma }^{\prime })={\int }_0^{\sigma }d{\sigma }^{\prime }\sqrt{-g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d{\sigma }^{\prime }}\frac{d{x}^{\nu }}{d{\sigma }^{\prime }}}\text{\hspace{1em}(1.29)}$$

这意味着，由构造方式可知，

$$c\frac{d\tau }{d\sigma }=L(\sigma )$$

如果我们进而选择用 τ 本身来参数化这条路径，那么拉格朗日量就是

$$L(\tau )=\sqrt{-g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }}=\frac{d\sigma }{d\tau }\sqrt{-g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{d\sigma }}=c$$

上述讨论的结论是：如果我们用固有时来参数化世界线，那么 $L=c$ 就是一个常数，特别地，$dL/d\tau =0$。事实上，对于任何与固有时满足如下关系的参数，这一点都成立：

$$\tilde{\tau }=a\tau +b$$

其中 a 和 b 为常数。这样的参数被称为世界线的仿射参数(affine parameter)。

每当我们选取这样的仿射参数来标记粒子的世界线时，运动方程 (1.28) 的右端就会消失。在这种情况下，剩下的就是测地线 式 (1.7) 向弯曲时空的显然推广

$$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{\tilde{\tau }}^2}+{\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tilde{\tau }}\frac{d{x}^{\rho }}{d\tilde{\tau }}=0\text{\hspace{1em}(1.30)}$$

其中克里斯托费尔符号与 (1.8) 中一样，由下式给出

$${\Gamma }_{\nu \rho }^{\mu }(x)=\frac{1}{2}{g}^{\mu \sigma }\left(\frac{\partial g_{\sigma \nu }}{\partial x^{\rho }}+\frac{\partial g_{\sigma \rho }}{\partial x^{\nu }}-\frac{\partial g_{\nu \rho }}{\partial x^{\sigma }}\right)\text{\hspace{1em}(1.31)}$$

一个有用的技巧

我们绕了一大圈。我们从 1.1.1 节 出发，那里有一个非相对论作用量

$$S=\int dt\frac{m}{2}{g}_{ij}(x){\dot{x}}^i{\dot{x}}^j$$

并发现它给出测地线方程 式 (1.7)。

然而，为了在时空中描述相对论物理，我们已经知道需要把重参数化不变性纳入形式体系，由此得到作用量

$$S=-mc\int d\sigma \sqrt{-g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\sigma }\frac{d{x}^{\nu }}{d\sigma }}$$

不过，当我们限制到一种非常特殊的参数化——固有时 τ——时，得到的正是我们在非相对论情形中遇到的那同一个测地线方程 式 (1.30)。

这提示了一条捷径。如果我们只想对某个度规导出测地线方程，那么就可以抛开所有这些繁琐的步骤，直接使用作用量

$$S_{\mathrm{useful}}=\int d\tau g_{\mu \nu }(x)\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }\text{\hspace{1em}(1.32)}$$

只要再补充上约束，它就能给出我们想要的运动方程

$$g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }=-c^2\text{\hspace{1em}(1.33)}$$

这就是要求测地线是类时的，且 τ 为固有时。这个约束现在把粒子拖向未来。注意，(1.32)和(1.33)都不依赖于粒子的质量 m。这反映了等效原理：它告诉我们，每个粒子无论质量如何，都沿测地线运动。

此外，我们也可以用 (1.32) 来计算光或任何其他无质量粒子的测地线运动。它们沿零测地线运动，这意味着我们只需把 (1.33) 替换为

$$g_{\mu \nu }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }=0\text{\hspace{1em}(1.34)}$$

虽然 $S_{\mathrm{useful}}$ 这个作用量正如其名所示很有用，但在使用它时应当谨慎。按现在的写法，它的量纲并不是作用量的量纲。此外，如果你想用它来做量子力学或统计力学，那么除非你在实现约束时格外小心，否则它可能会把你引入歧途。

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来源版本：michaelmas-2019-source-20260923

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