6.3 庞加莱引理

恰当形式总是闭形式，但反之未必成立。不过，下面的定理给出了逆命题也成立的情形。

定理 6.3 · 庞加莱引理

若可微流形 $M$ 的一个坐标邻域 $U$ 可缩为一点 $p_0\in M$，则 $U$ 上的任意闭 $r$ 形式也是恰当形式。

证明

我们假设 $U$ 可光滑地收缩到 $p_0$，即存在光滑映射 $F:U\times I\to U$ 使得

$$F(x,0)=x,F(x,1)=p_0\text{f o r}x\in U.$$

考虑一个 $r$ 形式 $\eta \in {\Omega }^r(U\times I)$

$$\begin{array}{rl}& \eta =a_{i_1\dots i_r}(x,t)d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_r}\\ & +b_{j_1\dots j_{r-1}}(x,t)dt\wedge d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_{r-1}}\end{array}\text{\hspace{1em}(6.28)}$$

其中 $x$ 是 $U$ 的坐标，$t$ 是 $I$ 的坐标。定义映射 $P:{\Omega }^r(U\times I)\to {\Omega }^{r-1}(U)$ 为

$$P\eta \equiv \left({\int }_0^1\mathrm{d}s{b}_{j_1\dots j_{r-1}}(x,s)\right)\mathrm{d}{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{j_{r-1}}.\text{\hspace{1em}(6.29)}$$

其次，定义映射 $f_t:U\to U\times I$ 为 $f_t(x)=(x,t)$。(6.28) 中第一项经 $f_t^{\ast }$ 的拉回是 ${\Omega }^r(U)$ 中的元素，

$$f_t^{\ast }\eta =a_{i_1\dots i_r}(x,t)\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\in {\Omega }^r(U).\text{\hspace{1em}(6.30)}$$

下面我们证明如下恒等式：

$$\mathrm{d}(P\eta )+P(\mathrm{d}\eta )=f_1^{\ast }\eta -f_0^{\ast }\eta .\text{\hspace{1em}(6.31)}$$

左端的每一项计算如下：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}P\eta & =\mathrm{d}\left({\int }_0^1\mathrm{d}s{b}_{j_1\dots j_{r-1}}\right)\mathrm{d}{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{j_{r-1}}\\ & ={\int }_0^{1}ds\left(\frac{\partial b_{j_1\dots j_{r-1}}}{\partial x^{j_r}}\right)d{x}^{j_r}\wedge d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_{r-1}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& P\mathrm{d}\eta =P[\left(\frac{\partial a_{i_1\dots i_r}}{\partial x^{i_{r+1}}}\right)\mathrm{d}{x}^{i_{r+1}}\wedge \mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\\ & +\left(\frac{\partial a_{i_1\dots i_r}}{\partial t}\right)dt\wedge d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_r}\\ & +\left(\frac{\partial b_{j_1\dots j_{r-1}}}{\partial x^{j_r}}\right)d{x}^{j_r}\wedge dt\wedge d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_{r-1}}]\\ & =\left[{\int }_0^{1}ds\left(\frac{\partial a_{i_1\dots i_r}}{\partial s}\right)\right]d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_r}\\ & -\left[{\int }_0^{1}ds\left(\frac{\partial b_{j_1\dots j_{r-1}}}{\partial x^{j_r}}\right)\right]d{x}^{j_r}\wedge d{x}^{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{j_{r-1}}.\end{array}$$

综合这些结果，我们得到

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}(P\eta )+P(\mathrm{d}\eta )& =\left[{\int }_0^1\mathrm{d}s\left(\frac{\partial a_{i_1\dots i_r}}{\partial s}\right)\right]\mathrm{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{i_r}\\ & =\left[a_{i_1\dots i_r}(x,1)-a_{i_1\dots i_r}(x,0)\right]d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_r}\\ & =f_1^{\ast }\eta -f_0^{\ast }\eta .\end{array}$$

由 (6.31) 即可直接得到庞加莱引理。设 $\omega$ 是可缩坐标卡 $U$ 上的闭 $r$ 形式。我们将证明 $\omega$ 可写成恰当形式，

$$\omega =\mathrm{d}(-P{F}^{\ast }\omega ),\text{\hspace{1em}(6.32)}$$

其中 $F$ 是光滑收缩映射。事实上，若把 (6.31) 中的 $\eta$ 换成 $F^{\ast }\omega \in {\Omega }^r(U\times I)$，就有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}P{F}^{\ast }\omega +P\mathrm{d}{F}^{\ast }\omega & =f_1^{\ast }\circ F^{\ast }\omega -f_0^{\ast }\circ F^{\ast }\omega \\ & ={\left(F\circ f_1\right)}^{\ast }\omega -{\left(F\circ f_0\right)}^{\ast }\omega \end{array}\text{\hspace{1em}(6.33)}$$

这里用到了关系 $(f\circ g{)}^{\ast }=g^{\ast }\circ f^{\ast }$。显然 $F\circ f_1:U\to U$ 是常值映射 $x\mapsto p_0$，因此 $(F\circ f_1{)}^{\ast }=0$。而 $F\circ f_0={\mathrm{id}}_U$，因此 $(F\circ f_0{)}^{\ast }:{\Omega }^r(U)\to {\Omega }^r(U)$ 是恒等映射。于是 (6.33) 的右端就是 $-\omega$。左端的第二项因 $\omega$ 是闭形式而消失：$\mathrm{d}{F}^{\ast }\omega =F^{\ast }\mathrm{d}\omega =0$，这里用到了 (5.75)。最后，(6.33) 化为 $\omega =-\mathrm{d}P{F}^{\ast }\omega$，定理得证。

任何闭形式至少在局部是恰当的。德拉姆上同调群可视为闭形式能否整体恰当的一种障碍。

例 6.4

由于 ${\mathbb{R}}^n$ 是可缩的，我们有

$$H^r\left({\mathbb{R}}^n\right)=01\le r\le n.\text{\hspace{1em}(6.34)}$$

然而要注意，$H^0({\mathbb{R}}^n)=\mathbb{R}$。

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